ĐẠI H Ọ C V I N H THƯ V I Ệ N 515 PGS.TS ĐỖ VÃN LƯU - PGS.TS PHAN HUY KHẢI G I Ả I TÍCH L Ồ I ro NHÀ XUẤT BẢN KHOA H Ọ C V À KỸ THUẬT HÀ NÔI - 2000 - £ / / £ r - 00 451- L Ờ I NÓI Đ Ầ U Giải tích lồi đóng lý thuyết vai trò quan trọng cục toán dụng có sù dụng công trị việc nghiên ngành nghiên lồi, lý thuyết cứu tiếng J.J.Moreau, Jensen, Giáo (1910) lồi thu hút sụ nhà toán khoảng học Lý thuyết trình Chuơng tập lồi quan giải C.Carathéodory, L.Klee, A.Brondsted, trình bày kiến số ứng dụng ì trình với bày kiến lồi địa phuơng định li nghiên lý thúc tâm tích lồi trình W.Fenchel, W.V. lý thuyết thúc giải toán cực tập lồi nón không gian h u tiếng Carathéodory IU trình ve lồi hạn tập cứu hàm lồi, phép toán hàm lồi tính liên tục hàm lồi không gian lồi địa Chuơng tính ba chục nấm nay, sau công R.T.Rockafellar, không gian lồi ứng G.Choquet, Chương chiều, tích H.Minkowski, tích lồi trị giải nhiêu hoàn ihiện học cụ giải tích không gian tuyến Sau kết đầu Hên H.Minkowski hàm toán cứu bày định lý tách bàn, phuơng tính chất hàm liên hợp, bao gồm định lý Fenchel-Moreau định lý đối ngẫu quan trọng Chương IV nghiên cứu khái niệm duới vi phân hàm lồi định lý ve duới phân, có định lý Moreau-Rockafellar địa phuơng Lớp hàm lồi đuợc khảo sái chương kế t nghiên cứu chuơng V trình Dựa chương ỈTUỚC, bày điều kiện cực trị cho lớp toán trơn toán trơn-lồi tổng quát Sau lồi, chương đền,: có tập nhằm cố nâng cao nời dung kiế n thúc trình vi bày Dể hiểu giáo trình này, đờc giả cằn có mời số kiế n thức tối thiểu vê giải tích hàm đại số tuyế n tính trình dành cho học viên cao học, nghiên sinh viên toán trường cứu sinh Giáo trinh dùng làm tài liệu cho học viên cao học Viện Toán học Các tác giả xin chân thành đại học Giáo cẩm ơn Trung tâm Dào tạo sau đại học - Viện Toán học, đờng viên khuyế n tác giả biên soạn cử nhân Đỗ Kim Văn Đạt xù lý văn sách Chung, khích TS hệ soạn AMSTEX CÁC TÁC G I Ả Vũ thào Chu ưng ì TẬP L Ồ I 1.1 1.1.1 TẬP LỒI Định nghĩa tính chất G i sử X l k h ô n g g i a n t u y ế n t í n h , R l t ậ p c c số t h ự c Đ i n h n g h ĩ a 1.1 Vtfi,.T Tập A c X đ ợ c gọi lồi, n ế n : € A, VA e R : < A < Ì Axi+(1-A). Xi (Vi) K h i M , > ^r^tt; = Ì Xru f{.Vj,n ( k h i í í í - f oe) lì! —> oe (•(') t h ố dó, — ) —> + O C V(VÌ chi số /' n o dó: f bị c h ặ n (lưới (!,„, - > v n „ „ / ( / • „ „ ) —• N•) < ( c o f ) ( ; • ) < Y ^ a , / ( V i ) i= I «+1 < lim ^ n , - „ / ( < • „ „ ) = /**(. 0) M ặ t khác, f* h m t h u ầ n d n g khi: /*(.r*) = A / * ( A _ ; r*) (V.r* e A'*, VA > 0) Hem ( / • A ) U - * ) = (A/)*(a-*) = s u p { < :r*,.r > - A / ( r ) } = sup{A(< À " * * , * > - / ( * ) ) } _1 = A/*(A a:*) Vậy / * h m t h u ầ n n h ấ t d n g chì khi: r = f \ (VA>0) Rõ r n g là: n ế u f h m lồi đóng, thì: / = À / (VA > 0) Định lý chứng m i n h Mận /* = r A (VA > 0) • xé* 5.5 Có t n g ứ n g 1-1 t ậ p lồi đóng v h m t ự a chúng 92 T h ậ t ta có t n g ứng 1-1 t ậ p lồi đ ó n g h m chì chúng T định lý 3.8.a) ta suy kết luận cần chứng minh • Hê 3.8.1 G i ả sử / h m l i t h u ầ n d n g , f jẾ +oo K h i đó, bao đóng / f h m t ự a tập lồi đóng c : c Chúng = {.!•* < f(x), v.r} minh Trước hết tạ chứng minh b ố đ ề sau: B Ổ đ ề Già sử t ậ p lồi đ ó n g A" K h i đó, j : e < sup < x*,y s{x*\Ả) ex*) (V.T* Chúng >= minh T h ậ t vậy, nến X € A h i n nhiên: < X*, * > < sup < X*, y > (Va-*) (3.11) Ngirợc l i , giả sử (3.11) đ ú n g , n h n g X Ệ A Theo định lý tách t h ứ 2, X v A tách ngặt đ ợ c b i XQ Ỷ thuộc X*, tức là.: sup < xl,x > < < XQ,X > xe A sup < a-Q,X > < < XQ,X > < sup < XQ,X > : vô lý (!) 93 Xét Chứng minh hệ hai trường hợp: 3.8.1 l / h m l i d n g , c h í n h t h n g , đ ó n g , l / = —oo ( h m t ự a c ù a t ậ p 0) T h e o đ ị n h lý 3.8 v n h ậ n xét, 3.3, / = s(.\C) với c l một, t ậ p l i đ ó n g n o đ ó T b ố đ ề 3.1 v ả h ệ q u ả 3.6.3, ta có: X < x*,x r >< s(x*\C) = (/)* = S*(.\C) (Va:*) < X > < f ( x ) ( V x ) • 3.3 C Á C Đ Ị N H LÝ Đ ố i N G Ẫ U Định lý 3.9 a) G i ả sử / ì , , / , „ l h m x c đ ị n h t r ê n X K h i đó, Ơ I ® * / ™ r = /r + + / • , ( / ì + • + /;„)* < / : * © * / , ; b) G i sử / ] , , / m l c c h m l i c h í n h t h n g ; 3xo e ni Ị^ịdoììiỷ'^ CÓ t h t r r a m ộ t h m , c ò n l i đ ê u lien tục t i 1=1 Vo- K h i đ ó , (/! + + /*.)• = / r e é / ; (3.12) Hern nữa., v.r* £ dom( 1, , Hì) 3:r, G f/o?7? f * (/ = cho: ỉ- (/ì fi + + /',„ )* = Xi + + •'•„, + + / » , )*(.r*) = / *(a-ĩ) + + / ; ( r ; „ ) Chúng i minh Ta, c h ỉ c h ứ n g m i n h c h o » = T r n g hcrp t o n g q u t ( l đ n g suy r a đ ợ c a) Ta c ó : í / , = b ằ n g quv (í/ nap )*(./•*) = s u p { < v*,x > -mí[/,(.«• ỉ' - -•) + / (~)]} ' = s u p { < r*.y > < x \ ~ > -/2 Ù)} '/ - = /f(.r* )+/;(.'•*) D o l ) ấ t đ ằ n g t h ứ c Y o u n g - Fenchel, AVĨ) >< + -'-ĩ + ^2-''' > - M-r) ( V j - Ĩ , r ; e - Y * , v r G A") =* /iVĨ) + / *(*ĩ) > (/ì + / )*(-i'ĩ + ^ ) B ấ t đ ẳ n g t h ứ c (3.13) đ ú n g v i m ọ i (3.13) m r*+.r* = X* Vì vậy, /,*••••/;>(/ r./^f (3.14) 95 b) B i v i h m f\ /T + ý: =(/i /2 B â y g i xét, t r n g h ợ p : l = (/ì =^> ft u < + 0 K h i đ ó , domịfi domfo + / ) * +oo = t a quy c c ậ n t r ê n l ấ y t r ê n t ậ p b ằ n g f>)*(- 'o) + /2) V ) domịýì +oo) + / ) * Ỷ 0- G i ả sử ( / + /1 liên t ụ c t i đ i ế m n o đ ó t h u ộ c + / ) 7^ > e (V.r* - 0 X*) - 0 < ( / + f-2 )*{.r* ) = ao < + 0 Xét tập -4 = hợp: {(.!•, a ) eX X R : a K h i d ó l i Do đ ị n h lý 2.9, int(epifi) Tíi c h ữ n g m i n h : Thật in.t((pi mui n int(rpifi) Ả n i)it(cpịf\ = - / ( j r ) - Q } ỹ£ 0? ) Ỷ 0> t h ì 3(.r,o-) e in f\ ) K h i đ ó , /ì(.ì-) < a < < í * , r > - / ( r ) = * cho +/•>)* = t h ì t (3.14) suy (3.12) đ ú n g : n ê n u ố n (ỉơm{fi {Chú tì l c c h m l i c l ú n h t h n g , a < < i- > -/,(.r) m â u t h u ầ n v i ( /1 + / ) * ( ỉ ' o ) = n intỊepiỷi) = ữ / (.T) u (Ó- ao- < (/, + / )*(.ì-*) : T h e o đ ị n h lý t c h t h ứ n h ấ t , A'* X 7? t c h Ả v cplf\ s u p { < y*,.v thuộc : > +fiơ < inf{< t n t i {ý*; ft) Ỷ y\x : (x,cv) € epifx) > +/la < : (x, a) e Ả} (3.15) R õ r n g ổ < N ế u /3 = (y*,ịj) Ỷ T ( l õ ) suy 0, t h ì y* v ầ u k h c 0, b i r a y* t c h domfi domfo- N h n g d i ề u n y k h ô n g t h ể x ả y r a đ ợ c , b i int(dornfi domfi )n Ỷ ( h ệ q u 3.2.1) Vì v ậ y , ậ < C h i a h a i v ế (3.15) cho \p\ v d ặ t x*ị = _1 |/.?| f/*, t a n h ậ n đ ợ c : /T(.rt) = s u p { < x i * > - ỷ \ ( x } : X G A"} = s u p { < í*,.ỉ' > - r v : (.v,a) G < inf{< x*,x e = inf{< xi - x* ,x > -a : {x,a) ƯT •):•• fĩ)(•'•«) < « U = = ( / + Í ) W À) > +fi{x) : X £ clomfi} = - f ĩ « -xD tpi.fi} + ao + / *(-'u *ĩ) + CV(J 97 Nhận xét 3.4 Định lý 3.9 chì rằng: phép toán cộng t ố n g chập h m l i t h n g đ ố i ngẫu l ầ n M ộ t k ế t t n g t ự định lý 3.9 là: phép toán l ấ y cận t r ê n v bao l i cận d i h m lồi, hữu hạn, liên tục (có t h ề t r ợ m ộ t h m không liên tục) đ ố i ngẫu l ẫ n nhau: (coi/! A A / m ) ) * = / ; V V / * , (/iv v/ r m Bây g i già sử X, = C O (/ *A A/,:,) Y không gian lồi địa p h n g ; A : À" —» Ì ' t o n t ợ tuyến tính ; / hàm xác định Y; g h m xác định À' Ta xác định h m / Ả Ag n h sau: (M)(x) = / ( À * ) , {Ảg)(y) Đ i n h nghĩa 3.6 nghịch ảnh = inf{g(x) :X e X , Ax = y} C c h m f Ả Kg gợi t n g ứng h m / v ảnh h m g qua ánh x Ả Định lý 3.10 a) Già sử A : X —• Y toán t ợ tuyến tính liên tục; g h m xác định t r ê n À"; / h m xác định Y K h i đ ó , (Acjy = g*A*, (/A)* X g(y)} -g(y)} \y=x = s u p { < à-*, Áy > -g{y)} y = sup{< A*X*,IJ > -g{y)} y = => (A )* = Ơ Ơ ỡ * ( A * : r * ) = ( —a , ỉ/ = A x } Ta c ó : M n int(epif Thật, iiit(epif) vậy, n ế u ) = M n int(epif) D o đ ó , Ba- € -Ý /(Ả*) ^ (3.17) 0, t h ì ( y , a ) cho: < < :c*,x > -a e M n 100 = • Q => (3.17) đ ú n g < < ; r * , X > - f ( A v ) < ( / A )*(.!•* ) = a u : v ỏ lý (!) ị Theo đ ị n h lý t c h t h ứ n h ấ t , ( y * , / í ) 7^ thuộc- y * X i? Ị cho: : (ĩ/,cv) G ép / / } s u p { < í/*, ỉ/ > < i n f { < y*,y > +!ltt < (y,a) e : (3.1S) R õ r n g /ỉ < N ế u = 0, t h ì ý* 7^ v y* t c h đ m / v i m Ả Đ i ề u n y m â u t h u ầ n v i int(clomf) n (J??íA) ^ Vì v ậ y , /í < C h i a hai v ế (3.18) cho v đ ặ t UQ = | ^ Ị ( / * , t a n h ậ n _ được: /•(y„*) < » » / { < ỉ/oVy > - < * : ( i / ^ v ) G A i } = m / { < '(/(*, A:í- > - < ; ? • * , ì" > + O : (• € A " } Do /*(!/*) > - o e (Vỉ/*), t a suy r a r* = A * y * T h ậ t v ậ y , n ế u ó;* Ỷ A*ỉ/Ồ, t h ì : i n f { < yJ,A;r > - < >} = = inf < A*i/(* - ỉ-*,.;' > = -oe X N h v ậ y , ;r* e ImA*,z* = A*ĩ/o- K h i đ ó ' ( A * f )(.r*) = inf{f*(y*) sau: jry(.r) < 0; h(x) /(•'•XO; g : c-> p -» R , —• i ? ' l h m v e c t aíĩiiie c c h m t l i , c ò n li : c X é t hai h ộ b ấ t p h n g t r i n h c C h ứ n g m i n h r ằ n g h ệ (2) có thường Cho / : D ( f ) - > /?, v i D ( / ) C Ì ? " l h m t ù y ý G ọ i /'* h m liên lu Tị) cùa /' X é t h m số: ( r ) = rv/(.r) + < > t r o n SÌ; dó (• -D( f ) , ~ e i ? " v e c t cho t r c , a v /? c c h ằ n g số cho t r c t r o n " ; d ó a > C h ứ n g u i i u h r ằ n g : /?, D ( / ) C /?" h i n có d n g : /(.r) = / ( , - ' r ) = /!(.,-' ) + / ( r ) , 102 ( x \ x ) e D ( f )= D ( f i )X D(/ ), v i Ả' + z = ?? C h ứ n g m i n h r ằ n g : A y ) 3.4 = / * ( y i , y ) = /i*(ỉ/i) + B ,D(f>) c 7?' / *(t/ ) 2 C h o h m a f f i n e f : D ( f ) —> i ? x c đ ị n h n h s a u : / ( r ) = < cụ X c đ ị n h f*{y) 3.5 k £>(/]) c > +b X [a e R" ,b e xác định lì) D[f*Ị C h o h m f : Ì ? " —> -R l h m t h u ầ n n h ấ t ( l n g bậc- Ì, tức là: f(X.r) = \ f ( x ) , Tính / * ( y ) xác định 3.6 Cho /i(.T) = < a -,x t Vx e R", VA e /?+ Dự*) > v i ri; e ò ; e i?, / = 1.2 Chứng minh rằng: 1) £ > ( / * ) = [ a i , a ] = { ỉ / : y = A a i + ( - A ) a , - < A < } : 2 ) K h i y G D(f*) thì: r(y) 3.7 = -Aối - ( - A ) ố a G i s « G i ? " , « 7^ , , c G jR X c đ ị n h h m s ố f n h sau: /(;;;) - n 6, Va: e £>(/) = {x e R ( h m h ằ n g số t r ê n n a k h ô n g g i a n ) < a,x >< c} 103 Chứng minh rằng: 1) D(n 2) Á y ) = {v-y = pa,P>0h = /t>c-ò,Vy€ £>(/*) n 3.8 G i ả sử f(x) = /(.Ti, ,s ) n = Ì - Vịxiị^p y Chứng minh r ằ n g : 1) D ( / * ) = 2) / * ( y ) = n ĩỉ , Ì " - Y , \yi\ , q q = 1=1 > [...]... n g q u á t t a có t h ể xem n h ư : b + ỉ 0 n L ấ y X Ỷ 0 thuộc R ; T h + + b =0 n Ao, , A n (1. 10) là t ọ a đ ộ trọng t â m của K h i đó, rì n j - = 5^A A, Y, t í=u Đặt X i = 1 ( L 1 1 ) - i=0 A = max{|A |, , |A |} G i ả sử (1. 11) , suy 0 - n > ( n + 1) A + 1 K h i đ ó , 0 < € < 1 T ừ (1. 10), ra: 1= 0 ^ ' 29 TI Đ ặ t 7; = + (Xi, ta n h ậ n đ ư ợ c : 7 j > 0, 7,- = Ì v à (=0 n j=0 n Vì v ậ y , n... ( i f f À hi t ạ p 1. 8 íitHi Đinll nghĩa 1. 18 tt/fi'/>r: 'Min c á c nho 11 1 ĩ ỉ 11 1- liứii - I Đ i ("ùn (Ì i f ' l i Ì ỉ | 11 ỉ É 3 i l i n ế u //, ^ 0 u ố n 6, = 0 Ì, Ỷ /í" u ố n bi = 0 =... ri A — A 31 Nhận xét 1. 14 Ai c A 2 J> ri Ai c riA 2 Thật vậy, chằng hạn lấy Ao là một khối lập phương 3 i? , ẢI 0, riA là một mặt của Ỷ 0' 2 Ải- c Khi đó, Ai -4.2, ri Ai Ỷ nhưng r i A i n r i Ạ ị = 0 n Đinh lý 1. 16 Giả sử Ả là tập lồi trong R \ X6 rM,y E Ã Khi đó, (Ì - X)x + Áy 6 HA Chúng (0 < À < 1) minh Giả sử A là tập lồi m-chiều trong R Theo hệ quả 1. 12 .1, n tồn tại ánh xạ affine 1- 1 aff'A n... ạ affine c ầ n t ì m Hệ quả dimMi n lên R 1. 12 .1 Giả • sử M i , M 2 c R" là hai tập affine, = cỉimM-2 K h i đ ó , t ồ n t ạ i á n h x ạ affine 1- 1 T t ừ n R sao cho T M , = M 2 Chứng minh M ộ t t ậ p affine m c h i ề u l à bao affine c ù a ru + Ì đ i ể m đ ộ c l ậ p aiĩứne Á p d ụ n g đ ị n h lý 1. 12 t a suy r a đ i ê u p h ả i c h ứ n g minh Định • l ý 1. 13 n Ánh xạ T : R m -* R l à affine Ta: =... lồi của A, tức là: côA = coA Chứng minh 9 Theo mệnh đề 1. 5, co Ả lồi Như vậy, co A là tập lồi đóng chứa Ả Do đó, cõÃ D cõA (1. 1) Mặt khác, cỏ A D coA, bởi vì co A là tương giao của tất cả các tập lồi (không cần đóng) chứa A Vì vậy, côA D cõÃ (1. 2) Từ (1. 1) và (1. 2) suy ra cõA = coA • 1. 2 N Ó N L Ồ I Giả sử A" là không gian tuyến tính Đinh nghĩa 1. 6 Tập K c X được gọi là nón có đỉnh tại 0, nếu: \x €... + A = 1 • r Đ i n h lý 1. 8 n G i ả sử t ậ p A c R đ ó n g , bị chặn K h i đó, coA đóng, tức là: co A = cô A Chúng minh Xét t ậ p hợp sau trong R s = {a = ( A i , , A n + 1 n + 1 : ) : Ai > 0, í = Ì , , n + Ì, n+I 5> = 1} i=l Xét ánh xạ ư> : i ỉ n + 1 n X iĩ" X X R -V* > 1 —> í?/ được xác định ' n+llần n h ư sau: với a = ( A i , , A n + i) e Jĩ n + 1 , Xi G i?" (í = l, ,n + l), « + 1 V3(a,a;i,... p /ỉí + 1 c l i ố m hịị.ỉì\ A, - 1 } ì),,, ( U r ạ c