Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 5: Tích phân đường • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - I –Tích phân đường loại II –Tích phân đường loại hai II.1 – Định nghĩa, cách tính II.2 – Công thức Green II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường I Tích phân đường loại A2 M2 A1 M1 A0 An Mn An I Tích phân đường loại f f ( x, y ) xác định đường cong C Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ điểm A0 , A1 , , An Độ dài tương ứng L1 , L2 , , Ln Trên cung Ai Ai 1 lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi ) n Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) Li i 1 I lim I n , không phụ thuộc cách chia C, cách lấy điểm Mi n I f ( x, y ) dl C gọi tích phân đường loại f=f(x,y) cung C I Tích phân đường loại Tính chất tích phân đường loại 1) Hàm liên tục cung C, bị chặn, trơn tùng khúc khả tích C 3) fdl fdl 2) L(C ) 1dl C C 4) ( f g )dl fdl gdl C C C C 5) Tích phân đường loại không phụ thuộc chiều lấy tích phân C 6) Nếu C chia làm hai cung C1 C2 không dẫm lên nhau: fdl fdl fdl C 7) C1 C2 ( x, y ) C , f ( x, y ) g ( x, y ) fdl gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình Nếu f(x,y) liên tục cung trơn C có độ dài L Khi tồn điểm M0 thuộc cung C, cho fdl f ( M ) L C Cách tính tích phân đường loại Cung C cho phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1 t t2 n f ( x , y ) dl f ( M ) L lim i i n i 1 C Li độ dài cung nhỏ AiAi+1: ti 1 2 2 x (t ) y (t ) dt x (t ) y (t ) t Chọn điểm trung gian M có tọa độ x(t ), y (t ) f ( x, y )dl lim f x(t ), y (t ) x (t ) y (t ) Li ' ' ' ' i i ti ti ti 1 i ti i n i n i 1 C t2 i f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t )) C t1 i i ' ' i i x (t ) y (t ) ' ' ti dt Cách tính tích phân đường loại Cung C cho phương trình: y = y(x), a xb Phương trình tham số C :x = x(t), y = y(t), t1 t t2 t2 f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t )) C x (t ) y (t ) ' t1 ' dt ' t2 y (t ) ' f ( x(t ), y (t )) ' x (t ) dt t1 x (t ) b ' f ( x, y )dl f ( x, y ( x)) y ( x) C a dx Tương tự, Cung C cho phương trình: x = x(y), c y d d ' f ( x, y )dl f ( x( y ), y ) x ( y ) C c dy I Tích phân đường loại Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường không gian f f ( x, y, z ) xác định đường cong C không gian C cho phương trình tham số: x x(t ) y y (t ), z z (t ) t1 t t2 I f ( x, y, z )dl C t2 f ( x, y, z )dl f ( x(t ), y (t ), z (t )) C t1 2 x (t ) y (t ) z (t ) ' ' ' dt dụ x Tính I x3dl, C cung parabol y , x C b ' f ( x, y ( x)) y ( x) a dx x ' ( y ( x)) dx x 0 58 x dx 15 Ví dụ Tính I xdl , C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) C C2 đường thẳng từ (1,1) đến (1,2) ' xdl xdl xdl x y ( x) C C1 C2 2 x x dx 1 2 ' dx x( y ) x ( y ) 5 1 2 dy d dụ Tính I (2 x y )dl, với C nửa đường tròn x y C b ' Có thể dùng công thức I f ( x, y ( x)) y ( x) a dx hưng việc tính toán phức tạp iết phương trình tham số cung C ặt x r cos t ; y r sin t 2 x y 1, nên r = ì x cos t ; 0t hương trình tham số nửa cung tròn: y sin t (2 cos t sin t ) ' x (t ) 2 y (t ) dt (2 cos2t sin t )dt 2 ' dụ I (4 y )dx xdy ính , C cung Cicloid C 2(t sin t ), y 2(1 cos t ),0 t 2 (cùng chiều kim đồng hồ) Cung C không kín 2 (4 2(1 cos t )) 2(1 cos t )dt 2(t sin t )(2sin t )dt 2 4t sin tdt 8 dụ ính I e ( x2 y ) cos xydx sin xydy , C x y ngược chiều kim đồng hồ P ( x, y ) e ( x2 y ) cos(2 xy ) P ( x y2 ) 2e y cos(2 xy ) x sin(2 xy ) y Q ( x y2 ) 2e y cos(2 xy ) x sin(2 xy ) x Q P I dxdy y x y 4 x dụ xdy ydx , C đường cong kín tùy ý I 2 x y C không chứa gốc 0, ngược chiều kim đồng hồ Tính Trường hợp C không bao quanh gốc Sử dụng công thức Green y P ( x, y ) x y2 P 1 2y2 2 2 y x y x y x Q( x , y ) x y2 Q 2x2 x x y x y2 Q P I dxdy y D x rường hợp C bao quanh gốc hông sử dụng công thức Green ì P, Q ĐHR cấp không ên tục miền D, có biên C Kẻ thêm đường tròn C1 có bán kính a đủ nhỏ để C1 nằm lọt C, chọn chiều kim đồng hồ I1 I C C C1 C1 I1 C C1 Q P dxdy = y D x Green Tính tích phân I2 cung tròn x2 + y2 = a2 hương trình tham số cung C1: x a cos t, y a sin t, t1 2 , t2 a cos t a cos t dt a sin t a sin t dt 2 a 2 I I1 I 2 II.3 Tích phân không phụ thuộc đường Định lý Cho hàm P(x,y), Q(x,y) ĐHR cấp chúng liên tục miền mở đơn liên D chứa cung AB Các mệnh đề sau tương đương Q P x y Tích phân I Pdx Qdy không phụ thuộc đường cong trơn khúc AB nối cung AB nằm D Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy, tức dU ( x , y ) Pdx Qdy Tích phân chu tuyến kín C, trơn khúc D I Pdx Qdy C II.3 Tích phân không phụ thuộc đường Q P ích phân không phụ thuộc đường ( ) x y B I I1 I AB AC CB x xB y A , yB I1 P ( x , y )dx Q ( x , y )dy AC A xB y yA x A , xB P ( x , y A )dx Q ( x , y A ) 0dx xA yB I P ( x , y )dx Q( x , y )dy P ( x A , y ) 0dy Q( x B , y )dy CB yA xB yB xA yA I P ( x, y A ) dx Q( x B , y )dy C dụ (2,3) Tính I ydx xdy ( 1,2) Q P 1 x y suy ra, tích phân không phụ thuộc đường B(2,3) ách 1 A(1, 2) I 2dx 2dy AC CB Cách C Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy U x' P ( x, y) ' U y Q( x , y ) tìm hàm U ( x , y ) xy (2,3) I ydx xdy ( 1,2) (2,3) U ( x, y ) ( 1,2) U (2,3) U (1, 2) dụ (6,8) Tính I (1,0) xdx ydy x2 y Q P suy ra, tích phân không phụ thuộc đường x y Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy ' U x P ( x , y ) U ' Q( x, y) y x x y2 y x2 y2 (1) (1) U ( x , y ) P ( x, y)dx g( y ) U ( x, y) (2) (2) g' ( y) g( y ) C U ( x, y) x y C I (6,8) U ( x, y ) (1,0) x y g( y) U (6,8) U (1, 0) dụ Tính xdx ydy I 2 x y AB theo đường cong AB tùy ý từ (1,0) đến (2,0): a) Không bao quanh gốc tọa độ; b) Bao quanh gốc tọa độ a) Q P x y tích phân I không phụ thuộc đường từ A đến B dx I ln | x | ln x Q P ) Đây tích phân không phụ thuộc đường x y tính theo đường thẳng từ A đến B theo trục hoành, khô ó miền đơn liên D chứa đường cong kín bao quanh gốc O cho P, Q ác ĐHR cấp liên tục D ó hai cách khắc phục: ách Tính theo đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB ong đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0) ách Tìm hàm U(x,y) vi phân toàn phần P(x,y)dx+Q(x,y)dy x P( x, y) (1) x y y ' U y Q( x, y) (2) x y U x' (1) U ( x , y ) P ( x , y )dx g( y ) ln( x y ) U ( x, y) g( y) (2) g' ( y) g( y ) C U ( x , y ) ln( x y ) C (2,0) U ( x, y ) (1,0) U (2, 0) U (1,0) ln ln1 ln 2 dụ I (2 ye xy e x cos y )dx (2 xe xy e x sin y )dy C a) Tìm số để tích phân I không phụ thuộc đường b) Với câu a), tính I biết C cung tùy ý nối A(0, ) B(1,0) a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường Q P x y 2e xy xye xy e x sin y 2e xy xye xy e x sin y 1 Đây điều kiện đủ với cung C tìm miền đơn liên hứa cung C cho P, Q ĐHR cấp liên tục miền D b) với ta có tích phân (1,0) (2 ye xy e x cos y )dx (2 xe xy e x sin y )dy (0, ) Chú ý I không phụ thuộc đường A(0, ) x0 y1 , y2 O B (1, 0) I AO OB y0 I sin ydy e x dx I e 1 x1 1, x2 dụ ) Cho P ( x, y ) y, Q( x, y ) x ye y Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = cho ích phân I h( y ) P ( x, y )dx h( y )Q ( x, y )dy không phụ thuộc đường C b) Với h(y) câu a), tính I biết C phần đường cong có phương trình x y 36 , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2) a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường Q P x y dụ I ydx zdy xdz với C đường cong C a cos t, y a sin t, z bt,0 t 2 theo hướng tăng dần biến t Tính 2 I a sin t (a sin tdt ) bt (a cos tdt ) a cos t (bdt ) 2 I a sin t abt cos t ab cos t dt a dụ ( y z )dx ( z x)dy ( x y )dz với C giao x y z2 4, C x tg ;0 , ngược chiều kim ĐH nhìn theo hướng trục 0x ham số hóa cung C x 2tg 2 z2 x2 z2 1 cos 2cos cos t; y 2cos sin t; z 2sin t t 2 2 (2sin cos t 2sin t )(2cos sin t ) (2sin t 2cos cos t )(-2sin sin t ) 2 (2 cos cos t 2sin cos t )(2 cos t ) dt 2 2a sin( ) [...]... y r sin t Vì x 2 y 2 16 , nên r4 x 4 cos t Phương trình tham số của C: ; t 2 2 y 4 sin t /2 2 6 4cost 4 sin t (4sin t ) (4cos t ) dt 4 cost sin tdt 5 4 / 2 / 2 /2 4 4 2 2 6 4 í dụ I 2 xdl Tính , với C là giao của x 2 y 2 4 và x + z = 4 C x r cos t y r sin t z 4 r cos t Đặt Vì x 2 y 2 4, x z 4 , nên r 2... B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ I C 0A AB B0 B hương trình OA: y = x A Hoành độ điểm đầu: x = 0 Hoành độ điểm cuối: x = 1 1 ( x 2 3 x )dx 2 x 1dx 0A 0 1 17 1 ( x 5 x ) dx 6 0A 0 2 O Phương trình AB: y = 2 – x B Hoành độ điểm đầu: x = 1 A Hoành độ điểm cuối: x = 0 11 ( x 3(2 x ))dx 2 (2 x ) (1) dx 6 AB 1 0 2 O 2 hương trình BO: x =