tích phân đường

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 5: Tích phân đường • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - I –Tích phân đường loại II –Tích phân đường loại hai II.1 – Định nghĩa, cách tính II.2 – Công thức Green II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường I Tích phân đường loại  A2        M2   A1 M1   A0  An Mn   An    I Tích phân đường loại f  f ( x, y ) xác định đường cong C Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ điểm A0 , A1 , , An Độ dài tương ứng L1 , L2 , , Ln Trên cung Ai Ai 1 lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi ) n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y ) dl C gọi tích phân đường loại f=f(x,y) cung C I Tích phân đường loại Tính chất tích phân đường loại 1) Hàm liên tục cung C, bị chặn, trơn tùng khúc khả tích C 3)    fdl    fdl 2) L(C )   1dl C C 4)  ( f  g )dl   fdl   gdl C C C C 5) Tích phân đường loại không phụ thuộc chiều lấy tích phân C 6) Nếu C chia làm hai cung C1 C2 không dẫm lên nhau:  fdl   fdl   fdl C 7) C1 C2 ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình Nếu f(x,y) liên tục cung trơn C có độ dài L Khi tồn điểm M0 thuộc cung C, cho  fdl  f ( M )  L C Cách tính tích phân đường loại Cung C cho phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1  t  t2 n  f ( x , y ) dl  f ( M )  L lim    i i n  i 1  C Li độ dài cung nhỏ AiAi+1: ti 1 2 2  x (t )    y (t )  dt  x (t )    y (t )   t Chọn điểm trung gian M có tọa độ  x(t ), y (t )    f ( x, y )dl  lim   f  x(t ), y (t )    x (t )    y (t )   Li   ' ' ' ' i i ti  ti  ti 1 i ti i n i n i 1 C t2 i  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C t1 i i ' ' i i  x (t )    y (t )  ' '   ti   dt Cách tính tích phân đường loại Cung C cho phương trình: y = y(x), a xb Phương trình tham số C :x = x(t), y = y(t), t1  t  t2 t2  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C  x (t )    y (t )  ' t1 ' dt ' t2  y (t )  '   f ( x(t ), y (t ))    '  x (t )  dt t1  x (t )  b  '  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))   y ( x) C a  dx Tương tự, Cung C cho phương trình: x = x(y), c  y  d d  '  f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )   x ( y ) C c  dy I Tích phân đường loại Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường không gian f  f ( x, y, z ) xác định đường cong C không gian C cho phương trình tham số:  x  x(t )   y  y (t ),  z  z (t )  t1  t  t2 I   f ( x, y, z )dl C t2  f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )) C t1 2  x (t )    y (t )    z (t )  ' ' '  dt dụ x Tính I   x3dl, C cung parabol y  ,  x  C b  '   f ( x, y ( x))   y ( x) a  dx   x '  ( y ( x)) dx   x 0 58  x dx  15 Ví dụ Tính I   xdl , C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) C C2 đường thẳng từ (1,1) đến (1,2)  '   xdl   xdl   xdl   x   y ( x) C C1 C2 2   x   x dx   1      2  ' dx   x( y )   x ( y ) 5 1 2 dy   d dụ Tính I   (2  x y )dl, với C nửa đường tròn x  y  C b  ' Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))   y ( x) a  dx hưng việc tính toán phức tạp iết phương trình tham số cung C ặt x  r cos t ; y  r sin t 2 x  y  1, nên r = ì  x  cos t ; 0t  hương trình tham số nửa cung tròn:   y  sin t    (2  cos t  sin t )  ' x (t ) 2   y (t ) dt   (2  cos2t  sin t )dt   2   '  dụ I   (4  y )dx  xdy ính , C cung Cicloid C  2(t  sin t ), y  2(1  cos t ),0  t  2 (cùng chiều kim đồng hồ) Cung C không kín 2   (4  2(1  cos t ))  2(1  cos t )dt  2(t  sin t )(2sin t )dt 2   4t sin tdt  8 dụ ính I   e  ( x2  y )  cos xydx  sin xydy  , C x  y  ngược chiều kim đồng hồ P ( x, y )  e  ( x2  y ) cos(2 xy ) P ( x  y2 )  2e  y cos(2 xy )  x sin(2 xy )  y Q ( x  y2 )  2e  y cos(2 xy )  x sin(2 xy )  x  Q P  I     dxdy   y  x  y 4  x dụ xdy  ydx , C đường cong kín tùy ý I 2 x  y C không chứa gốc 0, ngược chiều kim đồng hồ Tính Trường hợp C không bao quanh gốc Sử dụng công thức Green y P ( x, y )  x  y2 P 1 2y2   2 2 y x  y x y  x Q( x , y )  x  y2 Q 2x2   x x  y x  y2     Q P  I     dxdy   y  D  x rường hợp C bao quanh gốc hông sử dụng công thức Green ì P, Q ĐHR cấp không ên tục miền D, có biên C Kẻ thêm đường tròn C1 có bán kính a đủ nhỏ để C1 nằm lọt C, chọn chiều kim đồng hồ        I1  I C C C1 C1 I1   C C1  Q P   dxdy  =     y  D  x Green Tính tích phân I2 cung tròn x2 + y2 = a2 hương trình tham số cung C1: x  a cos t, y  a sin t, t1  2 , t2  a cos t  a cos t  dt  a sin t  a sin t  dt    2 a 2 I  I1  I  2 II.3 Tích phân không phụ thuộc đường Định lý Cho hàm P(x,y), Q(x,y) ĐHR cấp chúng liên tục miền mở đơn liên D chứa cung AB Các mệnh đề sau tương đương Q P  x y Tích phân I   Pdx  Qdy không phụ thuộc đường cong trơn khúc AB nối cung AB nằm D Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy, tức dU ( x , y )  Pdx  Qdy Tích phân chu tuyến kín C, trơn khúc D I   Pdx  Qdy  C II.3 Tích phân không phụ thuộc đường Q P  ích phân không phụ thuộc đường ( ) x y B I        I1  I AB AC CB x  xB y A , yB I1   P ( x , y )dx  Q ( x , y )dy AC A xB y  yA x A , xB   P ( x , y A )dx  Q ( x , y A )  0dx xA yB I   P ( x , y )dx  Q( x , y )dy   P ( x A , y )  0dy  Q( x B , y )dy CB yA xB yB xA yA  I   P ( x, y A ) dx   Q( x B , y )dy C dụ (2,3) Tính I   ydx  xdy ( 1,2) Q P  1 x y suy ra, tích phân không phụ thuộc đường  B(2,3) ách 1 A(1, 2)  I       2dx   2dy  AC CB Cách C Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy U x'  P ( x, y)  ' U y  Q( x , y ) tìm hàm U ( x , y )  xy (2,3) I   ydx  xdy ( 1,2) (2,3)  U ( x, y ) ( 1,2)  U (2,3)  U (1, 2)  dụ (6,8) Tính I  (1,0) xdx  ydy x2  y Q P suy ra, tích phân không phụ thuộc đường  x y Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy  ' U x  P ( x , y )    U '  Q( x, y)  y   x x  y2 y x2  y2 (1) (1)  U ( x , y )   P ( x, y)dx  g( y ) U ( x, y)  (2) (2)  g' ( y)   g( y )  C U ( x, y)  x  y  C I (6,8)  U ( x, y ) (1,0) x  y  g( y)  U (6,8)  U (1, 0)  dụ Tính xdx  ydy I  2 x  y AB theo đường cong AB tùy ý từ (1,0) đến (2,0): a) Không bao quanh gốc tọa độ; b) Bao quanh gốc tọa độ a) Q P  x y tích phân I không phụ thuộc đường từ A đến B dx I  ln | x |  ln x Q P  ) Đây tích phân không phụ thuộc đường x y tính theo đường thẳng từ A đến B theo trục hoành, khô ó miền đơn liên D chứa đường cong kín bao quanh gốc O cho P, Q ác ĐHR cấp liên tục D ó hai cách khắc phục: ách Tính theo đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB ong đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0) ách Tìm hàm U(x,y) vi phân toàn phần P(x,y)dx+Q(x,y)dy x  P( x, y)  (1) x y y ' U y  Q( x, y)  (2) x y U x' (1)  U ( x , y )   P ( x , y )dx  g( y ) ln( x  y ) U ( x, y)   g( y) (2)  g' ( y)   g( y )  C U ( x , y )  ln( x  y )  C (2,0)  U ( x, y ) (1,0)  U (2, 0)  U (1,0)  ln  ln1  ln 2 dụ I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy C a) Tìm số  để tích phân I không phụ thuộc đường b) Với  câu a), tính I biết C cung tùy ý nối A(0,  ) B(1,0) a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường Q P  x y  2e xy  xye xy   e x sin y  2e xy  xye xy  e x sin y  1 Đây điều kiện đủ với cung C tìm miền đơn liên hứa cung C cho P, Q ĐHR cấp liên tục miền D b) với   ta có tích phân (1,0)   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy (0, ) Chú ý I không phụ thuộc đường  A(0,  ) x0 y1   , y2  O B (1, 0) I   AO OB y0  I    sin ydy   e x dx I  e 1 x1  1, x2  dụ ) Cho P ( x, y )  y, Q( x, y )  x  ye y Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = cho ích phân I   h( y ) P ( x, y )dx  h( y )Q ( x, y )dy không phụ thuộc đường C b) Với h(y) câu a), tính I biết C phần đường cong có phương trình x  y  36 , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2) a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường Q P  x y dụ I   ydx  zdy  xdz với C đường cong C  a cos t, y  a sin t, z  bt,0  t  2 theo hướng tăng dần biến t Tính 2 I   a sin t  (a sin tdt )  bt  (a cos tdt )  a cos t (bdt ) 2   I    a sin t  abt cos t  ab cos t dt   a dụ   ( y  z )dx  ( z  x)dy  ( x  y )dz với C giao x  y  z2  4, C  x  tg ;0     , ngược chiều kim ĐH nhìn theo hướng trục 0x ham số hóa cung C  x 2tg 2  z2  x2 z2  1 cos   2cos   cos t; y  2cos   sin t; z  2sin t  t  2 2   (2sin  cos t  2sin t )(2cos  sin t )  (2sin t  2cos  cos t )(-2sin  sin t )  2     (2 cos  cos t  2sin  cos t )(2 cos t ) dt  2 2a sin(   ) [...]...   y  r sin t Vì x 2  y 2  16 , nên r4  x  4  cos t   Phương trình tham số của C:  ;  t  2 2  y  4  sin t  /2 2 6   4cost  4 sin t (4sin t )  (4cos t ) dt  4  cost  sin tdt  5  4  / 2  / 2  /2 4 4 2 2 6 4 í dụ I   2 xdl Tính , với C là giao của x 2  y 2  4 và x + z = 4 C  x  r cos t   y  r sin t  z  4  r cos t  Đặt Vì x 2  y 2  4, x  z  4 , nên r  2... B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ I     C 0A AB B0 B hương trình OA: y = x A Hoành độ điểm đầu: x = 0 Hoành độ điểm cuối: x = 1 1     ( x 2  3 x )dx  2  x  1dx 0A 0 1 17 1     ( x  5 x ) dx  6 0A 0 2 O Phương trình AB: y = 2 – x B Hoành độ điểm đầu: x = 1 A Hoành độ điểm cuối: x = 0 11     ( x  3(2  x ))dx  2  (2  x )  (1) dx   6 AB 1 0 2 O 2 hương trình BO: x =