giai tich loi phan 2

loi Chương IV D Ư Ớ I V I PHÂN 4.1 ĐẠO HÀM T H E O PHƯƠNG Giả sử f h m xác định không gian lồi địa p h n g Hausdortf X |/(;r)| < +00 Đ i n h nghĩa 4.1 Dạo hàm hàm f theo "phương (ỉ , i \ ký hiệu f'(x; d), định nghĩa giới hạn ỉ (.r; d) := l i m -y A 1.0 Ả sau: nến giới hạn t n t i (có t h ề hữu hạn ± o o ) Nhận xét ị.Ì /'(.(•;.) h m dương Thật vậy, VA > 0, / = Ằ-ìựịXx) - / ( A r ) | < e f liên t ụ c t i !•() b) N ế u f liên t ụ c t r o n g l â n c ậ n w n i i n l i p h ầ n a) t ậ p w, f liên tục t i m ọ i đ i ể m c ủ a 0, t h ì theo c h ứ n g n ó n K\Y ciia có the t r đ i ể m T a l i c ó K\Y sinh tòi — À" v t i ta đà giả thiết / liêu t ụ c V i v ậ y , Đ i n h lý 4.2 G i ả sử ị' l h m l i c h í n h t l r n g t r ê n À", liên tục c c đ i ề m tập /' l i ê n t ụ c t r ê n t o n À" u c A" Khi đó, ) N ế u t i đ i ể m ã G À" t h ỏ a m ã n V + d G m hằu hạn, • f ' ( ! " ) liên t ụ c t i m ọ i đ i ể m ciìa n ó n f'(.v;d) Kư-X sinh b i t ậ p Ự — T, có t h ể t r r a đ i ế m 0; b) N ế u /' liên tục t i X, t h ì f'(.r;.) hằu hạn v liên tục t r ê n A" Chúng minh a) T h e o m ệ n h (tề 4.2, t a chì c ầ n c h ứ n g m i n h r ằ n g /'(.(•:.) liên tục t i m o i đ i ể m cùa t ậ p ự — {' T r c h ế t t a chì f'(.r;.) Do | / ' ( r ; r f ) | < h m c h í n h + O C , n ô n ,.r e dom/ thường Từ đ ị n h lý 4.1 nliậii được: f ' { x ; d ) < f ( x+ d) - f ( x ) (Ve/ e X ) ta J 09 N(UI 3d J e A ' : / ' ( / • ; dị ) = - o e T h e o ( l ị n h lý 2.9, ;(• + (ì e int{đom f ) D o ( l ó v i f > chi n h ò , ỉ- + (< X*, d> (Vá G i ) minh N ế u X * G Ỡ / ( T ) , t h ì v i m ọ i (ỉ E X , A > 0, t a c ó : /(í + Ac/) - f(x) > \ < x*,d > 111 T h e o đ ị n h lý f có đ o h m t i í nôn: f'( v ; d ) > < t h e o p h n g d, x*,đ> (4.4) N g ợ c l i , n ế u (4.4) ( l ú n g , t a l ấ y V £ À", ã = đ ị n h lý 4.1 ta n h ậ n < _ V — }•, từ được: > < / ' í , - : r - ã-) < ĩ f ( x + (X - ĩ ) ) - /(.*•) D o đ ổ (•* ẽ / ( r ) H ệ 4.3.1 • Ỡ/U) = d A f { x ; 0), t r o n g đ ó ỡf/ d ứ i v i p h â n Chúng cho f ' { x \ d ) theo b i ế n ã minh D o /'(.(•;()) = theo đ ị n h lý 4.3, t a c ó : e a/(.r) f'(.r: đ ) - f ' ( x ; Q ) >< x*,(ì > (Ví/ € -Ý) •>•* e O f'(x;0) • d Đ i n h lý 4.4 G i s ù f l h m l i c h í n h t h n g t r ê u A" v V (E f ( x ) + f*(x*) =< ,*,.«• > minh a) Giả s ù :r* e df(.r) K h i đó, / ( • ' • ) - / ( / • ) > (We-Ý) 112 ==> < x \ x > - / ( * ) >< x*,x > -f(:r) < ;•*,.(• > - f ( r ) > s u p { < (•*,.;• > (V.r € A ' ) -/(./•)} J' = /*(**) (4.Õ) s M ặ t k h c theo b ấ t đ ẳ n g t h ứ c Y o u n g - F(Tiehc l T (4.5) (4.6) suy - f i x ) b ) G i ả sir (4.7) đ i í n g T b ấ t đ ẳ n g thức Y o u n g - Fonohel v i Ả > 0, d G À", t a có: f ( x + Xd)>< =» v* r + Xd> ^—; > / V : rf) > < «•*, í/ > =» x * e d f ự ) Ví dụ _ ( < ị > -/(.ĩ-)) = < r , í / > (Ví/ G À") ( đ ị n h lý 4.3) • ị.ỉ Cho h m siffine /(.!•) = < r*,.r > + a K h i đ ó , ỡ / ( r ) = {.í*} (V.r G A ' ) (** e A'*.n e /?) 113 Ví dụ 4.2 Cho h m chì /'(•'•) = ^(-l-*!), t r o n g đ ó A t ậ p l i k h c K h i (ló v i J" G -4 e ỡ()(.r\A) ố(.v\A) < tf*,.T > ố ị.rĩ Á)-Ị- < x \ x - ĩ > (V;r e À") - X >< (V.Ĩ A) Đ i ê u n y c ó nghĩa X* v é c t p h p t u y ế n c ủ a t i ã' N h v ậ y , ỡồ(.r|-4.) ncSn p h p t u y ế n cùa A t i X : T ỡ*(:r|.-i) = A (ã-|.4) Chú ý: v i ĩ- ị 4, dổ(x\A) = w dụ 4.3 G i s A ' k h ô n g g i a n B a n a c h , f ( x ) = \\x a) V i í' / ta có: d f ( x ) = {x* € A ' * : = 1,< í ' , ! > = T h ậ t v ậ y , n ế n (•* t h o a m â n < Ỉ:*,.Ì' > = ||.ỉ'|| v ||.r*|| = Ì , thì: < , • * : > < | | ; | | | k * ] | = ||c|| < | | í jr* e ỡ/(:c) NI (V 6-Y) 224 n n N h v ậ y Vỉ/ G R , ta có đ ú n g m ộ t X € R ỡ ^ - { < y , x > - - Y ax cho: n Ì j V i = Ĩ7^ ị x i ự } = p Ì N h t h ế suv ra: (1) D{f*) = R n E:il (2) f*(v) r it\**\ = -iL\y>\"' = với = — - — Đó đ i ề u phải chímg p-Ì 4.1 1) L ấ y ý e d f [ x )và y minh G d f ( x ) K h i đ ó theo đ ị n h ữ nghĩa Ô/(;i'o), t a c ó : / ( * ) > / f r o ) + < y \ z -xo f(x) > f ( x ) + < y ,x - x >, Vx € £ > ( / ) , >, Va: € DUY (1) (2) D o v ậ y V A j > 0, A > v A i + A2 = Ì , t ( ) v ( ) suy r a : Ai/(x) > \ i f ( x A /U) > X f(xo) ữ )+ X + A < y \ x - x ° ì < y ,.T - >, x° > (3) (4) T ( ) v ( ) suy r a (sau k h i cộng t n g v ế ) : f í x ) > f ( x ° ) + < \ y + X y , x - x Q > Theo đ ị n h nghĩa t ( ) suy ra: Aiy +A y €a/(xo) =>• df(xo) t ậ p hợp l i = > • đ.p.c.m (V.T e £ > ( / ) ) (5) 225 2) Lấy { Ị / } e df{;v°) già sử ĩ/ -> y° Do yi € d f ( x ° ) nên V i , ta có: /(*) > < y \ * - *° > (V* G £>(/)) (6) T (G) cho i —> +oo ta nhận được: /U)>/U°)» = > y ữ y = ,r° > VxeDỰ) e d f ( x ° ) Vậy df{x°) 4.2 ViXi a) Nếu \x 0,Xịyi \ > \yi \ + > > Ì, ta chọn \yz\ 0,T y > (1) ĩ = mà IXi (xi,x~2) I = Khi đó, m a x { | c i | , | x | } = |afi| = \x \ + y x yiXi 2 = lyixil + = |z~i|(|yi| + \V2X \ IV2D- Như ta có: max{|ĩT|, Từ (1) suy ra: y = { y u y \xĩ\} ) ị < ViXi IJ2.V-2- + ỡ/(0), \ V l ị + \y \ > b) Nếu | y i | + | y | < l : Ta chi xét y\Xi + ỊI2X2 ta có : max{|a'i|, yỊXị + y < Do \yi\ x - \y1V1 h / i | M+ | y + \y \ < Ì ==> ( > \X2\} y\Xi ViXi + + y2X )- | M < m a x { | x i | , \x \}(\yi\ + +V2X2Ì > < Lúc < y\Xi Ị/2X2 + y x < |y |) max{|xi|, |-r |} Vậy (1) thỏa mãn lỉ/il + \y \ < Ì, tức y = (ỉ/iiĩ/a) e ỡ/(0) Như ta chứng minh được: ỡ/(0) = { y : | y i | + | y | < l } 229 4.4 Áp dụng định lý Moreau-Rockafellar, ta có: li ri n (fì A",)* = -dối Pi À-; XO) = -d{j2ốiũ)(0) i=l í=i 1=] Tỉ TI = -£a«5À\(0) = J>7 i-1 ==>• i=l đ.p.c.m n 4.5 a) Cần: K h ô n g giảm t ố n g q u t , giả sử A" = Pl Ki Ỷ 1=1 K h i A' n ó n l i m , không giao v i K +1 n Theo định lý tách tồn t i p h i ế m h m t u y ế n t í n h y* G X* cho: < y*,x inf >> sup < ỉ/*,;r > Điều có nghĩa y* K* —y* G A ' * đ i ể m giới h n Á" n h K +i) n + ( điểm X = Theo 4.4 ta khai t r i ể n y* t h n h t ổ n g n y* = 5^ J * , x *i e K i> i = i=l Ký hiệu —í/* qua ta đ i ề u phải chứng minh b) Dù: G i ả sử n g ợ c l i tồn t i X* G A"*, không đồng t h i b ằ n g 0, ị > ; = 0, 1=1 i = 1,77 + 230 n+ l tồn X €: KịỵX Ỷ- 0- Í=1 G i ả sử X * 7^ ( Ì < ?'o < n ) K h i đ ó X G intKi < x* ,x > > =>• v đ i ề u đ ó có n g h ĩ a l : n = < ^ < z*,:r » i=i M â u thuẫn nhận đ ợ c chứng minh phần điều kiện đ ủ TÀI LIỆU T H A M KHẢO Ì F.H Clarke Optimization m u i N o n s m o o t h Analysis YVilry I n t c r s c i c n r c X c w Y o r k 1983 C c b i giàn", v ô lý t h u y ế t / V.Girtunov t o n hoe c ù a c c l)ài t o n cực t r ị M G U M o s k v a ( t i c i i K A.D.Ioffc V.M.Tikhomirov Lý thuyết Xgii) hài lOíui cực r r ị X a u k i i M o s k v a 1974 ( r i r n g N g a ) I- B.N.Psh-fuic.hnyi Giai tích l i v c c toán cực t r ị Nauka M o s k v í i 1980 ( t i ế n g N g a ) , ũ R.T.R()C.kaf(dỉ(i.T Convex Analysis, Princeton University P r e s s P r i n c e t o n N e w Jersey, (j Dồ Vàn Lưu G i ã i t í c h Lipsc-liitz N h x u ấ t b n Khoa học K ỹ t h u ậ t H N ộ i 1999 Dồ ban Văn Lun, Lý thuyết ríu' ( l i o n k i ê n t ố i u N h x u ấ t K h o a h ọ c K ỷ t h u ậ t H N ô i 9 MÚC L Ụ C Tiiiii'j; L i n ó i (Hiu Ì Chu ưng TẬP ì LÒI 1.1 T Ạ P l()i 1.2 Xôn lồi 1.3 Đ ị n h lý C m a t h r o đ o r y 15 1.4 T i ) i i f f i n r Ví! b í m a f f i n r 19 Lõ Phần t n g (lối 30 ữìú t Ti Ị ) 34 Ch (TIU] li HÀM LỒI '? H m lồi 38 C c p h é p t o n Y[...]... i ể m t r a t í n h loi của 2? (x,/i(a;)) 2 125 Ị L ấ y (zi,oti) € c *2 {i = 1 ,2) v à À G [0,1], t a có: ai - + z ) + ( Ì - X)(x + z )) + x 2 c lồi A(z ,a ) + (... t r ư ờ n g h ợ p VI = 2 T r ư ờ n g h ợ p q u á t d ù n g quy tổng nạp à) Chứng minh: +f>)(.r) D dh(x) + df (x) 2 (4.11) 124 Lấy xì e dfi(x) (i = 1 ,2) K h i đó, v ớ i Vz € -Ý, < X*,z - X > < = • =*> - /,-(*) < X Ĩ + x 5 , 2 - X > < /l (2) + X* + x* € ỡ ( / ! + / ) ( x ) = • 2 2 ( i = Ì , 2) /2( ^)-(/,(x)+/ (x)) 2 (4.11) b) Ta chứng minh r ằ n g nếu / ì liên tục t ạ i X € cỉomf , 2 + / ) ( x ) = a / i... x 2 c lồi A(z ,a ) + ( l - A ) ( * , a ) e C 2 1 1 í 2 h(x) 2 2 T a c ó : Gi n Ca = 0? T h ậ t v ậ y , n ế u 3(^0) ^0) £ C i n C '2, t h ì : - f 0 = > < 2 ( x + Z ) + f (x) Q ,r*,~0 > > 2 / i ( a : + ^o) + > fi(x + z ) - f i ( x ) 0 / 2 Ú + 2 )-(/a(.'r) + 0 /2( .T)) Đ i ê u n à y m â u t h u ầ n v ớ i X* G d(fi + / 2 ) ( £ ) ( ! ) V ậ y , C\ n c *2 = 0 Theo đ ị n h (.C* ,ỊỈ) Ỷ 0 sup (:,a)ec*4... dMx) thì: (4. 12) 2 Ta có: int(epifi) 0? T h ậ t vậy, Ve > 0, tồn t ạ i lân cận ự m ả của X sao cho: |/i(*)-/i(*)| A : = { ( z , a ) e X X Jĩ : a > / i ( x ) + e, X e Ỉ7} c epz/j v à J4 mờ => L ấ y X * (E ô ( / i d c (VarelO int(epifi) + f2)(x)- ^ 0 Xét = {(*,a) e ! x i ỉ : các t ậ p t t >/ (i 1 sau: + 2 ) - M x ) } , = {(*, - / ( x + 2 ) + / ( x ) } 2 2 K h i đó, Cị... n f(s,x + \x)< f ( x ) + 2 N ế u cần t a t h a y ;ỉ' cho Ai- v à n h ậ n đ ư ợ c f{x + :ỉ') < +oo L ấ y í € ( 0 , 1 ) , t a c ó ĩ + tx € dom/ £ s sao cho: f ( s , x + tx) t = f { x + tx) t T ừ đ ị n h lý 4.1 v à (4 .22 ) suy ^ Chọn s (4 .23 ) ra: > sup{< z ,.v > : r e Ọ } + e D o b ấ t d ẳ n g t h ứ c Jensen v à (4 .23 ), (Ì - t)f(*, /(s ,x + fx) t , s„ \:i -2 Vì vậy, (Ì - t ) f ( s... z > J > rgrfom /2 — J L ' < sup zfztlomfi < r*,z > —X Điều này luân thuần v á i (4.16)(!) Vì vậy, Ạ Ỷ 0 và t n ( , < ) ;i < 0 Không m ấ t tính chất t ô n g quát có the xem lỉ = —ì N h ư vậy, CỊ v à C-J tách đ ư a c b ả i siêu phang: H = {{.-.,a) e X X R : < r ; , r > - r v = ()} T ừ (4.lõ) suy ra: sup{ - / , ( / • + Z) + V* - Mx)}< > +f (.v 2 + z ) - f (x)} 2 (4.17) 127 Đ ể ý r ằ n... c h ứ n g m i n h d f ( x ) lồi? L ấ y x\,x* 2 6 d f { x ) v à A < ( l - \ ) x * < Xx* + (Ì - 2 , x - x > \)x* ,x 2 - < Ả(/(x) - f ( x ) ) , < ( l - X ) ( f ( x ) - f ( x ) ị X > < f ( x ) - XxỊ + ( Ì — A)a. '2 G d f ( x ) b) Chứng m i n h d f ( x ) í X, f ( x ) (Va; e X ) df(x)\òi 0? T h e o đ ị n h lý 4 .2, / ' ( ĩ ; , ) l i ê n t ụ c t r ê n X D o... c lĩ, ( đ ị n h l ý 2. 9) ns+ và m *?- -n*,d) t f { x + t x ) - f ự ) t t > f'(x;x) >< > sup{< = z*,x f'Jx;x) x*,x > >: z* € d f S 0 { x ) } +e (4 .25 ) + e Chọn tỵ đủ nhỏ sao cho: /(ào,ĩ + - f ( s 0 , x )