ĐỀ thi HSG tỉnh chính thức môn toán 2016 2017

đề thi hsg tỉnh lớp 12 môn toán, ĐỀ thi HSG tỉnh chính thức môn toán 2016 2017 đề thi hsg tỉnh , đề thi hsg tỉnh lớp 12 môn toán , Hải dương, vĩnh phúc. đề thi hsg tỉnh lớp 12 môn toán ĐỀ thi HSG tỉnh chính thức môn toán 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Câu I ( 2,0 điểm) 2 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m + ( 1) , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số ( 1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân 2x + Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai x+2 đường tiệm cận (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận A B cho IA = IB Câu II ( 2,0 điểm) Giải phương trình: 2sin x − cos2 x + sin x − 2sin x + cos x − = ) ( x, y ∈ ¡ ) (  x ( x + y ) + x + y = y y3 +  Giải hệ phương trình:   x − y + = y x − x + Câu III (2,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau thành đa thức: f ( x) = x ( + x ) + x ( − x ) 2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = a, u2 = b, un = (un −1 + un − ) với n ≥ (a,b số thực) Tìm giới hạn dãy số (un) theo a b Câu IV (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm OC Góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC ( ) 2, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD) α Tìm giá trị cos α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy điểm M thuộc  a 2   đoạn AD’, điểm N thuộc đoạn BD cho AM = DN = x,  < x < x theo a để đoạn MN ngắn Câu V (1,0 điểm) 3 Cho a,b,c số thực dương a.b.c=1, thỏa mãn: a b + b a + Tìm giá trị lớn biểu thức P = ÷ Tìm = ab + ab 1 + − 2 + a + b + 2c …… Hết…… Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI: TOÁN Hướng dẫn chấm gồm trang HƯỚNG DẪN CHẤM Lưu ý: Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa Câu Nội dung Điểm Câu I (2 điểm) Ta có: y ' = x − ( m + 1) x = x ( x − m − 1) Câu I.1 (1điểm) Đồ thị hàm số có điểm cực trị m + > ⇔ m > −1 (*) Các điểm cực trị đồ thị A ( 0; m + 1) , B − m + 1; −2m C m + 1; −2m ( ) ( uuur uuur Suy AB = − m + 1; − ( m + 1) AC = ( ) ( ) m + 1; − ( m + 1) ) uuur uuur Ta có AB = AC nên tam giác ABC vuông cân AB AC = ⇔ ( m + 1) − ( m + 1) = Kết hợp với ( *) ta m=0 Câu I.2 (1.điểm)  2x +  Gọi M  x0 ; ÷∈ (C ) , hệ số góc tiếp tuyến M k = ( x + ) x0 +   Tam giác AIB vuông cân I nên hệ số góc tiếp tuyến k = k = -1  x0 = −1 =1⇔  ( x0 + ) ( x0 + )  x0 = −3 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + Vì k = nên k = ⇔ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu II (2 điểm) 2sin x − cos2 x + sin x − 2sin x + cos x − = ⇔ 2sin x − 2sin x + sin x − ( + cos2 x ) + cos x = ⇔ 2sin x ( sin x − 1) + 2sin x cos x − cos x + cos x = Câu II.1 (1điểm) ⇔ 2sin x cos x − 2sin x cos x + cos x − cos x = ⇔ cos x ( s inx + 1) ( cos x − 1) = π   x = + kπ cos x =  π  ⇔ s inx = −1 ⇔  x = − + k 2π  cos x =  x = k 2π   ( k∈Z) Câu II.2 Điều kiện: x + y ≥ 0, y ≥ 0, 2x − 3x + ≥ (1 điểm) PT (1) ⇔ x ( x + y ) + x + y = y + y ⇔ x + xy − y + x + y − y = (*) Nếu x + y + y = ⇒ x = y = không thỏa mãn hệ Nếu x + y + 2y > x=y  x− y  (*) ⇔ ( x − y ) ( x + y ) + = 0⇔  x + 2y + = ( **) x + y + 2y  x + y + 2y > nên Mặt khác với điều kiện x + y ≥ 0, y ≥ x + y + y + x + y + 2y (**) vô nghiệm.Với x = y ≥ PT(2) trở thành 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 8x − 8x + = 8x 2x − 3x + ⇔ 4( x − 2x − 3x + 1) = (2x − 1)  3± x =  2 x − 3x + = ⇔ ⇔  2 x − x + = x −  −1 x =   + 3 +   − 3 −   −1 −1  ; ; ; Vậy hệ có nghiệm  ÷;  ÷;  ÷ ÷ ÷ ÷       0.25 Câu III (2 điểm) Xét E = x ( + x ) Số hạng tổng quát: x.C7k ( 3x ) = 3k C7k x k +1 ( ≤ k ≤ ) • Số hạng chứa x k + = ⇔ k = 5 Vậy hệ số x khai triển E là: C7 k Câu III.1 (1 điểm) 0.25 0.25 Xét G = x ( − x ) Số hạng tổng quát: x C9k ( −2 x ) = ( −2 ) C9k x k + ( ≤ k ≤ ) • Số hạng chứa x k + = ⇔ k = Vậy hệ số x khai triển G là: ( −2 ) C94 = 24.C94 k • k 0.25 5 4 Vậy hệ số x khai triển là: C7 + C9 = 7119 0.25 1 un = (un −1 + un− ) ⇔ un − un −1 = − (un −1 − un − ) (1) 2 Đặt v n – = un − un −1 với n ≥ Khi v1 = u2 − u1 = b − a 0.25 2 Từ (1) ⇒ v n – = − − ⇒ (vn) CSN có công bội q = − Câu III.2 (1 điểm)  1 v n = v1  −   2 n −1  1 = ( b − a ) −   2 0.25 n −1 Ta có: un = (un − un −1 ) + (un −1 − un− ) + + (u2 − u1 ) + u1 1 − (− ) n −1 2b + a 2 = −1 + vn− + + v2 + v1 + u1 = v1[ ] + u1 = − (b − a)(− ) n −1 3 1+ n−1 2b + a Vì lim(− ) = nên lim un = 0.25 0.25 Câu IV (3 điểm) Câu IV.1 S (1điểm) C B H K O D A · Kẻ HK ⊥ AB (K ∈ AB) ⇒ AB ⊥ (SHK) ⇒ SKH = 60 0.25 HK // BC ⇒ HK AH 3 = = ⇒ HK = a BC AC 4 Tam giác SHK vuông H ⇒ SH = HK tan 600 = 0.25 3 a 3 3 S ABCD = a ⇒ VS ABCD = a a= a 4 0.25 0.25 Gọi M, N trung điểm BC, AD, gọi H hình chiếu vuông góc từ N xuống SM Ta có: S H C D 0.25 N M I Câu IV.2 (1điểm) A B · SMN = α, d ( A; ( SBC ) ) = d ( N; ( SBC ) ) = NH = ⇒ MN = NH = ⇒ SABCD = MN = sin α sin α sin α tan α = sin α cosα 4 ⇒ VSABCD = × × = sin α cosα 3.sin α.cosα sin α + sin α + 2cos 2α 2 2 sin α.sin α.2cos α ≤ = ⇒ sin α.cosα ≤ 3 VSABCD ⇔ sin α.cosα max SI = MI tan α = ⇔ sin α = 2cos α ⇔ cosα = 0.25 0.25 0.25 Câu IV.3 (1điểm) Gọi M’, N’ hình chiếu M, N lên AD 2 2 2 Ta có MN = M ' M + M ' N = M ' M + M ' N ' + N ' N x ; x Tam giác N’DN vuông cân N’ nên có N ' D = N ' N = Tam giác M’AM vuông cân M’ nên có M ' A = M ' M = 0.25 0.25 M ' N ' = AD − M ' A − N ' D = a − x 2 x2 x2 MN = + a − x + = 3x − 2a.x + a 2 Khi ( ) 0.25   a2 a2 a MN =  x − a ÷ + ≥ ⇒ MN ≥  3  a a Vậy MN ngắn đạt x = 3 Theo BĐT Cô–si ta có: a 3b + ab3 ≥ 2a 2b2 ⇒ ab + ≥ 2a 2b + t Đặt t=a.b>0 ⇒ t + ≥ 2t + ⇔ 2t − t − 2t + ≤ ⇔ 0.25 ab ≤ t ≤1 1 + ≤ (*) 2 1+ a 1+ b + ab 1 1 − )+( − )≤0 Thật vậy: (*) ⇔ ( 2 + a + ab + b + ab a(b − a) b(a − b) ⇔ + ≤ ⇔ (a − b) (ab − 1) ≤ (đúng) 2 (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab) 3t ⇒P≤ − = − + ab + 1+ t t + ab 3t   −