Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 – Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 – Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi cung cấp đến các bạn học sinh với 5 câu hỏi, có kèm theo hướng dẫn giải, phục vụ cho học tập và rèn luyện kiến thức.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020 Ngày thi: 06/12/2019 Môn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 02 trang) Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải hệ phương trình sau (với x, y   )  y  x y  x  y   x   2 6 y  yx  y  x b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ 9.3 x 2 x   m  11 .3 x 2 x2  4m   Câu 2: (5,0 điểm) a) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm  hàm f '( x) có đồ thị hình bên Tìm điểm cực trị hàm số g ( x)  f  x  1  x  x  2019 b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng triệu đồng theo thể thức lãi kép, kì hạn tháng với lãi suất 0, 65% / tháng Tính tổng số tiền anh Giàu nhận gửi 20 tháng Câu 3: (5,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với mặt phẳng  ABC  , tam giác ABC vng cân B, SB = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)  a) Tính theo a  thể tích khối chóp G ANC với G trọng tâm tam giác SBC , N trung điểm BC b) Gọi M trung điểm AC Tìm giá trị  để khoảng cách hai đường thẳng MN , SC đạt giá trị lớn Trang Câu 4: (3,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn chia hết cho 15 Câu 5: (2,0 điểm) Cho hàm số f  x   2019 x  2019  x Các số thực a, b thỏa mãn a  b    f a  b  ab   f  9a  9b   Tìm giá trị lớn biểu thức P  a, b thay đổi 4a  3b  a  b  10 ……………………… HẾT……………………… Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Nội dung Điểm a) Giải hệ phương trình sau (với x, y   ) 5,0 đ  y  x y  x  y   x   2 6 y  yx  y  x b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ 9.3 x 1.a 2 x   m  11 .3 x  y   x2   2 x2  4m   1,0 Điều kiện y  2 Ta có y  x2 y  2x2  y   2x2    y   x2   0,75 Do y  x , thay vào phương trình sau ta x  x  x  x  Suy   x  3x   Ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc đoạn [-1;1] (dùng đồ thị hàm số) Với 1  x  ta đặt x = cost (với t   0;   ), phương trình trở thành cos 3t   5 7 ,t  ,t  9 Như hệ có nghiệm   5 5  0;0  ,  cos ;cos  ,  cos ;cos 9  9  t  7 7    ;cos  ,  cos  9    Trang 0,5 suy 0,75 2.b Viết lại phương trình 3x Đặt t  x2  x  Xét t '   x  x .3 2 x2  2m  11 3x 2 x2  4m   (1) 0,5 x2  x  ln Từ bảng biến thiên suy giá trị t0   3;9  phương trình 3x nghiệm phân biệt nhỏ + Phương trình (1) trở thành t  1  2m  t  2m  11  2 x2  t0 có hai t  2t  11   2m (2) 2t  + Phương trình (1) có nghiệm phận biệt nhỏ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc khoảng  3;9  + f t   0,5 0,5  t  3 t  2t  11 2t  2t  24 , t   3;9  f '  t   0  2t   2t  1 t  0,5 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy (2) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc khoảng  3;9  26 13  m 5 a) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm  hàm f '( x)  2m  có đồ thị hình bên Tìm điểm cực trị hàm số g ( x)  f  x  1  x  x  2019 b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng triệu đồng theo thể thức lãi kép,kì hạn Trang 5,0 điểm tháng với lãi suất 0, 65% / tháng Tính tổng số tiền anh Giàu nhận gửi 20 tháng Ta có g '( x )  f '  x  1  x  2a (3,0đ) Suy g '( x)  x   3, x   x   hay x  1, x  1, x  1,0 1,0 Do bảng biến thiên hàm số x y' y –∞ + -1 g(1) – g(1) + g(2) – +∞ Suy x  điểm cực tiểu; x  1, x  điểm cực đại hàm số Trang 1,0  Cuối tháng thứ 1, ơng Giàu có số tiền là: P1  a  a.r  a 1  r  2.b (2,0đ)  Đầu tháng thứ 2, ơng Giàu có số tiền là: P1  a  a 1  r   a  a  a 1  r   a 1  1  r  ……………………………… 0,5  Cuối tháng thứ 2, ơng Giàu có số tiền là: P2  P1  P1.r  a  a 1  r    a  a 1  r    a 1  r   1  r      Đầu tháng thứ 3, ơng Giàu có số tiền là: 2 P2  a  a 1  r   1  r    a  a 1  1  r   1  r        Cuối tháng thứ 3, ơng Giàu có số tiền là: 2 P3  P2  P2 r  a 1  1  r   1  r    a 1  1  r  1  r   r      a 1  r   1  r   1  r   ………………………………………………   0,5  Cuối tháng thứ n, ơng Giàu có số tiền là:   n n 1 n2 Pn  a 1  r   1  r   1  r     1  r   1  r   Sn    Pn  a 1  r  1  r  n 1 r  3 1,0 Vậy sau 20 tháng anh Giàu nhận tổng số tiền 1  0, 65%  1  0, 65%  0, 65% n 1 triệu Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vng cân B, SB = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)  a) Tính theo a  thể tích khối chóp G.ANC với G trọng tâm tam giác SBC, N trung điểm BC b) Gọi M trung điểm AC Tìm giá trị  để khoảng cách hai đường thẳng MN, SC đạt giá trị lớn Trang 5,0 3a (3,0đ) Dễ thấy, 1,0  d (G ,( ABC ))  d ( S ,( ABC )) ,   SBA 1,0 S ANC  S ABC , SA  a sin  , AB  a cos    ( a cos  ) a sin  cos   Do VS ANC   SA  S ABC   a sin     2 36  18 3b (2,0) Vẽ hình vng ABCD, mp(SCD) chứa SC song song với MN nên 1,0 1,0 1 d ( MN , SC )  d ( MN ,( SCD))  d ( M ,( SCD))  d ( A,( SCD))  AH 2 Tam giác SAD có 1 a a    2  AH  sin 2  2 AH AS AD a sin 2 2 Do khoảng cách cần xét lớn sin 2     Câu 1,0  Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác 3,0 lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính điểm xác suất để số chọn chia hết cho 15 + Gọi x  abcd + Số phần tử không gian mẫu: n     A94 0,5 + x chia hết cho 15  x  x Suy x  abc5 Suy x chia hết 15 a  b  c chia dư + Ta tìm tất số có chữ số khác abc mà a  b  c chia dư Xét tập A  1; 4;7 , B  2;8, C  3;6;9  Th1: số thuộc tập A , số thuộc tập C Có C31 cách chọn số thuộc tập A , C32 cách chọn hai số thuộc tập C Ta có C C 3! số Th2: số thuộc tập A , số thuộc tập B 0,5 0,5 Có C32 cách chọn hai số thuộc tập A , cách chọn hai số thuộc tập B Ta có 2.C32 3! số Th 3: số thuộc tập B , số thuộc tập C Có cách chọn hai số thuộc tập B , C31 cách chọn hai số thuộc tập C Ta có C31.3! số Trang 0,5 0,5 Gọi D biến cố “ Chọn số chia hết cho 15” n  D   C31.C31.3!  2.C32 3!  C31.3! P D  Câu 0,5 C31.C31.3!  2.C32 3!  C31.3!  A94 28 Cho hàm số  f  x   2019 x  2019  x Các số thực a, b  thỏa mãn a  b  f a  b  ab   f  9a  9b   Tìm giá trị lớn biểu thức P  a, b thay đổi (2,0đ) 4a  3b  a  b  10 Ta có f '  x   2019 x.ln  2019   2019  x.ln 2019   , x   Suy f  x  đồng biến 0,5  Lại có f   x   2019  x  2019 x   f  x  Suy f  x  hàm số lẻ     f a  b  ab   f  9a  9b    f a  b  ab    f  9a  9b  f 9a  9b  0,5  a  b  ab   9a  9b  a  b2  ab   9a  9b   4a  4b2  4ab   36a  36b   (2a  b)2  18(2a  b)  3(b 3)2  19   (2a  b)2  18(2a  b)  19  3(b 3)2  …………………………………  (2a  b)2  18(2a  b)  19   1  2a  b  19  2a  b  19  2a  b  19  2a  b  19 Mặt khác P     P  Dấu xảy a  b  10 Chú ý:  a  b  19   a   a  ………………………………………………………  b  Mọi lời giải đúng, khác với hướng dẫn chấm, cho điểm tối đa theo câu phần tương ứng Tổ chấm thảo luận để thống tình làm xảy học sinh Mời bạn đọc tham khảo https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-12 Trang 0,5 0,5 ... '( x)  x   3, x   x   hay x  1, x  1, x  1,0 1,0 Do bảng biến thi? ?n hàm số x y' y –? ?? + -1 g(1) – g(1) + g(2) – +∞ Suy x  điểm cực tiểu; x  1, x  điểm cực đại hàm số Trang 1,0 ... C Có C31 cách chọn số thuộc tập A , C32 cách chọn hai số thuộc tập C Ta có C C 3! số Th2: số thuộc tập A , số thuộc tập B 0,5 0,5 Có C32 cách chọn hai số thuộc tập A , cách chọn hai số thuộc... 3: số thuộc tập B , số thuộc tập C Có cách chọn hai số thuộc tập B , C31 cách chọn hai số thuộc tập C Ta có C31.3! số Trang 0,5 0,5 Gọi D biến cố “ Chọn số chia hết cho 15” n  D   C31.C31.3!