Bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chuyên đề dãy số

Bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chuyên đề dãy số ( Tuyển tập các đề thi HSG cấp tỉnh = HSG khu vực), Học sinh giỏi lớp 12, Tài liệu bồi dưỡng HSG Bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chuyên đề dãy số ( Tuyển tập các đề thi HSG cấp tỉnh = HSG khu vực), Học sinh giỏi lớp 12, Tài liệu bồi dưỡng HSG

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ

Phần 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI DÃY SỐ - LỚP 12 Phần 2 TUYỂN TẬP ĐỀ THI DÃY SỐ - LỚP 11 Phần 3 TUYỂN TẬP ĐỀ THI DÃY SỐ - OLIMPIC Ghi nhớ

 (*) Bài tập dành cho lớp chuyên

 (DT) Mã đưa về phương trình đặc trưng

1 u

 

 Đặt un = tan  (  phải chọn phù hợp với u1)

2 Có dạng căn liên tiếp đặt un = cos 

3 Có dạng n

n

cuu

 dùng cô si dạng 2n

n

cuu

4 Dạng un 1 f (n).un viết từ u2 đến un 1 , nhân vế với vế và giản ước

5 Dạng un 1 un f (n) viết từ u2 đến un 1 , cộng vế với vế và giản ước

7 Dạng un 1 a.un b.un 1 giải ptr đặc trưng k2 a.k  b 0

Phần 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI DÃY SỐ - LỚP 12

Bài 1 Cho dãy số (an) , a1 = 1 và n 1 n

Trang 2

HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh



  và dóy số (Sn) xỏc định bởi 1 1

n

u

n u

 , ta được v n1 v n 2,n 1, 2, 

Được CSC với 1

1

1 1 2 2

v u d

HD

Để giài bài toỏn ta cần chứng minh (bằng pp qui nạp)  n n n

u , cos( u u ) 2 cos u

Trang 3

ª Với n = 1 cos u1 + cos (-u1) = 2 cos u1

n = 2 cos(u1+u2) + cos(u1- u2) + cos(-u1+u2) + cos(-u1- u2)= 2 cos u1 cosu2 + 2 cos(- u1) cosu2 = 4 cos u1 cosu2

ª G/s bài toán đúng với n, khí đó

2.2008

 = 2



Do đó cos u2007 = 0 Vậy S = 0

Bài 5 Cho dãy số U nđược xác định bởi u1 5

Trang 4

Bài 9* Cho dóy số u0 = 2009 , k 1 k 1 ( 1, 2, )

a   a   2ca  a   a    0 (a   a  )(a   2ca   a  )  0

Do  an là dóy tăng  an 1  an 3  an 3  2can 2  an 1   0 an 3  2can 2  an 1

Và

n 2

Trang 5

6 3

n

x      (n = 0,1, 2,…) Chứng minh rằng dãy số(x n)có giới hạn hữu hạn khix   và tìm giới hạn của nó

Giải

•Xét phương trình

2

6 3

3

l

l l l

•Chứng minhu n min(x2n,x2n1)  n N Với n=0 thì u0  min( ,x x0 1)

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là u k x2k và u k x2k1 Khi đó

Vậy u k1 min(x2k2,x2k3) Suy rau n  min(x2n,x2n1)  n N

•Xét dãy số ( )v n được xác định như sau

Vì limu n  limv n  2 nên limx2n  limx2n1  2  limx n  2 (0,5 điểm)

Bài 14* Cho hai số a1, b1 với 0 < b1 = a1 < 1 Lập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2,

theo quy tắc sau an 1 1(an b )n

Trang 6

HD + Tớnh a2, b2 với 0 < b1 = a1 < 1 ta cú thể chọn 0 < a <

2

 sao cho b1 = cosa, suy ra a1 = cos2a

+ Nhõn hai vế của (1) và (2) cho sin an 1

2  và ỏp dụng cụng thức sin2a được

sin 2a 2

n n

u

u u

u

3

3 3

1

2 2 3

1 2

12

Trang 7

+Ta có

2

2006 0

x

x x



220062006

n m

x x



220062006

k m

2006 2

k k

x x

220062006

k k

x x

2006

k m

x x



220062006

n m

2006

n m

y x

2006 2

n n

n

x x

Từ (1) và (2) dãy số có giới hạn Gọi lim

nxn =y , y0 vì xn luôn dương , lấy giới hạn hai vế của (*)ta có

2006

2006 2

1

n n

n x x x

y

3

3 1

1

Xét phương trình x2  x3  1  0 (1)

Trang 8

Dể thấy (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 và

3

2 1

x x

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng 1 3 1

2

3 1

Giả sử đó cú (2) với n=k (k 1) Tức là 1 3 1

2

3 1

dể thấy (1) cú hai nghiệm

2

5 3

2 , 1

5 3

2 1

Trang 9

n na n

2 lim ln

n n

n a n

n na n

ln

n n

n a n

1

1 2009

Trang 10

Ta cú

2 1

1 1 2009( ) 2009

+ Từ cỏch cho dóy ta cú 1 an 1 n , n 2

4      (1) + Xột hàm số

Trang 11

Bài 28(DH)(Dong_Thap_09_10) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1 2

u  0;1 , n 1   Do f tăng nên f u n  f u n 1  cùng dấu với un un 1

Suy ra un 1  un cùng dấu với un  un 1

Lập luận tiếp tục ta đi đến un 1  un cùng dấu với u2 u1

2007

2 1

1

n x

x x

x

n

n n

1/ Chứng minh dãy số (xn) bị chặn

2/ Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó

Trang 12

Bài 31 Cho dóy {un} , n là số nguyờn dương , xỏc định như sau

1

2 1

1

0

n n

u

u u

1 2 2

1

n u

u u

u

n

n n

Tớnh u2006

HD

) 1 2 ( 2

2 1

2

2 1

u

u u

) 1 2 ( 1

1 2

8

1

1 2

tg u

8

).

8 ( 1

8

) 8 ( )

1 2 ( 1

1 2

tg

tg a

tg

u

u u

1 8

cot 8

5 ) 8

5 25 ( ) 8 2005 (

tg a

tg u

Bài 33* Cho dóy số  u n n* được xỏc định bởi un 1 1 1

1! 2! n!

      n 11) Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn n

Trang 13

Giả sử là số hữu tỉ, p

q

  với *

p,q   ( vì   0) với (p,q) = 1 Khi đó,

1 (q 2)

Bài 34* Cho dãy số (U n) xác định bởi

1

3 1

1

n U

U

n n

Tìm





n nU

2 '





x

x x

f

Theo bất đẳng thức Côsi

3

2 3

3

4

3 1 2 2

x x

hay phương trình f(x)  x có nghiệm duy nhất x=2 trên(  0 ; )

Theo giả thiết U n1  2  f(U n)  f( 2 ) ( 1 )

Theo định lí Lagrang hàm số f (x)liên tục trên U n; 2 và có đạo hàm trong (U n; 2 )

Nên  c (U n; 2 ) sao cho f(U n)  f ( 2 )  f '(c)(U n  2 ) ( 2 ) (0,5đ)

Bài 35(Binh_Dinh_08_09) Xét dãy số nguyên dương (a n), (n=0, 1, 2….) thỏa mãn các điều kiện 02

Trang 14

Bài 35.1(Binh_Phuoc_08_09) Cho dóy số a a a1; 2; 3; ;a n xỏc định bởi

Do x 1 20133 nờn x n1x n 0 suy ra dóy  x n là dóy tăng

Chứng minh (x n ) khụng bị chặn hay limx   n :

Giả sử (xn) bị chặn, do dóy tăng và bị chặn nờn tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử dóy (xn) cú giới hạn hữu hạn, đặt limx n a, a2013

Từ cụng thức truy hồi 2

x  x  x Lấy giới hạn hai vế, ta được: 2

aa  a a (khụng thỏa món)

Do đú dóy đó cho khụng cú giới hạn hữu hạn

Trang 15

u u

Với n = 1,2,3 Tìm giới hạn nếu có của S n khi n  

1

1 1

n n

n

U U

a) Chứng minh rằng - 1 < Un < 0 (2) với n   và (Un) là một dãy số giảm.CM bằng quy nạp

- với n = 1 thì U1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1

- Giả sử (2) đúng với n = k - 1 < Un < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1

Từ (2) ta có 0 < Un + 1 < 1 (*) Do đó 0 2 1 1

1

n n

U U

Vì Lim (a + 1) qn - 1 = (a + 1) Lim qn - 1 nên Lim Vn = 0 Hay Lim Un = - 1

Bài 38(CS) Cho dãy (Un), biết U1 = 1, và dãy (Vn) với Vn = Un+1 - Un , n = 1,2 … Lập thành cấp số cộng, trong đó V1 = 3; d = 3 Tính S U1 U2 U n

Giải

Trang 16

2 3 2

) 1 ( 2

3 6

) 1 2 )(

1 ( 2

3

2 1 2

3

2 1 2

n n

n n n n n

Bài 39(LG) Tớnh tổng sau Sn = tg x tg x n tg x n

2 2

1

2 2

1 2 2

2 2

1 ) 2 cos (ln

/ /

2 cos 2

x x x

P

n n

2

1 2 sin

1

2 cos

2 cos 2

cos 2 sin 2 sin

x g gx

x x

S

2

cot 2

1 cot

sin 2

1 2 sin

1 ln

Trang 17

2 1

1

n x

x x

x

n

n n

1 3

1 (

1

2 2



 x x

) 1 (

1 ) ( ' x 

3 (

2

2 2

2 )

) ( 1 3

2 2

x x

l x x

Trang 18

Áp dụng định lý Lagrang cú

0 )

2 2

1 (

2 2

1 )

( ' ) ( )

n n n

a

a a a

a a

a

5

1 2 1

2 1 3

3 2 1

Hóy tớnh F=

2006

2005 2007 2007

2006 2008

a

a a a

b) Dóy số (xn) được xỏc định như sau

Bài 47(Quang_Nam_06_07) Cho dóy số (an) được xỏc định như sau

2 n-1 n-1 n-3 n-2 n

1

0

n n

Trang 19

1 1

Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số

Bài 53.1(Dong_thap_08_09) Cho dãy số u n ; n = 1,2,… được xác định như sau:

n n

u

u u

u

3

3 3

1

2 2 3

1 2

12

n n

n

U U

Trang 20

- với n = 1 thỡ U1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nờn (2) đỳng với n = 1

- Giả sử (2) đỳng với n = k: - 1 < Un < 0 ta CM (2) đỳng với n = k + 1

Từ (2) ta cú: 0 < Un + 1 < 1 (*)

1

n n

U U

3 2

n n

n

u u u

Trang 21

Bài 53.4(Dong_thap_12_13) Cho dãy số (a n)thỏa mãn điều kiện

2

2013

L

LL L 0

Nhưng (a n) là dãy số tăng và bắt đầu bằng 1

2 nên điều này không thể xảy ra Mâu thuẫn Vậy điều giả sử là sai và như thế dãy số (a n)không bị chặn trên

(b) Ta có

2013 1 2013

2013 1

1

2 2

1 1

n

n n

n n n

a a

a

a a

a a a

Từ đó

1 1 1

1 1 2013

2007

2 1

1

n x

x x

x

n

n n

Bài 55 Cho dãy số  U n được xác định như sau 2  2  2  2

1 2 3 , 1, 2,3,

n

U n  n  n  n n Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10

Bài 56 Cho f(x) làmột đa thức với hệ số hữu tỷ,  là số thực sao cho

Ta xét hàm số g(x) = x3 – x trên khoảng ( -  ; + )

Trang 22

Trang 23

Bài 58(Ba_Ria_12_13) Cho dãy số  x n xác định bởi

2013

3 16 5;

2013

8

n n

n

x

x x

Trang 24

Bài 59(Bac_Lieu_08_09) Cho dóy số nguyờn dương  a n thỏa món điều kiện 2

HD Ta cú dóy  a n là một dóy tăng thực sự,

Thật vậy: nếu tồn tại số tự nhiờn k sao cho a k1a k thỡ do giả thiết 2

 2 2 

1 2

Trang 25

Bài 60.2(DT)(Bac_Lieu_11_12) Cho dãy sô  u n thỏa mãn u1  3;u2  5,u n2  3u n1  2u n n 1 Tìm số hạng tổng quát

n n

Trang 26

Bài 61(Bac_Ninh_15_16) Cho dóy số ( )u n thỏa món điều kiện:

1

2 1

n

u v

Trang 27

Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n và số 5043 có thuộc dãy số  u n

Bài 63(Cao_Bang_10_11) Cho dãy số  u n xác định như sau

1

2 1

Trang 28

Bài 64 Cho dóy số

 

1 2008 1

1

1 2008

n

x x

1

n n

n x x x

x

Tỡm số hạng tổng quỏt của xn

Trang 29

Đặt: y n x n  1 , n 1 (0,5 đ)

Từ dãy (x n) ta có dãy (y n) được xác định như sau:

y

3

3 1

1

(0,5 đ) Xét phương trình : x2  x3  1  0 (1)

Dể thấy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và

3

2 1

x x

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng: 1 3 1

2

3 1

Giả sử đã có (2) với n=k (k 1) Tức là : 1 3 1

2

3 1

) (

3 ) (

) ( 3

) (

3 ) (

3

2

3 2

3 1

3 2

3 1

3 2

3 1

3 2 1

3 2

3 1

3 2

3 1 3 3 2

3 1

1 1

1

1 1

x

x x

x x x

x

x x

y y y

k k

k

k k

k k k

1

x vì

2 , 1

5 3

n n

n

x

x x

0 2010

Trang 30

Bài 68(Ha_Noi_08_09) Cho dóy số (u n) với 21

n

u n

u   Dóy (Sn) được cho bởi 



n

1 i i

u

u 

Trang 31

2 Cho dãy số (vn) xác định bởi 2

1 2015, n 1 n 2

v  v  v  với mọi n 1 Chứng minh rằng

2 1

2

n n

n

u

u u

Bài 68.5(Ha_Noi_13_14) Cho dãy số

1

2 1

n

u v

Trang 32

Bài 69(Hai_Duong_09_10) Cho dóy số {un} thoả món :

1

2 1

Chứng minh rằng dóy số {vn} cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú

Bài 69.1(Hai_Duong_09_10) Cho dóy số {un} thoả món :

1

1 1 1

u S

2 1

1

n n

Nếu cú số M: un  M với mọi n, thỡ tồn tại limun = L Vỡ un  u1 L  u1

2

1 )

2 (

1 1

2

1 1

Trang 33

Bài 69.3(Hai_Duong_15_16) Cho dãy số  u n thỏa mãn

1

1 2 2

n n

n

u u u

1

1 2009

1 1 2009( ) 2009

Trang 34

Bài 72(DT)(HCM_11_12) Cho dóy số (u n)

1

4

4 5

8 8

n n

u

u u

n n

n

u

u u

Trang 35

Bài 73(Hue_08_09) Cho dãy số 3 72 113 4 1

Trang 36

Mặt khỏc với dóy đơn điệu tăng 1 = u1< u2< u3< … < un< un+1

Nếu dóy  u n bị chặn trờn thỡ tồn tại giới hạn bằng a Ta cú

2 1

Trang 37

2 2 1 1

n n

n

x

x x

n

u

n u

v u d

8 1

7 25 3

n n

Trang 38

Bài 75(CS)(Long_An_10_11) Cho dóy số  u n bởi u  và 1 1 2

n

u  2  1 b) Tớnh tổng S  u1 u2 u n theo n

Trang 39

Bài 75.2*(Long_An_12_13) Cho dãy số(un)

Giả sử (*) đúng với n = k , k 1 , hay ta có: tan( ( 1) )

k

a k u

2007

2 1

1

n x

x x

x

n

n n

Bài 77(Phu_Tho_08_09) Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:

1

1 2

Trang 40

Bài 77.1(Phu_Tho_10_11) Cho dóy  u n với

1

2 1

3 1

4 5

n n

Trang 41

Bài 78(Soc_Trang_08_09) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1 2

Bằng qui nạp, chứng minh được dãy (un) giảm 0,75 đ

Dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn 0,25 đ Gọi l là giới hạn của dãy số, do dãy số bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi ½ nên

; 2

2 1 2

u

n

n n

Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y lµ sè nguyªn

) 1 (

1

3 4

1 2 3

1 2

1

1 1 (

) 1 (

1 ) 1 (

1 ) 1 ( )

n

n n

n

n n

( 2 )

1 (

Trang 42

Áp dụng bất đẳng thức (1) với n = 1, 2, 3, … n ta cú:

2

1 1

1 ( 2 1 ) 1 1 (

1 2

1 ( 2 2 ) 1 2 (

1 2

1 ( 2 3 ) 1 3 (

1 3

( 2 )

1 (

1

3 4

1 2 3

1 2

1



n < 1 ) Bài 80.1(Tuyen_Quang_10_11) Cho dóy số (Un)

n

U U

- với n = 1 thỡ U1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nờn (2) đỳng với n = 1

- Giả sử (2) đỳng với n = k: - 1 < U k < 0 ta CM (2) đỳng với n = k + 1: - 1 < U k1 < 0

Từ giả thiết quy nạp - 1 < U k < 0 ta cú: 0 < Uk + 1 < 1 Mặt khỏc: 2

U U

Trang 43

Bài 81(Thai_Nguyen_13_14) Cho dãy  x n 1

2 1

x x

4 1 4 4 1 16

a b

Trang 44

Trang 45

Bài 84(Vinh_Phuc_14_15) Cho dãy số thực  x n xác định bởi x 1 3 và x n1 21 2x n 6với mọi n 1, 2, Chứng minh rằng dãy số  x n có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn đó

HD Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được x n  3  n 1, 2,

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra dãy số đã cho là dãy số tăng

Dãy  x n tăng và bị chặn trên do đó dãy có giới hạn hữu hạn Đặt lim

Trang 46

n n

Trang 48

HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh Giả sử cụng thức (1) đỳng với n=k ta cú uk = 10k + k

21

3.4

212.3

21

Gọi Un là số hạng tổng quỏt của Pn Tỡm Un

nlim

HD Ta cú

2)1)(k(k

3)k(k2)

1)(k(k

21

Trang 49

Bài 10 (Bac_Giang_13_14) Cho các số thực dương a,b a b và hai dãy số    u n ; vnxác định như sau

Chứng minh rằng hai dãy    u n ; vn có giới hạn

hữu hạn và lim n lim n

Trang 50

Bài 12(Bac_Lieu_09_10) Cho dóy số  u n thỏa u1 dương và 1 1 1

Trang 51

Bài 14( Ha_Nam_13_14) Cho dãy số  u n xác định như sau 1 *

Trang 52

HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh a) Cho dóy số (un) cú 1

Bài 18( Ha_noi_09_10) Cho dóy số (un) cú

Đặt Sn=u1+ u2+ un Tỡm limSn

Bài 19( Ha_noi_11_12) Cho dóy số  u n xỏc định như sau

1

* 2

1

(n )

1

n n

Trang 53

y a

2 2

n

n n a

n n

1

1 2009

1 1 2009( ) 2009

Trang 54

Trang 55

Bài 29(Lang_Son_10_11) cho {un }xác định như sau u1 = 8; un 1 1(u2n 7un 25)

U n

 

 

 

Bài 31(CS)(Nghe_an_14_15) Cho dãy số  u n xác định bởi 1 3; 1 2 2 1

3

n n

u

u  u     n Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n

Bài 32(CS)(Nghe_an_14_15) Cho dãy số n (u ) xác định bởi 1 1  

Trang 56

n n

Trang 57

Bài 35(OLIMPIC 30_04_2014) Cho dãy số  u n xác định bởi  

1

* 1

Trang 58

Bài 36 (Quang_Binh_07_08) Cho dóy số (u ) xỏc định bởi cụng thức n

Bài 37 (Quang_Binh_09_10) Cho dóy số  u n

1

1 1

x x

1

2013

1

, 2013

n n

Định dạng
Số trang	74
Dung lượng	2,72 MB