Bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chuyên đề dãy số

Bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chuyên đề dãy số ( Tuyển tập các đề thi HSG cấp tỉnh = HSG khu vực), Học sinh giỏi lớp 12, Tài liệu bồi dưỡng HSG Bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chuyên đề dãy số ( Tuyển tập các đề thi HSG cấp tỉnh = HSG khu vực), Học sinh giỏi lớp 12, Tài liệu bồi dưỡng HSG

HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh CHUYấN DY S Phn TUYN TP THI DY S - LP 12 Phn TUYN TP THI DY S - LP 11 Phn TUYN TP THI DY S - OLIMPIC Ghi nh (*) Bi dnh cho lp chuyờn (DT) Mó a v phng trỡnh c trng (DH) Mó s dng o hm (CS) Dóy a v cp s (LG) Liờn quan n m, lụgarrits Mt s lu ý v dóy s 2u n t un = tan ( phi chn phự hp vi u1) u 2n Cú dng cn liờn tip t un = cos c c c c Cú dng u n dựng cụ si dng u 2n dựng cụ si u 2n un un 2u n 2u n Dng u n f (n).u n vit t u2 n u n , nhõn v vi v v gin c Dng u n u n f (n) vit t u2 n u n , cng v vi v v gin c n(n 1) (Note n n(n 1)(2n 1) 12 2 n n(n 1) 13 23 n [ ] ) b Dng u n a.u n b a v cp s nhõn bng cỏch t v n u n a Dng u n a.u n b.u n gii ptr c trng k a.k b Nu cú dng u n Phn TUYN TP THI DY S - LP 12 an Chng minh lim n an n n n n n 1 1 a 2k a k2 a i2 a 2j 2(n 1) a 2n 2n Vy an > 2n , n ak i j j1 a j j1 a j Bi Cho dóy s (an) , a1 = v a n a n a 2k 2k k 1 1 1 2 a k (2k-1) (2k-1) 4k(k+1) k k n n 1 1 1 Suy (1 ) Suy n 4 k a k j1 a j Vy a 2n 2n n n 1 (n 1) (n 1) (n 2) j1 a j j1 a j 5(n 1) (n 2) Tên tác giả : Vũ trung thành THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh 5(n-1) 5(n-1) a an 2- < n 2n-1+ Do ú lim n n n n u ; u1 Bi 2(CS)(Vinh_Long_08_09) Cho dóy s u n xỏc nh bi u n u n ; n 2,3, u n suy n 2; 2n-1 2uk = uk Bi 9* Cho dóy s u0 = 2009 , uk uk n uk21 uk2 u k uk2 2(n 1) un2 u12 2(n 1) un u12 2(n 1) k u2009 20092 2(2009 1) > 2009 (2) + T (1) ta cng cú k u k + - uk = 1 1 u k + + uk - 2uk m = 2uk nờn ta uk u1 u1 uk cú (u k + + uk - 1 )( u k + - uk ) hay ( uk21 uk2 ) - (u k + - uk ) u1 u1 n 2(n 1) u u k k k un n1 1 uk uk = ( u n2 u12 ) (u n - u1 ) un2 un (u12 2n 3) u1 k u1 u1 1 1 20092 2.2009 < 2010 (3) 4(u12 2n 3) u12 2n u2009 2u1 u1 2u1 2.2009 T (2) v (3) [ u 2009 ] = 2009 Bi 10 Cho c l s nguyờn dng Ta xỏc nh dóy a n nh sau a1 c a n ca n (c 1)(a n2 1), n = 1,2, Chng minh rng tt c cỏc s hng a n u l s nguyờn dng HD Xột cỏc trng hp sau i) Nu c = Khi ú a n 1, n * Bi toỏn c chng minh ii) Nu c t a n1 ca n (c 1)(a n2 1) a n a n l dóy tng ta li cú a n ca n (c 1)(a n2 1) (a n a n ) (c 1)(a 2n 1) a 2n 2ca n 1a n a n2 c2 , n * (1) a n2 2ca n 2a n a n2 c2 Ly (1) (2) ta c a 2n a n2 2ca n a n a n (a n a n )(a n 2ca n a n ) Do a n l dóy tng a n1 a n3 a n 2ca n2 a n1 a n3 2ca n2 a n a1 c a n * , n * V a 2c T i) v ii) ta cú pcm n )(1 )(1 ) (1 ) Tính limu n n n n n n T (*) thay x bi ; ; ; ; , n n n n Bi 12 n N; n 1, đặt u n ln(1 Tên tác giả : Vũ trung thành THPT Bình Giang (2) HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh 1 ln(1 ) n ta cú n 2n n n n ln(1 ) n 2n n lim un = 2 2 ; ln(1 ) n(n 1) n(n 1) n(n 1) n n 2n n n un Nờn n 2n 2n 2n n2 Bi 13* Cho dóy s ( xn ) xỏc nh nh sau x0 1, x1 , xn xn xn2 (n = 0,1, 2,) Chng minh rng dóy s ( xn ) cú gii hn hu hn x v tỡm gii hn ca nú Gii Xột phng trỡnh x x x2 x x2 x x x un un2 Xột dóy s (un ) c xỏc nh nh sau u0 1, un (n 0,1, 2, ) Chng minh un , n N Vi n = ta cú u0 Gi s un thỡ un un2 un Suy un , n N un un2 Chng minh un un , n N un un Vy un un , n N l Dóy (un ) tng v b chn trờn nờn cú gii hn hu hn Gi l lim un thỡ l l l l Chng minh un min( x2 n , x2 n1 ) n N Vi n=0 thỡ u0 min( x0 , x1 ) Gi s mnh ỳng vi n = k, tc l uk x2 k v uk x2 k Khi ú x2 k x2 k x2 k x22k x2 k x22k uk uk2 uk uk uk2 uk uk2 uk 3 Vy uk min( x2 k , x2k ) Suy un min( x2 n , x2 n1 ) n N vn2 Xột dóy s (vn ) c xỏc nh nh sau v0 5, vn1 (n 0,1, 2, ) Chng minh tng t ta c dóy (vn ) gim v b chn di bi nờn cú gii hn v lim Bng phng phỏp tng t ta cú max( x2n , x2 n1 ) (0,5 im) un x2 n un x2 n T cỏc kt qu trờn, ta cú Vỡ lim un lim nờn lim x2 n lim x2 n1 lim xn (0,5 im) Bi 14* Cho hai s a1, b1 vi < b1 = a1 < Lp hai dóy s (an), (bn) vi n = 1, 2, theo quy tc sau a n (a n b n ) , b n a n 1.b n Tớnh lim a n v lim b n n n Tên tác giả : Vũ trung thành THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh HD + Tớnh a2, b2 vi < b1 = a1 < ta cú th chn < a < cos2a cho b1 = cosa, suy a1 = a a b cos acos cosa cos acos 2 a a a + Bng quy np, chng minh c a n cos aco s cos n cos n (1) 2 a a b n cos acos cos n (2) 2 a + Nhõn hai v ca (1) v (2) cho sin n v ỏp dng cụng thc sin2a c a sin 2a.cos n sin 2a an , bn a a 2n.sin n n.sin n 2 sin 2a sin 2a + Tớnh gii hn lim a n , lim b n n n 2a 2a Bi 16 Cho dóy s un ; n = 1,2, c xỏc nh nh sau 1 a a (cos 2a cos a) cos a(cosa 1) cosa.cos 2 2 n u1 1 S t n i ui un un (un 1)(un 2)(un 3) 1; n 1, 2, Sn (n =1,2,) Tớnh lim n HD Ta cú un un (un 1)(un 2)(un 3) (un2 3un )(un2 3un 2) (un2 3un 1) un2 3un ( vỡ un 0n ) un1 (un 1)(un 2) n Sn i 1 un1 1 1 1 (un 1)(un 2) un un un un un1 n 1 1 1 ( ) ui i ui ui u1 un un Vỡ un un 3un un 3un Ta cú u1 u 3u1 u3 3u lim lim S lim( ) n n n n u un n u n n x0 m m Bi 18 Cho dóy s xn : Tỡm nlim xn xn 12 20062 x ,n N,n n xn1 20062 Cỏch +T gi thit ta cú xn xn1 xn Tên tác giả : Vũ trung thành THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh +Ta cú 20062 x 2006 x0 x1 2006 = x1 2006 20062 x 2006 x0 x 2006 m 2006 +D oỏn n = xn 2006 m 2006 21 x0 2006 x02 2.2006 x0 20062 m 2006 m 2006 x02 2.2006.x0 20062 x0 2006 2n +Chng minh quy np n=1 , mnh ỳng x 2006 m 2006 Gi s mnh ỳng vi n=k Ta cú k = xk 2006 m 2006 2k Cn chng minh mnh ỳng vi n=k+1 20062 2 xk 2006 xk xk 2006 xk 2006 xk2 2.2006.xk 20062 xk 2006 Tht vy, = = xk 2006 xk 2.2006.xk 2006 xk 2006 xk 2006 20062 xk 2006 xk 2k m 2006 = m 2006 2k 2n x 2006 m 2006 m 2006 = + Vy ta cú n = m m 2006 xn 2006 m 2006 2n m 2006 lim =0 ( m>0) n m 2006 2006 yn x 2006 x 2006 Nờn lim n =0 t yn n m lim yn=0 => lim xn=2006 xn n x 2006 n n xn 2006 yn n Cỏch x n 20062 Nhn xột vỡ x0 > v xn (*) nờn xn> n Vy (xn) l dóy b chn di.(1) xn Xột xn 2006 Ta cú xn x 2006 2006 n 2 xn1 Xột xn xn Ta cú xn xn 20062 x n1 xn n , n xn 2006 (n , n 1) n , n vỡ xn 2006 (n , n 1) Vy xn xn1 (n , n 2) Ta cú n , n (xn) l dóy gim.(2) T (1) v (2) dóy s cú gii hn Gi n lim xn =y , y vỡ xn luụn dng , ly gii hn hai v ca (*)ta cú y y 20062 y 2006 2y x1 Bi 19(DT) Cho dóy s thc ( x n ) , n=1,2,3, xỏc nh bi x n1 x n 3x n Tỡm s hng tng quỏt ca xn Hng dn gii t y n x n 1, n y1 T dóy ( x n ) ta cú dóy ( y n ) c xỏc nh nh sau y n1 y n y n n Xột phng trỡnh x 3x (1) Tên tác giả : Vũ trung thành THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh x1 x x1 x D thy (1) cú hai nghim phõn bit x1, x2 v n Ta s chng minh bng quy np theo n rng y n x13 x 23 Vi n=1 hin nhiờn cú (2) k k Gi s ó cú (2) vi n=k ( k ) Tc l y k x13 x 23 Ta chng minh (2) cng ỳng n=k+1 Tht vy Ta cú k k k k k k n k (2) k n k k k yk yk3 yk ( x13 x23 )3 3( x13 x23 ) x13 x23 3( x1 x2 )3 ( x13 x23 ) 3( x13 x23 ) k k x13 x23 vỡ x1.x2 Nờn (2) ỳng n T ú ta cú x n x13 d thy (1) cú hai nghim x1,2 n x23 n 1, 3n 3n Vy s hng tng quỏt ca dóy s thc ( x n ) l x n u0 Bi 20 Cho s a > v dóy s (un) xỏc nh bi u1 a u un u (n 1) n n un21 1 1 Chng minh rng vi mi k N a a2 u0 u1 u2 uk ỏp ỏn u0 1 a > b R ,b : a b b u1 a b b u12 1 u2 u1 b b b b b b b b u0 2 u22 u3 u2 b u2 b b b b b b b u1 uk21 k 1 k Tng t uk uk b 2k b 2k b b b b b b uk 1 1 Do ú k a a2 (1) u0 u1 u2 u k b b3 b 1 1 b b k b b b (b 1)(b 1) (b 1) (b 1) k b b3 b 1 k b b (b 1)(b 1) (b 1) (b 1) k b2 b4 b2 k b (b 1)(b 1) (b 1) (b 1) Tên tác giả : Vũ trung thành THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh 1 1 < k k 2 b b (b 1)(b 1) ( b 1) ( b 1) ( b 1) ( b 1) (2) ỳng vi mi k N v mi b > Vy (1) ỳng vi k (b 1) (b 1) mi k N v a > Bi 21 Cho a1 Xột dóy s (an ) cho bi an ln(1 an ), n n(nan 2) Chng minh rng lim n ln n n n(nan 2) an HD + lim lim nan n n ln n ln n + Chng minh lim nan (vỡ lim an an v an an ) n n an + Chng minh lim tn ti n ln n x x3 x x x3 + Chng minh BT x ln(1 x ) x , x 2a a a a n(nan 2) 1 1 1 an3 an4 an5 2an 2an an 1an an3 an4 lim n n3 n n lim n n 6 ln n an n an n(2an an an an ) na (2a a a a ) 1 (vỡ lim = lim lim n n n n n ) n ln n n n an an n Bi 22 Tỡm gii hn ca dóy (un ) vi un 31 21 30 32 94 Bi gii Ta cú Sn 36 6n n n n (9 4)(3 2) (27 8)(9 4) (3 )(3 n ) 32 2 3n n 3n n1 3n n n n 3n n 3n1 n1 27 n Vy lim Sn lim n n n u1 Bi 23 Cho dóy s (un ) c xỏc nh nh sau un1 un 2009 un u u u u 1, Chng minh lim un 2, Tỡm lim( n ) n n u u3 u4 un (n = 1,2,3,4,) HD Ta cú u1 u2 u3 un vy (un) l dóy tng , gi s b chn trờn lim un a n Suy lim un lim( n n un2 a2 un ) a a a (khụng ỳng) 2009 2009 Vy lim un n Tên tác giả : Vũ trung thành THPT Bình Giang thỡ ta cú HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh un2 u 1 n 2009( ) 2009 un1 un un u u1 u2 u3 1 n 2009( ) 2009(1 ) u2 u3 u4 un1 u1 un un1 Ta cú un1 un Vy ta cú u1 u1 u2 un Bi 24 Cho dóy s {un}, n = 1, 2, 3, =2008 un2 Chng minh lim n u un u3 un un 2008 a an Bi 25 Dóy s (an) c xỏc nh bi * a n , n Chng minh dóy (an) hi t v tỡm lim a n n ỏp ỏn + Nhn thy x l mt nghim ca phng trỡnh x 1 x Ta c/m dóy (an) hi t v Tht vy a n n , n (1) x 1 + Xột hm s f (x) vi x ,1 ta cú 4 + T cỏch cho dóy ta cú x 2ln 2ln 2ln 1 f '(x) ln x f '(x) x 2.ln x ,1 (2) 4 4 44 x 1 + Mt khỏc vi i 2, n hm s f (x) liờn tc trờn cỏc on a i , hay ,a i v cú o hm cỏc khong a i , hay ,a i , nờn tn ti ci a i , hay ci ,a i cho f (a i ) f f (a ) f f '(c ) a f '(ci ) i i i 2 Do (1) v (2) nờn t (3) ta suy f (a i ) f ln a i 2 + Vi cỏch cho dóy ta li cú a i 1 f (a i ) f (i 2,n) 2 (3) (i 2, n) (4) (5) 1 ( 2.ln 2) n a ( 2.ln 2) n 2 1 + Vỡ 2.ln nờn lim ( 2.ln 2) n lim a n hay lim a n n n n 2 Vy dóy (an) hi t v cú gii hn bng + T (4) v (5) suy a n Tên tác giả : Vũ trung thành 10 THPT Bình Giang (1) HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Bi 41(Vinh_phuc_11_12)Cho dóy s un c xỏc nh bi u1 sin1; un un1 sin n , vi mi n2 n , n Chng minh rng dóy s un xỏc nh nh trờn l mt dóy s b chn HD 1 1 2 n 1 1 1 Tht vy, ta cú n 1.2 2.3 n n Nhn xột Vi mi s nguyờn dng n ta cú 1 1 1 suy nhn xột c chng minh 2 n n n sin1 sin sin n Tr li bi toỏn, t cụng thc truy hi ta c un 2 n Ta cú un 1 vi mi n (theo nhn xột trờn) (1) 2 n 1 vi mi n (theo nhn xột trờn) (2) T (1) v (2) suy dóy n Mt khỏc un s ó cho b chn Bi 42(Vinh_phuc_12_13) Cho dóy s un c xỏc nh nh sau u1 1, u2 3, un 2un un 1, n 1, 2, Tớnh lim n un n2 HD Ta cú un un un un 1, n 1, 2, suy un un1 lp thnh mt cp s cng cú cụng sai bng nờn un un u2 u1 n.1 n (1) T (1) ta c un u1 un un un un u2 u1 n n un n n n n n 1 u un lim Vy lim n2 n n n n 2n n lim Bi 43( Vinh_phuc_13_14)Cho dóy s xn n1 c xỏc nh nh sau x1 3, xn xn2 xn 4, n 1, 2, Chng minh rng xn n l mt dóy n iu tng v khụng b chn Tỡm gii hn ca dóy s yn n1 ú yn c xỏc nh bi cụng thc yn 1 , n 1, 2, x1 x2 xn HD Ta cú xn1 xn xn suy dóy s xn n1 l dóy n iu tng Chng minh bng quy np xn n 2, n 1, 2, (*) Tht vy (*) ỳng vi n Gi s (*) ỳng vi n k Th thỡ xk xk xk k k k Vy (*) ỳng vi n k Tên tác giả : Vũ trung thành 60 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Theo nguyờn lý quy np suy xn n ỳng vi mi n ú dóy khụng b chn Theo nh ngha dóy ta cú 1 1 1 xk xk xk xk xk xk xk xk Bng cỏch cng cỏc ng thc trờn vi k 1, 2, , n ta c yn Vỡ 1 x1 xn 1 theo nguyờn lý gii hn kp lim yn suy nlim n x xn n n Bi 44(Vinh_phuc_14_15) Cho dóy s un c xỏc nh bi u1 1, un1 Tớnh lim un , n 1, 2,3, un 2014 u1 u2 un 2015n HD Do u1 un 0, n * Ta cú un1 un 1 un , n 1, 2, un un un n n n n n u1 u2 un Suy 2014 2014 u1 u2 un 2014 n n 2014 lim lim lim 2015n 2015n 2015 2015 2014 u1 u2 un 2014 Vy lim 2015n 2015 Bi 45(Vinh_phuc_15_16) Cho dóy s xn c xỏc nh bi x1 2016, xn xn2 xn 1, n N * , a) Chng minh rng dóy xn tng v lim xn x 1 Tỡm lim yn x xn x1 x2 b) Vi mi s nguyờn dng n , t yn 2016 Bi 46(Thai_Nguyen_15_16) Cho dóy s un , n N * , u1 1; un1 un , n N * Tỡm s 2un hng tng quỏt un Bi 47( Thai_Nguyen_13_14) Cho dóy s xn x0 xỏc nh nh sau xn xn , n N Xỏc nh tt c cỏc giỏ tr dng ca x0 cho dóy ó cho cú gii hn hu hn Phn TUYN TP THI DY S - OLIMPIC un Bi Cho dóy s un tha iu kin u ; n 2, 3, 4, Tỡm nlim n un un HD p dng bt ng thc Cauchy cho hai s dng un ;1 un , ta cú Tên tác giả : Vũ trung thành 61 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh un un un un 1 0.5 im un un 1, n Nh vy, dóy s un l dóy n iu tng 0.5 im Ngoi dóy s un b chn bi 0.5 im Tn ti gii hn lim un a 0.5 im n Mt khỏc un un , n lim un un n a a 0.5 im a a 0.5 im Vy lim un n Bi 2(CS,DT)(Ha_Noi_11_12) Cho dóy s (un ), n * xỏc nh bi: u1 1, u2 v un2 2un1 un 2012 a.n vi tham s a R a) Khi a Xột dóy s (vn ) vi un1 un , n N * Chng minh rng dóy s (vn ) l mt cp s cng Tớnh tng 2012 s hng u tiờn ca cp s cng ú b) Xỏc nh s hng tng quỏt ca dóy s (un ) Bi 3(Bac_Bo_14_15) Cho dóy s u1 2, un n un un n n n Tớnh lim n2 Ta chng minh quy np un n n n Rừ rng khng nh ó ỳng vi u1 k2 k u k Gi s ó cú uk k , ta chng minh k k k2 Tht vy uk k uk k k 2 k2 k k k uk uk k k k2 k 1 k n2 u Vy ta cú un n n lim n n n n Tên tác giả : Vũ trung thành 62 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh u1 Bi 3.1(Bac_Bo_14_15) Cho dóy s un c xỏc nh bi un 3un un , n Chng minh rng dóy un cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú HD u1 3 un 3un un , n Dóy s un c xỏc nh bi Ta chng minh un 2, n Tht vy ta cú u1 Gi s uk 2, k , ú uk31 3uk uk nờn uk31 3uk uk uk uk Do ú theo nguyờn lý quy np thỡ un 2, n Xột hm s f t t 3t trờn khong 2, Ta cú f ' t 3t 0, t Do ú hm s f t ng bin trờn khong 2, Mt khỏc ta cú u13 3u1 18 u23 3u2 f u1 f u2 u1 u2 Gi s uk uk k uk uk uk31 3uk uk3 3uk f uk f uk uk uk Do ú un un1 , n Dóy un l dóy gim v b chn di bi nờn dóy un cú gii hn hu hn Gi s lim un a a T h thc truy hi un31 3un1 un chuyn qua gii hn ta c: a3 3a a a 3a a a a 2a 2a 4a a a a a 2a a a a a Vy lim un Bi 3.2(Bac_Bo_14_15) Cho dóy s an a1 tha món: n 1, n n 2 a n a n a a n n n n Tỡm lim an HD D thy an 0, n * n T gi thit ta cú an Vi mi n * , t yn n2 n an 1 ta cú y1 v an 1 n2 2 2 n y n y n n y n y y y n n n n n n 4 n Tên tác giả : Vũ trung thành 63 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh 2 2 4n n n n Do ú yn an Vy lim an y1 2 n n 16 n n n n u1 Bi 5(Bac_Bo_14_15) Dóy s (un) xỏc nh nh sau: un un un 1, n * Chng minh rng 1 22 2015 2016 k uk 1 22 2016 HD Ta cú: un+1 un = un2 2un + = (un 1)2 (1) Do u1 = u2 u1 = u2 > u1 T ú bng phộp quy np ta suy (un) l dóy n iu tng thc s, v un nhn giỏ tr nguyờn dng ln hn hoc bng vi mi n =1,2, Ta vit li iu kin truy hi xỏc nh dóy s di dng sau õy: un+1 = un2 un = un (un 1) (2) T ú dn n: un 1 1 1 , un (un 1) un un un un un1 (3) Bõy gi t (3), ta cú: n n 1 u k u k k u k k u k (4) T (4) suy bt ng thc cn chng minh tng ng vi 1 22 n 1 u n 1 22 22 n n n u n 2 (5) ( õy n = 2016) Ta s chng minh (5) ỳng vi mi n Khi ú nú s ỳng vi n =2016 Do un nguyờn dng vi mi n, (5) tng ng n1 n 22 un1 22 Vi n = 1, n = ta cú: (6) u2 = u12 u1 + = 22 + = u3 = u22 u2 + = 32 3+ = T ú suy (6) ỳng vi n = k k Gi s (6) ó ỳng n n = k 2, tc l ta cú 2 uk 2 (7) Xột n = k + Theo (2), ta cú: uk+2 = uk+1 (uk+1 1) Tên tác giả : Vũ trung thành 64 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Vỡ th theo gi thit quy np suy ra: k k k k u k 2 (2 1) 2 2 2 uk2 (22 k 1).(2 k k 1) 2 2 k k k 22 uk 2 22 k Nh th vi n = k + 1, ta thu c: k 22 uk 22 k k (8) T (8) suy (6) ỳng vi mi n = 2, 3, Vỡ vy (5) ỳng n = 2016 Ta cú iu phi chng minh Bi 6(Hung_Vuong_12_13) Cho dóy s (un ) c xỏc nh bi: u1 v un1 un2 , vi un n * Tỡm nlim u1.u2 un Gii: Vi mi n 1,2, ; ta cú un21 un2 un4 4un2 un2 u n2 un2 un21 (un21 4) un2un21 u22u12 (u12 4) 12 un u n1 u1 (1) un T (1) ta cú: (2) 12 ; n 1,2, u u u u u u n n Mt khỏc, vỡ u1 nờn t un1 un v chng minh bng quy np ta thu c un vi mi n 1,2, 4 Do ú u1.u2 un n ; n * Khi ú, ; n 1,2, u1.u2 un 22 n un nờn theo nguyờn lý kp gia ta cú: nlim 12 Vy, t (2) suy ra: lim n u u u u u u n n Mt khỏc, hm s f ( x) x liờn tc trờn na khong [0; ) nờn 2 un un un1 lim lim lim 12 n n u1u2 un n u1u u n u u u n un Kt lun: nlim 12 u1.u2 un x1 Bi 6.1(Hung_Vuong_12_13) Cho (x n ) x n x n (x n 3)(x n 3x n 2) n t u n i x Tỡm lim un i HD T gi thit suy x n 0, n N* Cú x n x n (x n 3)(x n2 3x n 2) (x n2 3x n 1) x n2 3x n Xột x n x n x n2 3x n x n (x n 1) n Tên tác giả : Vũ trung thành 65 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh suy dóy (x n ) tng Nu dóy (x n ) b chn trờn thỡ dóy (x n ) cú gii hn hu hn a T x n x n2 3x n suy a a 3a a ( vụ lớ) Do ú lim xn x n x n2 3x n x n x n2 3x n (x n 1) x n T x n 1 1 ( x n 1) x n x n x n 1 xn x n x n n n 1 1 i x i x1 x n 1 lim u n lim x x n un i 1 xi i x Bi 6.2(Hung_Vuong_12_13)Cho dóy s un xỏc nh bi u1 2014, un1 un4 20132 , n* un3 un 4026 n , n * Tớnh lim k u 2013 t k Gii : un4 20132 (un 2013)(un3 2013) + Ta cú un1 2013 (1) 2013 un un 4026 (un 2013) (un 2013) T ú bng quy np ta chng minh c un 2013, n * + T (1) suy n 1 1 1 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 1 1 uk 2013 u1 2013 uk 2013 uk 2013 k uk 2013 Do ú + Ta chng minh lim un Tht vy, ta cú un1 un un2 4026un 20132 (un 2013)2 0, n * 3 un un 4026 un un 4026 Suy un l dóy tng, ta cú 2014 u1 u2 Gi s un b chn trờn v lim un a thỡ a 2014 Khi ú a a 20132 a a 4026 a 2013 2014 ( vụ lớ) Suy un khụng b chn trờn, ú lim un Vy lim lim (1 ) uk 2013 Tên tác giả : Vũ trung thành 66 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Bi 6.2(Hung_Vuong_12_13) Cho dóy s xn tha x1 Tỡm lim un vi un (n 1)3 xn x1 x2 x3 (n 1) xn1 x , n 1, n n n(n2 1) HD Ta cú x2 Vi n : x1 x2 3x3 nxn n xn (1) x1 x2 3x3 ( n 1) xn ( n 1) xn (2) T (1) v (2) ta cú nxn n3 xn (n 1)3 xn1 (n 1)3 xn n n n n 2 2 n n ( ) .xn xn ( ) ( ) ( ) x2 n n n n n n n n 4 4(n 1) xn suy lim un = lim n (n 1) n2 Suy xn a0 a1 2004 an 7an an 3978, n Bi 6.3(Hung_Vuong_13_14) Cho dóy s (an) xỏc nh bi Chng minh rng an 10 l s chớnh phng 2014 HD Ta cú an t an1 an 3978 an 10 a 10 an 10 n 2014 2014 2014 an 10 Ta c dóy s (vn) xỏc nh bi 2014 v0 v1 7vn1 2, n Ta phi chng minh l s chớnh phng x0 1; x1 xn 3xn1 xn , n Tht vy, xột dóy s (xn) xỏc nh bi Hin nhiờn dóy s (xn) l dóy s nguyờn n , xn21 xn2 xn1 xn xn21 xn ( xn xn1 ) xn21 xn xn Ta cú v xn21 xn2 xn xn xn1 ( xn1 xn ) xn2 xn2 xn xn xn21 xn xn xn2 xn xn1 x12 x0 x2 xn21 xn2 3xn xn 1, n (2) Ta s chng minh xn2 , n (1) bng quy np Tht vy, rừ rng vi n = 0, n = 1, (1) ỳng Gi s (1) ỳng n n k 1, k , tc l xn2 , n 1, 2, , k ta chng minh (1) ỳng vi n = k+2, ngha l chng minh vk xk2 Tht vy, theo cụng thc truy hi ca dóy s (an), gi thit quy np, tớnh cht (2) ca dóy s (xn), cụng thc truy hi ca dóy s (xn), ta cú vk 7vk vk xk21 xk2 xk21 xk2 2( xk21 xk2 3xk xk ) xk21 xk xk xk2 (3 xk xk ) xk2 Do ú l s chớnh phng Vy ta cú iu phi chng minh Tên tác giả : Vũ trung thành 67 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Bi 6.4(DH)(Hung_Vuong_13_14)Cho dóy s x n x1 x 2014 , n 1, 2,3 n 1 xn Chng minh rng dóy s x n cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú HD Xột hm s f ( x) f '( x) 2014 x Ta cú xn1 2014 trờn 0; Ta thy f ( x) liờn tc v nghch bin trờn 0; (Vỡ x ) Do ú f ( x) 2015 2014 f ( xn ) vi mi n dóy xn b chn xn Mt khỏc, ta cú x1 x3 f ( x1 ) f ( x3 ) x2 x4 f ( x2 ) f ( x4 ) x3 x5 Suy dóy x2 n1 l dóy n iu tng v b chn, cũn dóy x2n l dóy n iu gim v b chn, nờn cỏc dóy x2 n1 , x2n cú gii hn hu hn Gi s lim x2 n a v lim x2n b, (a, b 1) T x2n f ( x2 n ) lim x2n lim f ( x2 n ) b f (a ) x2n f ( x2 n ) lim x2n lim f ( x2 n1 ) a f (b) 2014 b a Vy ta cú h a b 2015 Vy lim xn = 2015 2014 a b x1 2,1 Bi 6.5(Hung_Vuong_13_14) Cho dóy s xn xn xn2 xn * , n 1,2, xn1 n vi mi s nguyờn dng n, t yn x Tỡm lim yn i i HD Ta cú kt qu sau: vi s thc a bt kỡ, ta cú a a 8a a a 4a a a a 2 Do ú 2,1 x1 x2 Suy dóy xn l dóy tng, gi s b chn trờn tc l cú gii hn lim xn L Chuyn qua gii hn iu kin (*) ta cú phng trỡnh x x2 x x x x phng trỡnh ny khụng cú nghim hu hn ln hn Suy dóy xn tng v khụng b chn trờn nờn lim xn x xn xn2 xn Ta cú xn1 xn1 xn xn2 8xn 2 xn1 xn xn2 xn xn2 xn xn Tên tác giả : Vũ trung thành 68 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh x xn 1 1 1 2n xn xn1 xn1 xn1 xn1 xn1 xn xn1 n 1 1 y Suy n x x x 10 x Vy lim yn 10 i i n n x a Bi 6.6(Hung_Vuong_13_14) Dóy s thc xn n xn1 xn n Tỡm tt c cỏc giỏ t r ca a xn vi mi s t nhiờn n Gii : Gi s xn vi n T xn xn21 cú xn 2 2 xn2 cú xn xn , n 2 Suy xn v xn 1, n 1 1 T ú xn1 xn2 xn2 xn xn xn , n 2 2 2 Li t p dng liờn tip bt ng thc ny, ta cú: n n 1 2 1 2 a x0 x1 x2 xn , n 2 3 2 3 n 1 1 M lim nờn phi cú a a Th li vi a thỡ xn 0, n n 2 2 Vy a l giỏ tr nht cn tỡm x1 2014 Bi 6.7(DH)(Hung_Vuong_13_14) Cho dóy s thc (xn) * xn1 xn 6sin xn , n Chng minh dóy s (xn) cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú HD S dng bt ng thc x x3 sin x x, x Xột hm s f ( x) = x - 6sin x , x > Ta cú: f '( x) = (1 - cos x) 33 (6 x - 6sin x) > 0, " x > f(x) luụn ng bin vi mi x > Do ú: f(x) > f(0) = x > m x2 = f(x1) > vỡ x1 = 2014 > Vy ta cú xn+1 = f(xn) > 0, n N* Mt khỏc: xn+1 - xn =3 xn - 6sin xn - xn3 xn - 6sin xn - xn = (6 xn - 6sin xn ) + xn xn - 6sin xn + xn2 x3 Vỡ x sin x x, x 6x - x3 6sinx < x > Tên tác giả : Vũ trung thành 69 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh 6xn 6sinxn - x 3n < xn > xn + xn < (xn) l dóy gim v b chn di bi nờn tn ti gii hn hu hn Gi s limxn = x (x 0), ta cú phng trỡnh: x x 6sin x x3 x 6sin x Xột hm s g(x) = x3 - x + 6sin x g'(x) = 3x2 + 6cosx g(x) = 6x 6sinx 0, x g(x) g(0) = Do ú g(x) luụn ng bin v liờn tc vi mi x phng trỡnh g(x) = cú nghim nht x = Vy limxn = u1 Bi 6.8(DH)(Hung_Vuong_13_14) Cho dóy s (un ) * un un u 2, n n Chng minh rng dóy (un ) cú gii hn hu hn v tớnh gii hn ú x t f ( x) x 2; g ( x) f ( f ( x )) x 1 2 Khi ú x x x 2 x x 1 g '( x) g ( x ) g ( ) f ( f ( x )) x , x ( ;1) (*) 2 x4 x x Mt khỏc f '( x ) 0, x ( f ( x) f ( ;1) nờn 1 1 ) f ( f ( x)) f ( ) , x ( ;1) (**) 2 2 1 f ( f ( x)) x, x ( ;1) 2 1 Vy: u1 u3 u1 u3 u5 , Do ú (u2 n 1) l n iu gim v b chn di 2 nờn tn ti lim u2 n n Vỡ f ( x) liờn tc trờn ;1 nờn T (*) v (**) suy ra: u2n f (u2 n ) lim u2n f lim u2 n n n Tên tác giả : Vũ trung thành 70 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Vy dóy (un ) c phõn tớch thnh hai dóy hi t ti cựng mt gii hn Do ú dóy (un ) cú gii hn bng u Bi 6.9(DH)(Hung_Vuong_13_14) Cho dóy s (un ) u (u 2u ), n * n n n Tỡm cụng thc ca s hng tng quỏt (un ) ? x n2 HD t x n 2un x n 2un , x n un Thay vo gi thit: x n21 1 x n2 ( 4x n ) (3x n )2 (x n 4)2 3x n x n 4, n N *, x n Ta cú 3x n x n 3n x n 3n x n 4.3n t yn 3n.x n yn yn 4.3n , n N * yn y1 4(3n 3n1 3) yn y1 2.3n Ta cú x y1 yn 2.3n Suy ra, 1 x n n1 , n N * un (3 n1 2n2 ), n N * 3 u1 2015 Bi 7.0(CS)(Hung_Vuong_14_15) Cho (un) Tỡm lim un n 4n u u , n n n 2n 4n (n 1)2 2(n 1) un 1 un Ta cú un1 un 2 n 2n (n 1) 2(n 1) n 2n u 1 t n (vn) l cp s nhõn cú cụng bi q v s hng u n 2n 2 u1 2015 2015 4030 n 2n v1 un 3 2n 2n +) Ta cú n(n 1)(n 2) n 2n n (1 1)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn Cn3 un 8060 n(n 1)(n 2) 2 n 2n n n lim 8060 8060.lim lim un n(n 1)(n 2) n n Bi 7.2(Hung_Vuong_14_15) Cho dóy s xn c xỏc nh bi : x4 v xn1 xn n n n n 1, vi mi n Tớnh lim n HD Ta có 1(n -2) + 2(n - 3) + 3(n - 4) + (n - 2)1 = [(n - 1) - 1] + 2[(n - 1) - 2] + 3[(n - 1) - 3] + + (n - 2)[(n - 1) - (n - 2)] Tên tác giả : Vũ trung thành 71 THPT Bình Giang xn n4 HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh = (n - 1)[1 + + + + (n - 2)] - [12 + 22 + 32 + + (n - 2)2] ( n )( n 1) ( n )( n 1)( 2m 3) n( n 1)( n ) = (n - 1) = 6 n( n 1)( n ) Do suy xn + = xn + = xn + Cn3 (*) Ta chứng minh xn = Cn Thật với n = 4, ta có x4 = = C44 Giả sử với n ta có xn = Cn4 Ta có xn + = xn + Cn3 theo (*) hay xn + = xn + Cn3 = Cn4 + Cn3 = Cn41 xn n! Suy lim lim 4 n n n 4! n ! n Bi 8(OLPIC_13_14)(ý a) Cho dóy s un u1 n un1 un n 1 , n n n nn b) CMR dóy un cú gii hn, tỡm gii hn ú a) CMR u2n HD Tên tác giả : Vũ trung thành 72 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Bi 8.1(OLPIC_11_12) Cho dóy s xn x1 xn4 x n x x n n a) CMR lim xn x n b) Vi mi s nguyờn dng n, t yn k 1 Tỡm lim yn x x Tên tác giả : Vũ trung thành k 73 THPT Bình Giang HSG: Một số toán dãy số phương trình hàm đề thi HSG tỉnh Bi 9(DT)(Hung_Vuong_14_15) Cho di ụ vuụng kiu n , cú cỏc viờn gch kiu ụ vuụng v Cú bao nhiờu cỏch lỏt kớn di ụ vuụng ú bng cỏc viờn gch trờn HD Gi s cỏch lỏt nn nh di ụ vuụng n l S n , ta d dng m c S1 1, S Lu ý rng vic lỏt nn ph thuc vo viờn gch xp u tiờn Trng hp 1: Viờn gch xp u tiờn l thỡ s cỏch lỏt di n viờn cũn li l S n Trng hp 2: Viờn gch xp u tiờn thỡ s cỏch l l S n2 Do ú, ta cú S n S n1 S n2 Xột phng trỡnh c trng X X X , th thỡ n Sn a b Thay n 1, n vo ta c h phng 2 a b 2 62 trỡnh Gii h ta thu c a ,b Do ú 2 14 14 5 a b n n 5 5 s cỏch lỏt nn l S n 14 14 Bi 10 Tên tác giả : Vũ trung thành 74 THPT Bình Giang