đề thi hoc sinh gioi 11

Trường THPT Thuận Thành số1 ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (thời gian làm bài: 120 phút) Ngày thi: 16/10/2008 Bài 1: (2.5 điểm) Cho phương trình: sin2x + cos2x + 4sin 3 x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0. Tìm giá trị của m để cho phương trình có tập nghiệm là: T = { x / x k ,k Z 2 π = + π ∈ }. Bài 2(2.5điểm)Cho đa giác lồi A 1 A 2 …A n nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và O nằm bên trong đa giác. Gọi B1,B2,…B n lần lượt là các điểm chính giữa các cung A 1 A 2, A 2 A 3 ,…A n A 1. So sánh diện tích 2 đa giác, khi nào thì chúng bằng nhau. Bài 3 (2.5điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) có phương trình lần lượt là: (C 1 ): x 2 + y 2 = 4; (C 2 ): x 2 + y 2 = 1 Các điểm A,B lần lượt di động trên (C 1 ) và (C 2 ) sao cho Ox là tia phân giác của góc AOB. Gọi M là trung điểm của AB.Tìm quỹ tích điểm M. Bài 4: (2.5 điểm) Tìm tham số a để cho hệ sau có nghiệm: 2 a(x a) (x 2 2) 1 0 x a 0  − − + ≤   > >   …………………………Hết………………………………… Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên học sinh:……………… Lớp:……………………… Đáp án chấm Bài 1: (2.5 điểm) • sin2x + cos2x + 4sin 3 x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0 (1) ⇔ 2sinxcosx + 2cos 2 x + 4sinx(sin 2 x - 1) + 2mcosx = 0 ⇔ cosx(sinx + cosx -2sinxcosx +m) = 0 • cos x 0 x k ,k Z 2 sin x cos x 2sin x cos x m 0 sin x cos x 2sinxcosx + m = 0 (2) π  = = + π ∈   ⇔ ⇔   + − + =  + −  • Do đó (1) có tập nghiệm T = { x / x k ,k Z 2 π = + π ∈ }khi chỉ khi (2) chỉ có nghiệm thuộc T hoặc (2) vô nghiệm. • Xét phương trình (2): sinx + cosx – 2sinxcosx + m = 0 2 t sin x cos x 2 sin(x ) 4 f(t) = t t m (3) (I) | t | 2 (4) π  = + = +    ⇔ − −   ≤    • Phương trình (2) có nghiệm thuộc T cos x 0 m 1 sin x 1 m 1 = =   ⇒ ⇔   = ± = −    Thử lại: m = 1: Khi đó (3) ⇔ t 2 – t – 2 = 0 ⇔ t = -1 hoặc t = 2. Hệ (I) trở thành: x k2 1 2 sin(x ) 1 sin(x ) 4 4 x k2 2 2 = π + π  π π  + = − ⇔ + = ⇔ π  = − + π  Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho.  Thử lại: m = -1: Khi đó (3) ⇔ t 2 – t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 1. Hệ (I) trở thành: x k2 sin(x ) 0 4 4 x k2 k Z. 1 sin(x ) 4 x k2 2 2 π  = − + π π   + =   ⇔ = π ∈   π   + = π  = + π    Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho. • Phương trình (2) vô nghiệm:  f(t) là tam thức bậc hai có ∆ = 5 + 4m, S 1 2 2 = , kí hiệu t 1 , t 2 là hai nghiệm của f(t) = 0.  Do S 2 2 2 − < < nên hệ (1) vô nghiệm khi chỉ khi:  ∆ < 0 hoặc 1 2 0 f(- 2) 0 5 5 m hay m hay m > 1+ 2 4 4 t 2 2 t f( 2) 0  ∆ >  <   ⇔ < − ⇔ < −   < − < <  <     Vậy các giá trị m thỏa đề bài là: 5 m hay m > 1+ 2 4 < − . (chú ý có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm đk m cho hệ (I) vô nghiệm) Bài 2 Trước hết ta có: Kí hiệu góc A 1 OA 2 = a 1 ; góc A 2 OA 3 = a 2 ;….;góc A n OA 1 = a n ta có: S(A 1 A…A n ) = 1/2 R 2 (sina 1 + sina2 + …+ sina n ) = 1/2 R 2 ( 1/2(sina 1 + sina 2 ) + 1/2( sina 2 + sina 3 ) +…+ 1/2(sina n + sina 1 )) = S(B 1 B 2 …B n ) Vậy S(A 1 A 2 …A n ) nhỏ hơn hoặc bằng S(B 1 B 2 …B n ) Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = …=a n hay đa giác A 1 A 2 …A n là đa giác đều. Bài 3 Đường tròn (C 1 ) có tâm O bán kính R 1 = 2, đường tròn (C 2 ) có tâm O bán kính R 2 = 1 Với B(x B ;y B ) trên (C 2 ) ta có x B 2 + y 2 B = 1 (1) Gọi B 1 là điểm đối xứng với B qua Ox, ta có B 1 (x B ; -y B ) và B 1 nằm giữa O và A. Do OB 1 = 1; OA = 2 nên ta có: Khi đó tọa độ trung điểm M của AB là: Thay vào (1) ta được: Vậy quỹ tích điểm M là elip có phương trình (*). Bài 4: (2.5 điểm) • 2 2 2 a(x a) (x 2 2) 1 0 (x a) ax - 2 2a(x a) 1 0 x a 0 x a 0   − − + ≤ − − + ≤   ⇔   > > > >     ( ) 2 sin2sinsin;0, βα βαπβα + ≤+⇒∈ ) 2 sin . 2 sin 2 (sin 2 1 132 21 2 aaaaaa R n + + + + + ≤ )2;2(2 BB yxAOBOA −⇒= →→      −= = ⇒        + = + = yy x x yy y xx x B B BA BA 2 3 2 2 2 (*)1 4 1 4 9 22 =+ yx • 2 2 1 1 1 1 x 2 2 (x a) (x a) a 2 2 (1) (x a) a 2 2 (x a) a x a 0 x a 0 (2)   + ≤ − + − + + ≤   − − ⇔ ⇔     > > > >   • Do (2) nên x – a và a là hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta được: • 4 2 1 1 1 1 (x a) (x a) a 4 =2 2 (3) 2 2 (x a) a 4 − + − + + ≥ − • Do đó (1) chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3) tức là: 2 3 2 x 1 1 2 (x a) a 2 (x a) a 2 a 2  =   − = = ⇔  −  =   • Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a = 2 2 và nghiệm của hệ là: x = 3 2 2 . ___________________________________________________________ Các cách làm khác đúng cho điểm tối đa. . Trường THPT Thuận Thành số1 ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (thời gian làm bài: 120 phút) Ngày thi: 16/10/2008 Bài 1: (2.5 điểm) Cho.   > >   …………………………Hết………………………………… Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên học sinh: ……………… Lớp:……………………… Đáp án chấm Bài 1: (2.5 điểm)