Sở GD & ĐT hóa Trờng THPT Đông Sơn I --------***-------- Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Năm học 2010 - 2011 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề -------------------------***----------------------------Câu I (6 điểm) 1. Tính đạo hàm hàm số y = x +1 x + 2x + 2 cos2 (2 x + 1) 2. Cho đồ thị (C) y = x x + . Viết phơng trình tiếp tuyến (C) song song với đờng thẳng y = 9x - 25. + x + 3x x sin x 3. Tính giới hạn: lim Câu II (4 điểm) 1. Giải phơng trình: (1 tan x )(1 + sin x ) = + tan x x + 21 = y + y 2. Giải hệ phơng trình: y + 21 = x + x Câu III (4 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n biết C21n+1 + C23n+1 + . + C22nk++11 + . + C22nn++11 = 65536 2. Có số tự nhiên gồm chữ số biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt không lần. Câu IV (4 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) x + y x + y = . Viết phơng trình ảnh (C) qua phép đối xứng qua đờng thẳng : x + y = . 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy có cạnh a, chiều cao 2a. Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ) chứa CD vuông góc với mặt phẳng (SAB). Câu V (2 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn A B C A B C sin + sin + sin + cot + cot + cot = 12 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC đều. ----------------Hết---------------Họ tên thí sinh :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh :. . . . . . . Trờng THPT Đông Sơn kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Năm học 2010 - 2011 Hớng dẫn chấm môn toán 11 Chú ý : - Hớng dẫn chấm có 03 trang - Điểm toàn làm tròn đến 0,5 - Thí sinh giải cách khác cho điểm tối đa Câu I.1 Nội dung Tính đạo hàm . x + 2x + (x + 1) I.2 I.3 2x + x + 2x + + cos(2 x + 1) sin(2 x + 1) x + 2x + y' = = Điểm + sin( 4x + 2) ( x + x + 2)3 Viết phơng trình tiếp tuyến . y = 3x2 6x. Do tiếp tuyến d song song với đờng thẳng y = 9x + nên có hệ số góc k = 9. Hoành độ tiếp điểm nghiệm phơng trình 3x 6x = x = 1; x = +) Với x = - d có phơng trình y = 9x + +) Với x = d có phơng trình y = x 25 (loại) 0,5 Vậy có tiếp tuyến y = 9x + 0,5 Tính giới hạn . + x + 3x + 3x + + 3x + x + 3x lim = lim x0 x0 sin x sin x 3 + 3x + 3x (1 + x ) = lim + x sin x sin x 3x + 3x (1 x) = lim + x sin x + + x sin x + + 3x + (1 + 3x) ( ) ( ) x x + 3x lim lim lim = x0 sin x x0 x0 sin x x0 + + x + + 3x + (1 + 3x)2 Giải phơng trình lợng giác . Điều kiện cos x (1 tan x)(1 + sin x) = + tan x (cos x sin x)(cos x + sin x)2 = cos x + sin x cos x + sin x = x = / + k (kZ ) cos x = x = k Vậy phơng trình có nghiệm x = / + k, x = k ( k Z ) Giải hệ phơng trình . Điều kiện: x, y . = lim II.1 II.2 1,5 x + 21 + x + x = y + 21 + y + y (*) +) Nếu x > y (*) có VT > VP, nên (*) vô nghiệm +) Nếu x < y (*) có VT < VP, nên (*) vô nghiệm Từ hệ ta suy 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 +) Nếu x = y (*) thỏa mãn, (*) x = y Thế vào (1) ta đợc x + 21 = x + x (3) Đặt y = x + 21 (3) trở thành 0,25 x = y + y + 21 0,25 85 (4) x = y + 85 - Nếu x > y > 5, (4) có VT > 1, VP < + =1 Do (4) vô nghiệm. 0,25 III.1 85 - Nếu x < y < 5, (4) có VT < 1, VP > + =1 Do (4) vô nghiệm. - Nếu x = x nghiệm (4), (4) có nghiệm x = 2. Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 2) Tìm số tự nhiên n . Ta có (1 + 1)2 n +1 = C 20 n +1 + C 12 n +1 + C 22 n+1 + . + C 22 nn+1 + C 22 nn ++11 (1 1)2 n+1 = C 20 n+1 C12 n+1 + C 22 n+1 . + C 22 nn+1 C 22 nn ++11 n +1 = 2(C n +1 +C n +1 + . + C )2 2n =C n +1 0,25 0,5 0,5 +C n +1 + . + C n +1 n +1 Theo ta có = n = . Tìm số số tự nhiên . +) Nếu số cần tìm chứa 0, có cách chọn vị trí cho 0, có C 82 cách chọn vị trí cho hai chữ số 2, có C 36 cách chọn vị trí cho ba chữ số 3, có A 37 cách chọn ba chữ số cho ba vị trí lại. Do trờng hợp có 8.C 82 .C 36 .A 37 = 940800số. 2n III.2 n +1 n +1 0,25 16 0,5 0,5 0,75 +) Nếu số cần tìm không chứa 0, có C 29 cách chọn vị trí cho hai chữ số 2, có IV.1 IV.2 C 37 cách chọn vị trí cho ba chữ số 3, có A 74 cách chọn bốn chữ số cho bốn vị trí lại. Do trờng hợp có C 29 .C 37 A 74 = 1058400 số 0,75 Vậy có 940800 + 1058400 = 1.999.200 số thỏa mãn yêu cầu Tìm ảnh đờng tròn . (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 3. Gọi (C) ảnh (C) qua Đ, (C) cso bán kính R= R = 3, có tâm I' = Đ ( I) . Do II' nên II có phơng trình (x 1) ( y + 2) = x y = Gọi H = II' , H trung điểm II, tọa độ H nghiệm hệ x y = x = H(2;1) I' (3;0) x + y = y = 0,5 Vậy (C) có phơng trình (x 3)2 + y = 0,5 Tính diện tích thiết diện . S F I E M B A D O N C 0,5 0,5 0,5 Gọi O tâm hình vuông. M, N trung điểm CD AB. Khi O trung điểm MN AB (SMN ) . Kẻ NI SM NI (SAB ) ( ) (CDI) 0,5 Từ I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt SB, SA E, F suy EF//AB//CD. Thiết diện hình thang CDEF. 0,25 a 17 IN = SO.MN = 4a . SM 17 15a EF SI SI.AB 15a 2 = EF = = +) SI = SN IN = . 17 AB SM SM 17 +) SM = SO2 + OM = Diện tích thiết diện : S CDEF V 64a = (CD + EF )IN = 17 17 Chứng minh tam giác . A B C B C A + cot + cot = 12 Ta có sin + sin + sin + cot (1) 2 2 2 A B C 1 sin + sin + sin + + + = 15 (2) A B 2 sin 2 B sin sin 2 * áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : A A A A A 12 sin + sin + sin sin = 12 16 sin + . sin A 2 sin A 2 sin A 2 A A 16 sin = sin = A = A Dấu = xảy sin 2 B C 16 sin + 12 16 sin + 12 Tơng tự ta có. ; sin B sin C 2 B C 1 A 16 sin + sin + sin + + + 36 (3) 2 sin A sin B sin B 2 A B C A+B AB A+B cos + cos * Mặt khác ta có sin + sin + sin = sin 2 4 2 A+B A+B A+B sin + sin = sin 4 2 A B C Do đó: sin + sin + sin (4). Dấu = (4) xảy A = B = 2 2 Từ (3) (4) ta có: B C 1 B C 3.14 A A 16 sin + sin + sin + + + 14 sin + sin + sin 36 2 sin A sin B sin B 2 2 2 A B C 1 sin + sin + sin + + + 15 (5) 2 sin A sin B sin B 2 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 Dấu = (5) xảy A = B = C = / Nh (2) tam giác ABC đều, (1) tam giác ABC đều. 0,25 . Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2010 - 2011 *** Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian. Hết Họ và tên thí sinh :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh :. . . . . . . Trờng THPT Đông Sơn 1 kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Năm học 2010 - 2011 Hớng dẫn chấm. EF//AB//CD. Thi t diện là hình thang CDEF. 0,25 +) 2 17a OMSOSM 22 =+= . 17 a4 SM MN.SO IN == 0,5 +) 172 a15 INSNSI 22 == . 17 a15 SM AB.SI EF SM SI AB EF === 0,5 Diện tích thi t diện :