Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph D NG L ng) S ph c NG GIÁC C A S PH C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng D ng l ng giác c a s ph c thu c khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Bài 1: Vi t s ph c sau d a) + i b) i d ng l ng giác: +i c) –i d) Gi i a) Ta có r 12 os c G i m t acgumen c a + i Khi đó, sin V y s ph c + i có d ng l ng giác là: ) 2(cos + isin ) 3 b) Ta có r cos G i m t acgumen c a + i Khi đó, sin V y s ph c + i có d ng l ng giác là: 2(cos + isin ) 4 c) Ta có r G i m t acgumen c a ng giác là: cos i sin 6 S có m t acgumen b ng nên có d ng l ng giác : 3(cos + i sin 0) V y s ph c d) cos – i Khi đó, sin 1 – i có d ng l Bài Vi t d ng l a) b) ng giác c a m i s ph c sau sin i sin 2 cos i 1 sin Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph Ta có sin i sin a) Khi sin Khi sin Khi sin 2sin 2sin s có d ng l S ph c cos i sin nên 2 2 ng giác không xác đ nh , d ng vi t d ng l , s có d ng l ng) ng giác c a s ph c cho ng giác cos i sin 2 2 2 Ta có cos i 1 sin sin i 1 cos sin i sin 2 2 2 4 Theo câu a) ta có : b) Khi sin , s có d ng l 2 4 ng giác không xác đ nh Khi sin , s cho có d ng l 2 4 ng giác 2sin cos i sin Khi sin , s cho có d ng l 2 4 5 2sin cos ng giác 5 isin 2 Bài 3: Th c hi n phép tính: a) 2(cos200 + isin200).( cos250 + isin250) b) (cos180 + isin180) (cos720 + isin720) Áp d ng công th c nhân hai s ph c d a) Gi i i d ng l ng giác, ta có i d ng l ng giác, ta có cos200 i sin 200 cos250 i sin 250 2.1 cos 200 250 i sin 200 250 cos450 i sin 450 i Áp d ng công th c nhân hai s ph c d b) cos18 i sin18 cos72 i sin 72 cos 18 cos90 i sin 90 3i 0 Bài 4: Tính 0 720 i sin 180 720 v i: a) = cos850 + isin850; = cos400 + isin400 b) = (cos450 + isin450); = c) = (cos (cos150 + isin150) 2 2 + isin ); = 2(cos + isin ) 3 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph Gi i a) Áp d ng công th c chia hai s ph c d ng) S ph c i d ng l ng giác, ta có cos85 i sin 85 cos 850 400 i sin 850 400 0 cos40 i sin 40 0 2 i 2 Áp d ng công th c chia hai s ph c d cos450 i sin 450 b) cos450 i sin 450 cos15 i sin15 0 i d ng l ng giác, ta có cos 450 150 i sin 450 150 2 cos300 i sin 300 i c) Áp d ng công th c chia hai s ph c d i d ng l ng giác, ta có 2 2 i sin cos 2 3 2 i sin cos 2 cos i sin 2 2 i cos isin 6 4 Bài Xác đ nh t p h p m m t ph ng ph c bi u di n s ph c z cho : z2 có m t acgumen b ng z2 Gi i Ta có z z z zz z z z z z z2 z2 có m t acgumen b ng ch zz z z l i , l s th c d z2 Gi s ng z x yi, x, y R zz z z x2 y2 yi l l 3i l y x2 y2 Rõ ràng y x y 2 2 16 x y 0 3 V y M ch y cung tròn có tâm m bi u di n s ph c i có bán kính b ng n m 3 phía tr c hoành Bài Tìm s ph c z cho z 3i z có m t acgumen zi Gi i Gi s z x yi, x, y R , ta có Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) S ph c z 3i 2 z 3i z i x y 3 i x y 1 i x2 y 3 x2 y 1 y 2 zi z ó m t acgumen b ng r t c z r cos isin 6 i v i r > r x 1 r Ta có z x 2i z 2i r x 2 Bài 7: Dùng công th c Moa–vr đ tính: a) (cos120 + isin120)5 b) (1 + i)16 Gi i a) Ta có cos120 i sin120 cos 5.120 i sin 5.120 cos600 i sin 600 i 2 c tiên ta vi t s ph c i d i d ng l ng giác cos V i r 12 12 2; ta có sin b) Tr 16 16 i cos i sin Do 1 i cos i sin 4 4 2 16 16 16 i sin cos 4 256 7i Bài 8: Cho z Tìm n nguyên d ng cho: 3i a) z s th c b) z s o Gi i 7i d i d ng l ng giác Tr c tiên ta vi t s ph c 3i i 3i i cos i sin 7i Ta có: 3i 3i 3i 4 n n n n n * 1 i cos i sin cos i sin , n N 4 4 n n a) z s th c sin 0 k , k n 4k 4 n V y n 4k, k N * b) z s o cos n n 0 k n 4k, k N * 4 V y n 4k, k N * Bài 9: Vi t s ph c sau d i d ng l ng giác: a) (–3 + 4i)3 b) –cos + isin 5 b) cos i sin Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) S ph c cos Khi Ta có r 16 5; sin a) cos 3 4i cos isin sin cos Suy ra, 3 4i 53 cos3 isin 3 125 cos3 isin 3 v i sin 4 4 cos i sin cos i sin 5 5 5 5 3i Bài 10 Cho s ph c w z z cos isin , R Xác đ nh t p h p m 2i m t ph ng ph c bi u di n s ph c w nói thay đ i b) cos i sin Gi i Ta có z cos isin cos isin 3i 5 5 1 i cos isin 2i 4 3i 5 5 cos i sin 2i 5 5 Vì 4 w z V y t p h p c n tìm n a đ ng tròn tâm O bán kính b ng ph n t th nh t c a h t a đ Bài 11: Gi i h ph , n m phía đ ng phân giác c a góc z 2i z ng trình: tính z100 100 z z i z Gi i Xét s ph c z x yi, x, y R H tr thành 2 2 x x y i x yi x y 2 x y 2 2 y 1 x y 1 x 1 y x y 1 i x 1 yi z i cos i sin 4 1005 1005 1005 1005 1005 P 21005 cos i sin i sin 2 cos 2 2 Ta có: sin 1005 sin 251.2 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph P 21005 i i 21005 ng) S ph c 22010 i 21005 i 1 3i 4i Bài 12 Tính z1 z2 1 i 11 Gi i: *Tính z1 z1 ( i)6 [2(cos i sin )]6 6 Áp d ng công th c Moivre: z1 26 (cos isin ) 64 *Tính z2 Áp d ng công th c Moivre cho c t m u: ( i )3 8i 11 i sin )] 211 ( i ) 210 (1 i 3) 3 2 8i z2 10 ( i) (1 i 3) (1 3i )11 [2(cos Bài 13 Cho s ph c z có modul b ng Bi t m t acgumen c a z Tìm m t acgument c a có s ph c sau: a b z2 z (n u / ) 2z c z2 z (n u ) Gi i: a z cos i sin z cos i sin cos( ) i sin( ) 1 cos i sin [cos( ) i sin( )] z 2(cos( ) i sin( )) V y acgument c a là: b z2 z (cos 2 i sin 2 ) cos i sin (cos2 cos ) i(sin 2 sin ) 3 3 2cos cos 2i cos sin 2 2 3 cos (cos i sin ) 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph V y s ph c có acgument : c T ng) S ph c ng t : z2 z (cos2 i sin 2 ) (cos i sin ) (cos2 cos ) i (sin 2 sin ) 3 3 sin 2i cos sin 2 2 3 3 2sin cos 2i sin sin 2 2 3 3 2sin (cos i sin ) 2 3 V y s ph c có acgument : 2sin 3i Bài 14 Cho s ph c z 3i a Tìm n đ z s th c b Tìm n đ z s o n Gi i : i sin 2(cos ) i 6 cos i sin 6 3i 2(cos i sin ) 3 n n z cos i sin 6 z s th c n 6k (k Z ) z s o : n 6k (k Z k 0) Bài 15 Cho z 1 Tìm ph n th c ph n o c a s ph c z2000 2000 z z Gi i: z2 z z 1 i z cos i sin 3 z Ta có: z2000 (cos z 2000 2000 2000 2000 2000 i sin ) [cos(0 ) i sin(0 )] 3 3 1 i 1 i 1 2 2 Ph n th c = -1 Hocmai.vn – Ngôi tr Ph n o = ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) S ph c M t s t p tham kh o t gi i Bài 1: Tìm nghi m ph c c a ph ng trình : z4 – = i 7i ng s ph c: s th c, s 3i n Bài 2: V i n nguyên d 7i HD: 3i n cos n4 i sin n4 n S s th c sin S s o o cos n n 4k (k nguyên d ng) n n 4k (k s nguyên không âm) Bài 3: Bi u di n cos5x.cos6x theo coskx S: cos5x = 1 cos5x 5cos3x 10cosx ; cos6x = cos6x 6cos4x 15cos2x 10 10 32 Bài 4: Ch ng minh : n 2 1 a) Cn1 Cn4 Cn7 2n 2cos 3 ; n 4 1 b) Cn2 Cn5 Cn8 2n 2cos 3 Bài 5: Cho s ph c d ng l ng giác z = r cos +isin t ei cos i sin Ch ng minh : a) z r ei b) r e . r .e rr.e i c) cos i i ; zn r n ein ei ei ;sin 3sin sin 3 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 ng Hocmai.vn - Trang | -