giải tích 4, ĐỊNH LÍ STOKES VÀ ỨNG DỤNG ”

Toán học là môn khoa học cơ sở mang tính trừu tượng nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực và đời sống. Định lí Stockes có vị trí rất quan trọng trong toán học, không những như một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích cổ điển mà còn là một công cụ đắc lực để giải các bài toán tích phân phức tạp trở nên dễ dàng hơn, và đôi khi kết hợp với định lí Gauss cung cấp một công cụ quan trọng để làm việc với các dạng khác nhau của bề mặt và dòng tích,…Trước hết với sự cần thiết của giải tích cổ điển đối với các sinh viên chuyên Toán, với tầm quan trọng của nó trong công việc giảng dạy sau này, chúng tôi chọn đề tài “ ĐỊNH LÍ STOKES VÀ ỨNG DỤNG ”

của nó trong công việc giảng dạy sau này, chúng tôi chọn đề tài “ ĐỊNH LÍ STOKES VÀ ỨNG DỤNG ”

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của chúng tôi khi nghiên cứu đề tài này là trình bày sâu sắc hơn

về định lí Stokes, dựa trên công thức Stokes nghiên cứu đưa ra phương pháp giải cho một số dạng bài tập.

3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là định lí Stokes

4. Phạm vi nghiên cứu

+ Định lí Stokes và cách chứng minh định lí

+Ứng dụng định lí Stokes để giải một số dạng bài tập.

5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

PHẦN II NỘI DUNG

CHƯƠNG I ĐỊNH LÍ STOKES

Cho điểm , cho v là đơn vị trực chuẩn để đúng, thông qua quy tắc bàn tay phải, với

hướng lựa chọn của đường cong C Khi đó

Đầu tiên ta chứng minh một trường hợp đặc biệt

Giả thiết phẳng là một phép chiếu vào mỗi tọa độ phẳng x,y y,z và z,x Nó có nghĩa

là các phương trình xác định của , mà ta có thể giả định để có , là cách tìm x,y và z,

là đường cong phẳng hai chiều, đó là những hình chiếu

của lên các mặt phẳng y,x, y,z và z,x tương ứng, và ta cho x y,

Bởi vì trường này chỉ phụ thuộc vào x và y, ta có thể coi nó được xác định trong một

vùng của phẳng x,y có chứa đường cong phẳng x,y và phần bên trong

,

x y

Σ

của nó.

Sử dụng quy tắc dây chuyền, ta tính

.1

Từ 3 phương trình và 2 cách phân chia trên ta được:

Và chứng minh cho bề mặt đặc biệt Σ,như mô tả, là hoàn tất.

Một mặt đa tạp định hướng Σ (tức là, một mặt có hai mặt khác biệt, như trái ngược với một dải Moebius, ví dụ) có thể được chia thành một hữu hạn số các bề

mặt nhỏ hơn Σk

, k= 1,2, 3, ,k, thỏa mãn các giả thiết của bề mặt đặc biệt trên, và

giới hạn bởi đường cong k , như vậyΣk

được tính ngoại trừ đường cong ranh giới

của chúng, 1

K k

* 1

k

K k

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ STOKES

2.1 Ứng dụng của định lí Stokes để tính tích phân đường và tích phân mặt

S - một vòng tròn định hướng, liên tục từng mảnh – bề mặt trơn.

C – một lá đơn, đóng, liên tục từng mảnh – đường cong trơn ràng buộc bởi S.

F – trường véc tơ, có các thành phần liên tục trong một miền mở của

3

¡

chứa S Công thức Stokes

Cho S bên trong elip này, vòng tròn định hướng với hướng chỉ lên Nếu

trong phẳng xy Do đó ta có thể tham số nó như là

( ) ( os( ),sin( ), os( ))

của đĩa đơn vị.

Lưu ý rằng hai tích phân thõa mãn Đó là một thành công của định lí Stokes!

2.1.2 Giả sử S là một phần của phẳng

1

trong góc phần tám thứ nhất, định hướng đi lên – chỉ bình thường, và cho C là ranh giới , hướng kim đồng

hồ khi nhìn từ trên xuống.

Đây là hình ảnh của bề mặt và đường cong Khu vực S là phần tam giác chấm

(với hướng chỉ lên bình thường ), và đường cong C là hợp của 1 2 3

Tích phân này sẽ thực sự là tổng của ba tích phân

riêng biệt trên mỗi 1 2

,

C C

và 3

C Ta bắt đầu với 1

C Một tham số đơn giản của tích phân này là :

r(t)= điểm đầu + t(điểm cuối – điểm đầu)

C F dr=

∫

Như vậy

mặt tam giác này là một đồ thị ( sử dụng z= − −1 x y)

trong tam giác T ={( , ) : 0x y ≤ ≤ −y 1 x,0≤ ≤x 1}

trong góc phần tư thứ nhất của

phẳng xy Như vậy ta đặt tham số nó là r x y( , ) ( , ,1= x y − −x y)

như trước Thành công hơn cho định lí Stokes.

2.1.3 Giả sử S là “bóng đèn – phồng lên – một phần của hình” Tưởng tượng một

bóng đèn – phồng lên cắt tại cơ sở để ranh giới của nó là một vòng tròn đơn vị

Tính: Quan điểm của vấn đề này là sử dụng định lí Stokes để tránh việc tính tích

phân mặt S và thay thế tính tích phân đường trong vòng tròn đơn vị C trog phẳng

xy Ta dùng tham số r t( )=(cos( ),sin( ), 0t t )

2

0

C S

phải là tích phân đường trên mặt S Đường ranh giới là đường tròn

, nhưng một lưu ý quan trọng là theo thứ tự Các

tham số tự nhiên là r t( )=(3cos( ),3sin( ), 4t t )

tham số thực sự -C (đó là C với hướng đối diện) ! Tại sao vậy? Tưởng tượng một người đi bộ dọc theo ranh giới này với đầu của họ theo hướng bình thường Phần còn lại của hình cầu là phía bên phải của

họ nếu họ đi bộ ngược chiều kim đồng hồ Nó phải là bên trái của họ, như vậy họ phải đi theo chiều kim đồng hồ

Những vấn đề đã có trước đó luôn đúng khi G c lF= ur cho một số trường véc tơ

F Nhưng nó không đúng trên tiên đề tổng quát.

Ở đây là một ví dụ đơn giản:

Cho G=(0,0, )z

và 1S

là hình vuông đơn vị trong phẳng xy:

Nếu bạn tự hỏi là như thế nào? Ta đặt vấn đề như sau: Tổng lượng dòng chảy chảy

ra khỏi một mặt đóng, có thể là một cái gì đó khác, trong khi bạn đang quá tập trung vào nước Một chất lỏng giống nước, không nén được, chảy vào một khu vực phải được cân bằng bởi một lượng bằng nhau khi chảy ra (giả định rằng khu vực này hoàn toàn chìm hoặc đầy nước) Nhưng nó không đúng với mọi thứ có thể chảy,

ví dụ điện tích hoặc nhiệt độ.

và

2 21

cùng định hướng để các bên đi lên của bề mặt (z hướng dương) được coi là mặt

dương, chúng tương đương, đường ranh giới chung là vòng tròn đơn vị

và không gian ba chiều ℜ nằm giữa hai bề mặt, sau đó áp dụng định lí Stokes hai lần,

Một cách khác, trong đó ta có thể thấy cho ∑ = ∑ ∪∑1 2

; sau đó ∑ là bề mặt định

hướng cho ℜ và pháp tuyến đơn vị ν

đến ∑ thỏa mãn với 1

v trên ∑1

Xét đường cong C là đường cong cơ sở trên phẳng xy, xác định bởi

0 (3cos 2cos 1)sin d

đến S định hướng đi lên, hướng về phía

gốc tọa độ Điều này có nghĩa là

Mootj lần nữa, ta tham

số S trong tọa độ cầu, với vĩ độ 2

(3cos 2cos 1) sin d

π π

Ta tham số S sử dụng x và y như các tham số, D là miền tham số đĩa đơn vị

đến S định hướng đi lên , chỉ đi từ trục z.

Ta tham số hóa S trong tọa độ trụ 0≤ ≤r 1,0≤ ≤θ 2π

Theo quy ước, pháp tuyến n

r

đến 1

S , nên chỉ đi từ trục z nghĩa là n=( , , 0)x y

bao gồm một vòng tròn C bán kính 3 ( và tích phân đường trên một

điểm duy nhất sẽ là số 0) Ta đặt C bởi tham số rr( ) ( 3sin , 0,3cos )θ = − θ θ

D={( , ) : 0x y ≤ ≤x 1,0≤ ≤ −y 2 2x}

t

trong phẳng xy Ta có thể vẽ đồ thị biểu diễn S :

1( , ) 1

1(1, ,1)2

Phương trình tham số ở trên mô tả một hình tròn bán kính 2 trên phẳng yz

Cho D là đĩa mà ranh giới là đường tròn cho trước Qua định lí Stokes :

∫∫

Về mặt hình học tích phân này có thể tính được Véc tơ dA vì điểm đĩa nằm trên trục

x hướng dương ( Định lí Stokes sử dụng quy tắc bàn tay phải : Nếu bạn cuộn tròn các ngón tay của bàn tay phải theo hướng của C, Sau đó ngón tay phải chỉ theo hướng của dA) Do đó :

là diện tích của đĩa D )

Bài 5 Cho S là bán cầu trên của hình cầu đơn vị

và x

F bằng không, nó không quá khó để tìm ra rằng

3 y

z

F =x e

đùng vậy :

Từ S là bán cầu trên của hình cầu đơn vị, C là vòng tròn đơn vị trong phẳng xy Theo quy tắc bàn tay phải, C có hướng ngược chiều kim đồng hồ (nó cùng chiều kim

đồng hồ nếu ta bắt đầu với dA chỉ xuống) Sau đó

nếu ta chọn véc tơ pháp tuyến n là k, khi đó ∂( )S =C

sẽ có hướng ngược chiều kim đồng hồ, và qua định lí Stokes ta sẽ có :

=

PHẦN III KẾT LUẬN

1.Một số kết quả chính

Đề tài đã phát biểu và chứng minh định lí Stokes, đồng thời trình bày được một số

ứng dụng cơ bản của định lí này.

Những đóng góp chính của đề tài là :

- Phát biểu và chứng minh được định lí Stokes.

- Trình bày phương pháp ứng dụng định lí Stokes để việc tính toán tích phân

trong một số dạng bề mặt khác nhau trở nên dễ dàng hơn.

2 Lời tựa

Do thời gian và tài liệu nghiên cứu có hạn nên đề tài phải dừng lại ở mức độ xét

một số ứng dụng cơ bản của định lí Stokes Em hi vọng trong tương lai mình sẽ được

nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này Tuy bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng đề tài

khó có thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của

thầy cô và các bạn để đề tài có thể hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em

hoàn thành đề tài Đặc biệt khi làm đề tài này em đã nhận được sự chỉ dạy quý báu

của Tiến sĩ Lê Văn An, giảng viên môn Giải tích cổ điển

Em xin chân thành cảm ơn !