Toán học là môn khoa học cơ sở mang tính trừu tượng nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực và đời sống. Định lí Stockes có vị trí rất quan trọng trong toán học, không những như một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích cổ điển mà còn là một công cụ đắc lực để giải các bài toán tích phân phức tạp trở nên dễ dàng hơn, và đôi khi kết hợp với định lí Gauss cung cấp một công cụ quan trọng để làm việc với các dạng khác nhau của bề mặt và dòng tích,…Trước hết với sự cần thiết của giải tích cổ điển đối với các sinh viên chuyên Toán, với tầm quan trọng của nó trong công việc giảng dạy sau này, chúng tôi chọn đề tài “ ĐỊNH LÍ STOKES VÀ ỨNG DỤNG ”
PHẦN I LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học môn khoa học sở mang tính trừu tượng mô hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống Định lí Stockes có vị trí quan trọng toán học, đối tượng nghiên cứu trọng tâm giải tích cổ điển mà công cụ đắc lực để giải toán tích phân phức tạp trở nên dễ dàng hơn, kết hợp với định lí Gauss cung cấp công cụ quan trọng để làm việc với dạng khác bề mặt dòng tích,…Trước hết với cần thiết giải tích cổ điển sinh viên chuyên Toán, với tầm quan trọng công việc giảng dạy sau này, chọn đề tài “ ĐỊNH LÍ STOKES VÀ ỨNG DỤNG ” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài trình bày sâu sắc định lí Stokes, dựa công thức Stokes nghiên cứu đưa phương pháp giải cho số dạng tập Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài định lí Stokes Phạm vi nghiên cứu + Định lí Stokes cách chứng minh định lí +Ứng dụng định lí Stokes để giải số dạng tập Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, đề tài gồm ba chương : Chương 1: Định lí Stokes Trong phần phát biểu chứng minh định lí Stokes Chương 2: Ứng dụng định lí Stokes Trong phần đề cập đến số ứng dụng định lí Stokes dùng để tính tích phân đường tích phân mặt, tính tích phân bề mặt tương đương tính tích phân số bề mặt khác Chương 3: Bài tập vận dụng Trong chương giải số dạng tập có ứng dụng định lí Stokes 2.1 Ứng dụng định lí Stokes để tính tích phân đường tích phân mặt 2.2 Bề mặt tương đương 2.3 Tính tích phân số bề mặt khác PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG I ĐỊNH LÍ STOKES 1.1 Định lí Stokes F ( X ) = f ( x , y , z ) i + g ( x, y , z ) j + h ( x , y , z ) k Cho hàm số liên tục, khả vi, trường véc tơ miền D chứa đường cong khép kín đơn giản C bề mặt không định hướng mà C ranh giới Cho điểm , cho v đơn vị trực chuẩn để đúng, thông qua quy tắc bàn tay phải, với hướng lựa chọn đường cong C Khi ∫ ∇ × F ( X ) vdσ = ∫ F ( X ) dX Σ C Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh trường hợp đặc biệt Giả thiết phẳng phép chiếu vào tọa độ phẳng x,y y,z z,x Nó có nghĩa phương trình xác định , mà ta giả định để có , cách tìm x,y z, ta có z = ϕ ( x, y ) , x = ψ ( y, z ) , y = θ ( x, z ) Cx, y , C y, z Ta cho Cz , x đường cong phẳng hai chiều, hình chiếu Σ x, y Σ y,z Σz,x lên mặt phẳng y,x, y,z z,x tương ứng, ta cho , phần bên đường cong phẳng x,y ,y,z z,x ,tương ứng, bên phẳng Ta ý chia thành = = Fx,y + Fy,z + Fz,x Bắt đầu với trường x,y x,y ,ta có = Fx,y = (x,y)i + (x,y)j Bởi trường phụ thuộc vào x y, ta coi xác định Σ x, y vùng phẳng x,y có chứa đường cong phẳng x,y phần bên Sử dụng quy tắc dây chuyền, ta tính = = Áp dụng định lí Green ta có: ∫ ( f%( x, y ) dx + g%( x, y ) dy ) = ∫ Σx ,y Cx , y ∂g% ∂f% − ÷dxdy ∂x ∂y ∂ϕ ∂ϕ − i− j+k÷ ∂g ∂y ∂g ∂f ∂x ∂f dσ = ∫ − i + j + − ÷k ÷ Σ 2 ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ϕ ∂ϕ 1+ ÷ + ÷ ∂x ∂y ∂g ∂g ∂f ∂f = ∫ − i+ j + − ÷k ÷( x, y , ϕ ( x, y ) ) v ( x, y, ϕ ( x, y ) ) d σ Σ ∂z ∂x ∂y ∂z Từ điểm x,y thỏa mãn tương ứng điểm , ta có ∂g ∂f ∂g ∂f j + − ÷k ÷.vdσ − i + ∂z ∂x ∂y ∂z ∫ ( f ( x, y, z ) dx + g ( x, y, z ) dy ) = ∫ Σ C Sử dụng x = ψ ( y, z ) , C y , z vàΣ y , z , với lập luận tương tự ta có ∫ ( g ( x, y, z ) dy + h ( x, y, x ) dz ) = ∫ C Cuối cùng, sử dụng Σ y = θ ( x, z ) , C z , x ∫ ( f ( x, y, z ) dy + h ( x, y, z ) dz ) = ∫ C ∂h ∂g ∂h j + k ÷.vdσ − ÷i − ∂y ∂z ∂x Σ ∑ z,x ta có ∂h ∂f ∂h ∂f i + − ÷ j − k ÷.vdσ ∂y ∂y ∂z ∂x Từ phương trình cách phân chia ta được: ∫ C F ( X ) * dX = ∫ F ( X ).dX = ∫ C C ( f ( x, y, z ) dx + g ( x, y, z ) dy + h ( x, y, z ) dz ) ∂h ∂g ∂f ∂h ∂g ∂f = ∫ − ÷i + − ÷ j + − ÷k ÷.vdσ Σ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = ∫ curlF ( X ).v( X )d Σ Σ Và chứng minh cho bề mặt đặc biệt Σ ,như mô tả, hoàn tất Σ Một mặt đa tạp định hướng (tức là, mặt có hai mặt khác biệt, trái ngược với dải Moebius, ví dụ) chia thành hữu hạn số bề mặt nhỏ Σk , k= 1,2, 3, ,k, thỏa mãn giả thiết bề mặt đặc biệt trên, giới hạn đường cong k , K Σ = Uk =1 Σ k Σk tính ngoại trừ đường cong ranh giới Σ kK=1Ck = C chúng, ta hiểu k đường định hướng theo hướng dương liên quan đến quy tắc bàn tay phải, tất hình cung nhỏ k mà hình cung nhỏ phủ hai lần, theo hướng ngược nhau, để hủy tích phân đường tương ứng Áp dụng kết cho bề mặt đường cong mặt biên chúng, ta hoàn thành chứng minh định lí cách quan sát ∫ Σ K curl F ( X ) * v( X )dX = ∑ ∫ curlF ( X )* v( X )dX k =1 Σk K = ∑ ∫ F ( X ) * dX = ∫ F ( X ) * dX k =1 Ck C 1.2 ví dụ Ví dụ 1: Chúng ta xét trường 3: F( X) = z i + x2 j + y 2k , ( ) Có curl dễ dàng thấy ∇ × F ( X ) = yi + zj + xk Ta cho biểu thị bề mặt paraboloit : Σ = { ( x, y , z ) z + x + y − = } z = − ( x2 + y ) Các đơn vị trực chuẩn đến bề mặt với thành phần tích cực theo hướng z v ( X ) = ( xi + yj + 2k ) / + x + y Tích phân mặt định lí Stokes ∫∫ ( yi + zj + xk ).(( xi + yj + 2k ) Σ x2 y + x + y ) + + dxdy 4 2 = ∫∫ ( yi + zj + xk ).( xi + yj + 2k )dxdy = ∫∫ ( xy + zy + x)dxdy, Σ D Trong đĩa bán kính trọng tâm phẳng x,y Phức tạp không khó để thấy tích phân không Ứng dụng định lí Stokes , tích phân phải với: 1 z dx + x dy + y dz = ∫ x dy ∫ 2C 2C ( Vì z≡0 ) phẳng Thay đổi hai cận để tích phân cuối dễ tính cos 2θ 4∫ 2π = d sin − si n θ c os θ d θ = si n θ − ( ) ÷ 2π =0 CHƯƠNG II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ STOKES 2.1 Ứng dụng định lí Stokes để tính tích phân đường tích phân mặt S - vòng tròn định hướng, liên tục mảnh – bề mặt trơn C – đơn, đóng, liên tục mảnh – đường cong trơn ràng buộc S F – trường véc tơ, có thành phần liên tục miền mở ¡ chứa S Công thức Stokes Ñ ∫ F dr = ∫∫ curlF dS C S 2.1.1 Giả sử C đường cong trơn thu phẳng giao z=x hình x2 + y = trụ , vòng tròn định hướng theo chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống Cho S bên elip này, vòng tròn định hướng với hướng lên Nếu F = xi + zj + yk Tính: Ñ ∫ F dr , thử lại với định lí Stokes, cách tính hai C ∫∫ curlF dS S Ñ ∫ Fdr C Tích phân đường Elip đồ thị (sử dụng xy phẳng ≤ t ≤ 2π Từ Do ta tham số z=x ) vòng tròn đơn vị r (t ) = (cos(t ),sin(t ), cos(t )) F = ( x, y , z ) , ta F ( r (t ) ) = ( cos(t ), cos(t ), 2sin(t ) ) dr = (− sin(t ), cos(t ), − sin(t )) dt Và F (r (t )).dr = (− sin(t ) cos(t ) + cos (t ) − 2sin (t )) dt = (− sin(t )cos(t ) + − 3sin (t )) dt Như Ñ ∫ F dr = ∫ 2π C (− sin(t )cos(t ) + − 3sin (t )) dt 3 = − sin (t ) + t − t + sin(2t ) ÷ = −π 2π ∫∫ curlF dS Tích phân mặt S Lại có hình elip đĩa đồ thị (sử dụng xy đĩa đơn vị phẳng x + y ≤ Từ ∫∫ C Do ta đặt tham số F = ( x, z , y ) curlF dS = , ta curlF = ( 1, 0, ) ∫ ∫ ( 1, 0, ) ( −1, 0,1) dxdy unit disk z=x r ( x, y ) = ( x , y , x ) rx × ry = ( −1, 0,1) ) Như =−∫ ∫ 1dxdy unit disk = −π , π ( 1) = π Từ tích phân cuối bề mặt đơn giản đĩa đơn vị Lưu ý hai tích phân thõa mãn Đó thành công định lí Stokes! x + y + z =1 2.1.2 Giả sử S phần phẳng góc phần tám thứ nhất, định hướng lên – bình thường, cho C ranh giới , hướng kim đồng hồ nhìn từ xuống ( F = x2 − y , y − z , z − x2 Nếu tích phân Ñ ∫ Fdr C ) Chứng minh định lí Stokes cách tính hai ∫∫ curlF dS ∫∫ curlF dS S S (0,0,1) C3 C2 (1,0,0) (0,1,0) Đây hình ảnh bề mặt đường cong Khu vực S phần tam giác chấm (với hướng lên bình thường ), đường cong C hợp Tích phân đường riêng biệt phân : Ñ ∫ Fdr C C1 , C2 C1 ∪ C2 ∪ C3 Tích phân thực tổng ba tích phân C3 Ta bắt đầu với C1 r(t)= điểm đầu + t(điểm cuối – điểm đầu) Một tham số đơn giản tích = (1, 0, 0) + t ((0,1, 0) − (0,1, 0)) = (1 − t , t , 0) Như dr = (−1,1, 0) dt Trong điều kiện tham số này, trường véc tơ F = ( x − y , y − z , z − x2 ) 2 2 trở thành F (r (t )) = ((1 − t ) − t , t − , 02 − (1 − t ) ) = (1 − 2t , t , −(1 − t ) ) Sau F (r (t )).dr = (1 − 2t , t , −(1 − t ) ).( −1,1, 0) dt = (t + 2t − 1) dt Như 1 F dr = ∫ t + 2t − dt = C1 ( ∫ Đường cong C2 ) tương tự: tham số r (t ) = (0,1 − t , t ), F (r (t )).dr = (−(1 − t )2 ,1 − 2t , t ).(0, −1,1)dt = (t + 2t − 1)dt Như 1 F dr = ∫ (t + 2t − 1)dt = , C2 ∫ ∫ C2 Và tương tự F dr = Như = ∫∫ ( z − 1)dS S = ∫∫ (−1)dS S = −π 2.Hình bán cầu Cho S đơn vị bán cầu trên, xác định theo quy ước, véc tơ pháp tuyến r n= r n ( x, y , z ) = ( x, y, z ) x2 + y + z2 Chúng ta tham số hóa S tọa π ≤∅ ≤π ∫∫ S Định hướng S định hướng lên, từ gốc tọa độ Điều có nghĩa độ cầu, với x + y + z = 1, z ≥ 0 ≤ θ ≤ 2π Tính toán tương tự: rr curlF ndS = ∫∫ ( − x, 0, z − 1).(−( x, y, z )) dS S = ∫∫ − x + z − zdS S π 2π = ∫ ∫ (−(sin ∅cosθ ) + (cos∅) − cos∅) sin ∅ dθ d ∅ 0 π = ∫ (−π sin 2∅ + 2π cos 2∅ − 2π cos∅)sin ∅d ∅ 2π = π ∫ (cos 2∅ − + cos ∅ − cos ∅)sin ∅ d ∅ π = π ∫ (3cos 2∅ − cos ∅ − 1) sin ∅d ∅ (u = cos∅, du = − sin ∅d ∅) = π ∫ (3u − 2u − 1)(− du ) = π u − u − u = π (1 − − 1) = −π Ta cho S bán cầu , xác định hướng theo quy ước, vec tơ pháp tuyến r n= r n x + y + z = 1, z ≤ đến S định hướng lên, hướng phía − ( x, y , z ) x2 + y + z = − ( x, y , z ) gốc tọa độ Điều có nghĩa số S tọa độ cầu, với vĩ độ tự là: ∫∫ S Định Mootj lần nữa, ta tham π ≤∅≤π kinh độ ≤ θ ≤ 2π Một tính toán tương rr curlF ndS = ∫∫ ( − x, 0, z − 1).( −( x, y, z ))dS S = − ∫∫ − x + z − zdS S π = −π ∫π (3cos 2∅ − cos ∅ − 1) sin ∅d ∅ ( u = cos∅ ) −1 = −π ∫ (3u − 2u − 1)(− du ) −1 = −π ∫ (3u − 2u − 1)(− du ) = π (( −1) − − (−1)) = −π 3.Mặt parabol Cho S phần mặt parabol xác định hướng theo quy ước, vec tơ pháp tuyến z r n z = − x − y , x + y ≤ Định đến S có định hướng lên, từ trục Ta tham số S sử dụng x y tham số, D miền tham số đĩa đơn vị x2 + y ≤ : r r ( x, y ) = ( x, y,1 − x − y ) Các vec tơ pháp tuyến r rx = (1, 0, −2 x) r ry = (0,1, −2 y ) Do đó, vec tơ pháp tuyến kết tích rx × ry = (2 x, y,1) Kiểm tra định hướng, vec tơ pháp tuyến lên từ trục z Không cần phải lật ngược ∫∫ S rr r r r curlF ndS = ∫∫ curlF ( rx × ry )dxdy D = ∫∫ (− x, 0, z − 1).(2 x, y,1)dxdy D = ∫∫ −2 x + z − 1dxdy D = ∫∫ −2 x + (1 − x − y ) − 1dxdy D = ∫∫ −3x − y dxdy D = −∫ 2π = −∫ 2π = −∫ 2π 0 ∫ (3r cos θ + r 2 sin θ ) rdrdθ sin θ ) drdθ ∫ (3r cos θ + r 3 cos θ + sin θ dθ 4 3 = − (π ) + (π ) ÷ 4 = −π Hình nón z = − x + y , x + y ≤ Cho S phần hình nón xác định hướng theo quy ước, vec tơ pháp tuyến Ta tham số hóa S tọa độ trụ r n Định đến S định hướng lên , từ trục z ≤ r ≤ 1, ≤ θ ≤ 2π : r r ( r ,θ ) = (r cos θ , r sin θ ,1 − r ) Các véc tơ phương ur rr = (cosθ ,sin θ , −1) ur rθ = (− r sin θ , r cos θ , 0) Do đó, véc tơ pháp tuyến cho kết : r i ur ur rr × rθ = cosθ −r sin θ r j sin θ r k −1 r cos θ r r r = i (0 − ( −r cos θ )) − j (0 − r sin θ ) + k ( r cos θ − ( − r sin θ )) = (r cos θ , r sin θ , r ) Kiểm tra định hướng véc tơ pháp tuyến lên từ trục z Không cần lật ngược ∫∫ S ur r ur ur ur curl F ndS = ∫∫ curl F (rr × rθ )drdθ D Thật ! véc tơ ur ur rr × rθ = (r cos θ , r sin θ , r ) giải mã hàm xoắn bề mặt ur ur dS = rr × rθ drdθ = 2rdrdθ không thêm vào r = ∫∫ (− x, 0, z − 1).(r cos θ , r sin θ , r ) drdθ D = ∫∫ (−r cos 2θ + (−r ) r )drdθ D = −∫ 2π =− ∫r (cos 2θ + 1)drdθ 2π (cos 2θ + 1)dθ ∫ = − (π + 2π ) =π Hình lon Cho S hình lon đáy, chiều cao Nói cách khác, S phần hình trụ x2 + y2 = ≤ z ≤ , (đầu lon) Gọi tương ứng Theo quy ước, pháp tuyến số hóa S1 r n (kích thước lon), với đĩa S1 đến S1 hình trụ, với S1 , nên từ trục z nghĩa 0≤ z≤5 ≤ θ ≤ 2π : ur r curl F ndS = ∫∫ (− x, 0, z − 1).( x, y, 0)dS S1 , S2 r r ( z ,θ ) = (cosθ ,sin θ , z ) ∫∫ x2 + y ≤ z = r n = ( x, y , 0) Tham = ∫∫ − x dS S1 = −∫ 2π ∫ (cos 2θ )(1)dzdθ 2π = −5∫ (cos 2θ )dθ = −5π Pháp tuyến r n đến S2 nên lên, nghĩa ∫∫ S2 r n = (0, 0,1) ur r curl F ndS = ∫∫ (− x, 0, z − 1).(0, 0,1) dS S2 = ∫∫ ( z − 1)dS S2 = ∫∫ (4)dS S2 = 4( S ) = 4π Kết hợp hai phần, ta ∫∫ S ur r ur r ur r curl F ndS = ∫∫ curl F ndS + ∫∫ curl F ndS S1 S2 = −5π + 4π = −π CHƯƠNG III BÀI TẬP VẬN DỤNG ur ∫∫ curl ( F )d S S Bài Tính y = x2 + z hình nón hướng trục y dương , ur F ( x, y, z ) = ( x y z ,sin( xyz ), xyz ) , nằm mặt phẳng y=0 , S phần y=3 , định hướng theo Giải : Lát hình nón qua nón qua y =3 y=0 bao gồm điểm nhất, lát hình bao gồm vòng tròn C bán kính ( tích phân đường điểm số 0) Ta đặt C tham số số C, r r (θ ) = (−3sin θ , 0, 3cos θ ) tham ur r F (r (θ )) = (279 cos θ sin θ ,sin(27 sin θ cosθ ), 27 sin θ cosθ ) Bằng cách này, ta tính tích phân theo định lí Stokes ∫∫ S ur ur rr 2π u curl F d S = − ∫ F r (θ ) dθ 2π = ∫ (2187 cos θ sin θ − 81sin θ cos 2θ ) dθ Bây giờ, nhớ lại ∫ 2π 1 sin θ cos 2θ = sin (2θ ) = (1 − cos(4θ )) 2187 cos θ sin θ dθ = từ ta thấy 2187 2π (1 − cos(4θ )) dθ ∫0 2π 2187 = θ − sin(4θ ) 0 = 2187π Các tích phân thứ hai Mặt khác đòi hỏi thay đơn giản ∫ 2π 81sin θ cos 2θ dθ = u = cosθ : Như r r 2187π c ur lF dS = ∫∫S Bài Sử dụng định lí Stokes để tính ∫ C r F dr r F ( x, y, z ) = e − x , e x , e z , với C biên 2x + y + 2z = phần mặt phẳng góc phần tám thứ nhất, hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống Giải r curlF = 0, 0, e x Tính toán thông thường cho thấy lát cắt S nằm miền D = { ( x, y ) : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ − x} Mặt khác ta thấy t z = f ( x, y ) = − x − phẳng xy Ta vẽ đồ thị biểu diễn S : cách khác, đặt tham số S : véc tơ pháp tuyến r r ( x, y ) = x, y,1 − x − y y D, nói ( x, y ) ∈ D Ta tính r r rx × ry = (1, ,1) ( ý hướng lên s, trường hợp định hướng định C) Như , định lí Stokes ta có : ∫ C r r r r r r F dr = ∫∫ curlF dS = ∫∫ (0, 0, e x ).(rx × ry )dxdy S D = ∫∫ (0, 0, e x ).(1, ,1)dxdy D =∫ ∫ 2− x = 2e − e x dydx = ∫ (2 − x)e x dx Bài Sử dụng định lí Stokes để tính ∫ C r F dr , x+ z =5 giao phẳng hình trụ đông hồ nhìn từ xuống r F ( x, y, z ) = ( xy, z,3 y ) x2 + y2 = C đường , theo hướng ngược chiều kim Giải Giao phẳng hình trụ hình elip nằm đĩa D cho phẳng xy Ta tham số hóa Tính toán thông thường tìm thấy r r rx × ry = (1, 0,1) r r ( x, y ) = ( x, y,5 − x) x2 + y2 ≤ (x,y) nằm elip D r curlF = (1, 0, − x) ( Nhận thấy hướng lên theo tham số chúng S tương ứng với định hướng C) Bây ta ứng dụng định lí Stokes, cuối chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân : ∫ C r r r r r F dr = ∫∫ curlF (rx × ry )dxdy D = ∫∫ (1, 0, − x ).(1, 0,1) dxdy = ∫∫ (1 − x) dxdy D =∫ 2π D ∫ 2π (1 − r cos θ )drdθ = ∫ − cos θ ÷dθ 2 = 9π Bài ĐỊNH LÍ STOKES Cho F trường véc tơ Cho S mặt định hướng, cho C đường cong ranh giới S, định hướng theo quy tắc bàn tay phải Khi : ∫∫ curl ( F ).dA = Ñ ∫ F dS S C Ví dụ Cho C đường cong xác định phương trình tham số x=0 (0 ≤ t ≤ 2π ) y = + cos t z = + 2sin t Phương trình tham số mô tả hình tròn bán kính phẳng yz Cho D đĩa mà ranh giới đường tròn cho trước Qua định lí Stokes : ∫ C ( x e5 z i + x cos yj + yk ) ds = ∫∫ curl ( x 2e5 z i + x cos yj + yk ).dA D Ta tính curl : i ∂ curl ( x 2e5 z i + x cos yj + yk ) = ∂x x e5 z Do ta phải tính ∫∫ D j k ∂ ∂ = (3i + x e5 z j + cos yk ) ∂y ∂z x cos y y (3i + x 2e5 z j + cos yk ).dA Về mặt hình học tích phân tính Véc tơ dA điểm đĩa nằm trục x hướng dương ( Định lí Stokes sử dụng quy tắc bàn tay phải : Nếu bạn cuộn tròn ngón tay bàn tay phải theo hướng C, Sau ngón tay phải theo hướng dA) Do : ∫∫ D ( (3i + x 2e5 z j + cos yk ).dA = ∫∫ 3dA = × ( S D ) = 12π SD D diện tích đĩa D ) Bài Cho S bán cầu hình cầu đơn vị ∫∫ ( x e i − 3x e y Stokes để tính S y x2 + y2 + z = Sử dụng định lí j ).dA , dA véc tơ pháp tuyến lên Giải : Nếu ta muốn sử dụng định lí Stokes, ta phải xem trường véc tơ F công thức cho curl : x 3e y i − x e y j curl số i j k y z ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F curlF = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = z − y , x − z , y − x ÷ ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y F F F x Vì cần : ∂Fz ∂Fy − = x 3e y ∂y ∂z Fy Nếu ta đoán đùng : Fx i ∂Fy ∂Fx ∂Fz − = −3 x 2e y ∂z ∂x ∂x − ∂Fx =0 ∂y không, không khó để tìm j Fz = x 3e y k curl ( x e k ) = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = x 3e y i − 3x 2e y j y 0 x 3e y ∫∫ ( x e i − 3x e y Qua định lí Stokes, ta kết luận đường cong ranh giới mặt S y S y j ).dA = Ñ ∫ x e dz, C C Từ S bán cầu hình cầu đơn vị, C vòng tròn đơn vị phẳng xy Theo quy tắc bàn tay phải, C có hướng ngược chiều kim đồng hồ (nó chiều kim Ñ ∫ x e dz y C đồng hồ ta bắt đầu với dA xuống) Sau không, từ z không thay đổi suốt trình đường tròn Ta kết luận Bài Ta muốn tính Ñ ∫ Fdr , C F = yi + xz j − zy k z = −3, x + y = Và C đường tròn phẳng , định hướng ngược chiều kim đồng hồ Áp dụng định lí Stokes, tìm bề mặt S thích hợp, có ranh giới C Bề mặt tự nhiên trường hợp đĩa tròn, ta chọn véc tơ pháp tuyến n k, đồng hồ, qua định lí Stokes ta có : ∂(S ) = C x + y ≤ 4, z = −3 Với S có hướng ngược chiều kim Ñ ∫ F dr = ∫∫ (curlF n)dS C S Từ ∂ ∂ curl ( F ) n ( xz ) − ( y ) = z − ∂y ∂x Ta có Ñ ∫ ( F dr ) = ∫∫ ( z C S − 1)dS = ∫∫ ( −28)dS = −28(4π ) S Bài Tính tích phân mặt : Trong công thức Ñ ∫ F dr = ∫∫ curl ( F ).ndS C S Mối quan hệ C S ∂ ( S1 ) = ∂ ( S2 ) = C ∫∫ S1 ∂(S ) = C Do đó, S1 S2 hai bề mặt, F xác định miền gồm có curl ( F ).ndS = Ñ ∫ F dr = ∫∫ curl ( F ).ndS C S2 điều hữu ích việc tính toán Ta xem xét ví dụ Hãy tính : ∫∫ (∇u × ∇v).ndS S Trong u = x3 − y + z S phần bán cầu v = x+ y+z , x + y + z = 1, z ≥ n véc tơ pháp tuyến đơn vị đến S, với z không âm, từ định lí Stokes ta có ∫∫ (∇u × ∇v).ndS = Ñ ∫ (u∇v)dr S C (∇u × ∇v) = curl (u∇v ) , qua = ∫∫ (∇u × ∇v ).ndS C Trong ta chọn S1 { } D = ( x, y , z ) | x + y = a , z = đĩa tròn Do ∫∫ (∇u × ∇v).ndS = ∫∫ S Từ (∇u × ∇v).kdxdy D (∇u × ∇v).k = x + y ∫∫ C , ta có (∇u × ∇v).ndS = ∫∫ x + y ≤ a2 = 3∫ a = ∫ 2π 3( x + y )dxdy r dxdy 3π PHẦN III KẾT LUẬN 1.Một số kết Đề tài phát biểu chứng minh định lí Stokes, đồng thời trình bày số ứng dụng định lí Những đóng góp đề tài : - Phát biểu chứng minh định lí Stokes - Trình bày phương pháp ứng dụng định lí Stokes để việc tính toán tích phân số dạng bề mặt khác trở nên dễ dàng Lời tựa Do thời gian tài liệu nghiên cứu có hạn nên đề tài phải dừng lại mức độ xét số ứng dụng định lí Stokes Em hi vọng tương lai nghiên cứu sâu vấn đề Tuy thân có nhiều cố gắng đề tài khó tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài Đặc biệt làm đề tài em nhận dạy quý báu Tiến sĩ Lê Văn An, giảng viên môn Giải tích cổ điển Em xin chân thành cảm ơn ! [...]... số kết quả chính Đề tài đã phát biểu và chứng minh định lí Stokes, đồng thời trình bày được một số ứng dụng cơ bản của định lí này Những đóng góp chính của đề tài là : - Phát biểu và chứng minh được định lí Stokes - Trình bày phương pháp ứng dụng định lí Stokes để việc tính toán tích phân trong một số dạng bề mặt khác nhau trở nên dễ dàng hơn 2 Lời tựa Do thời gian và tài liệu nghiên cứu có hạn nên đề... C) Bây giờ ta ứng dụng định lí Stokes, cuối cùng chuyển sang tọa độ cực để tính tích phân : ∫ C r r r r r F dr = ∫∫ curlF (rx × ry )dxdy D = ∫∫ (1, 0, − x ).(1, 0,1) dxdy = ∫∫ (1 − x) dxdy D =∫ 2π 0 D ∫ 3 0 2π 9 (1 − r cos θ )drdθ = ∫ − 9 cos θ ÷dθ 0 2 = 9π Bài 4 ĐỊNH LÍ STOKES Cho F là một trường véc tơ Cho S là một mặt định hướng, và cho C là đường cong ranh giới của S, định hướng theo... 9dt Như vậy 2π ∫ −C ∫ C Và do đó F dr = ∫ 9dt = 18π 0 F dr = − ∫ F d = −18π 2.1.5 Giả sử −C S1 và S2 là hai mặt định hướng, phần C như là ranh giới Bạn có thể ∫∫ curlF dS nói gì về S1 ∫∫ curlF dS ? và S1 S2 S2 Nếu ranh giới của và đều là C (với cùng một định hướng), sau đó hai ứng dụng của định lí Stokes có nghĩa là: ∫∫ curlF dS = Ñ ∫ F dr = ∫∫ curlF dS C S1 S2 Vậy là cả hai tích phân mặt phải giống... 0 Nó trở nên khá dễ dàng 2.1.4 Giả sử phẳng (5,0, 0) z = 4, F = ( − y , x, z ) và S là một phần của hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 25 dưới định hướng với bên ngoài – chỉ bình thường (để bình thường tại ∫∫ curlF dS i là ) Tính tích phân mặt S sử dụng định lí Stokes Một lần nữa ta tích hợp tích phân đường trên đường ranh giới C, chứ không phải là tích phân đường trên mặt S Đường ranh giới là đường tròn (hoặc... F = yi + xz 3 j − zy 3 k z = −3, x 2 + y 2 = 4 Và C là đường tròn trong phẳng , định hướng ngược chiều kim đồng hồ Áp dụng định lí Stokes, tìm một bề mặt S thích hợp, có ranh giới là C Bề mặt tự nhiên nhất trong trường hợp này là những đĩa tròn, nếu ta chọn véc tơ pháp tuyến n là k, khi đó đồng hồ, và qua định lí Stokes ta sẽ có : ∂(S ) = C x 2 + y 2 ≤ 4, z = −3 Với S sẽ có hướng ngược chiều kim Ñ... Nếu và là hai bề mặt tương đương như xác định đúng , và nếu là một hàm khả vi, liên tục, trường xác định trong một không gian bao gồm các bề mặt và không gian ba chiều lần, ℜ nằm giữa hai bề mặt, sau đó áp dụng định lí Stokes hai ∫ ∇ × F ( X ).ν dσ = ∫ F ( X ).dX = ∫ ∇ × F ( X ).v dσ 1 2 ∑1 C ∑2 v1 , v2 Cho , hướng dương ,tương ứng là các pháp tuyến đơn vị đến mỗi trường hợp liên quan để lựa chọn định. .. điển hoặc com pắc huỳnh quang) Giả ( F = ez sử 2 −2 z 2 x,sin( xyz ) + y + 1, e z sin( z 2 ) ) ∫∫ curlF dS Tính tích phân mặt S sử dụng định lí Stokes Tính: Quan điểm của vấn đề này là sử dụng định lí Stokes để tránh việc tính tích phân mặt S và thay thế tính tích phân đường trong vòng tròn đơn vị C trog phẳng xy Ta dùng tham số r (t ) = ( cos(t ),sin(t ), 0 ) , như vậy F (r (t )) = ( cos(t ),sin(t... dσ ∑1 ∑2 Cuối cùng hai tích phân phải bằng nhau, như trước 2.3 Tính tích phân trong một số bề mặt khác 2.3.1 Khẳng định của định lí Stockes ¡ Cho S là một bề mặt trong 3 và cho ∂S là biên của S, định hướng theo quy ước thông thường Đó là, “nếu di chuyển một mình ∂S và đặt xuống bên trái chúng tôi, ta nhấn mạnh bên cạnh bề mặt, nơi các vec tơ pháp tuyến đi ra” Cho vec tơ được xác định là lân cận của S... đây là hướng đi lên của s, đó là trường hợp định hướng nhất định của C) Như vậy , bằng định lí Stokes ta có : ∫ C r r r r r r F dr = ∫∫ curlF dS = ∫∫ (0, 0, e x ).(rx × ry )dxdy S D 1 = ∫∫ (0, 0, e x ).(1, ,1)dxdy D 2 =∫ 2 0 ∫ 2− 2 x 0 = 2e − 4 1 e x dydx = ∫ (2 − 2 x)e x dx 0 Bài 3 Sử dụng định lí Stokes để tính ∫ C r F dr , tại x+ z =5 giao nhau của phẳng và hình trụ đông hồ khi nhìn từ trên xuống... biên của một tập hữu hạn các đường cong như vậy, định hướng, trong cùng một cách tương đối so với pháp tuyến tương ứng ν1 ( X ) và ν2(X ) trên ∑1 và ∑2 , tương ứng, theo quy tắc bàn tay phải Do đó nếu ta lấy ∑2 phiên bản định hướng trái dấu của cùng một bề mặt đương ∑ ∑1 và , chúng không tương Ví dụ Các bề mặt z = 1 − x2 − y 2 z = − 1 − x2 − y 2 và cùng định hướng để các bên đi lên của bề mặt (z hướng