Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (6)

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HK MƠN TỐN LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG CHƯƠNG III: GUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2) Các phương pháp tính nguyên hàm: a) Phương pháp đổi biến số: Định lí 1: Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C u = u(x) hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C Hệ quả: ∫ f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C a Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số u ( u = u(x)) , sau tính ngun hàm ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) b) Phương pháp nguyên hàm phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u=u(x) v=v(x) có đạo hàm liên tục K thì: ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) + ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx Chú ý: Cơng thức cịn viết dạng: ∫u.dv = u.v −∫v.du PHẦN 1: BÀI TẬP MẪU PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a, f(x)= x3 + cos x − c, f(x)= x − + ex 2 x 1+ x b, f(x)= x − x + d, f(x)= − e, f(x)= x x − 3e x ( − e −2 x ) cos x + + 5sin x x4 x f f(x)=tanx Bài Tìm nguyên hàm hàm số: 3x − x3 + f(x)= x2 (x ≠ 0), biết nguyên hàm x=1 Bài Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=sin2xcosx biết nguyên hàm π x= Bai Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x + cos x , biết π  F  ÷= 4 TÍCH PHÂN A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA- TÍNH CHẤT 1.Định nghĩa: “Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) b hàm số f(x), ký hiệu: ∫ f ( x) dx a b b Ta ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a ) Vậy: ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b ) − F ( a ) a 2.Tính chất: II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [α; β] cho ϕ(α) = a; ϕ(β) = b a ≤ ϕ(t) ≤ b với t thuộc [α; β] Khi đó: b ∫ a β f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ ' (t ) dt α b Chú ý Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Để tính ∫ f ( x) dx ta chọn hàm số a u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục [a; b] u(x) thuộc [α; β] Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x) Khi ta có: u (b ) b ∫ a f ( x) dx = ∫ u (a ) g (u ) du Phương pháp tính tích phân phần: Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b a a ' b ' ∫ u( x)v ( x) dx = (u( x)v( x)) a − ∫ u ( x)v( x) dx b Hay ∫ u dv = uv a b b a − ∫ v du ” a B BÀI TẬP PHẦN I: BÀI TẬP TỰ LUYỆN ∆:  x = x0 + ta1   y = y0 + ta2  z = z + ta  ∆: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 (nếu a1 ; a2 ; a3 khác 0) DẠNG 2: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ ∆' không gian → PP: - Xác định điểm cố định M0 (x0;y0; z0) vectơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) định điểm cố định - Tính → → M 0' ( x0' ; y0' ; z0' ) → vectơ phương a ' (a ' ; a ' ; a ' ) ∆ Xác ∆' → n = a ∧ a' - Dùng dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối ∆ ∆' → →  n = ∆ // ∆ ⇔  '  M ∉ ∆ '  → → n=0 ∆≡∆ ⇔  M ∈ ∆ ' ' ∆ cắt ∆ → → n≠0 ' ⇔ →  n M M 0' = ∆ ∆' chéo ⇔ n M M → ' ≠0 → → ' ∆ ⊥ ∆ ⇔ a a = ' DẠNG 3: Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng → PP: Cho đường thẳng d qua điểm M (x0;y0; z0) có vectơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) , cho mp (α ) có pttq Ax + By + Cz + D = → Gọi n ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến (α ) Để xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (α ) ta có cách sau: → → Cách Xét tích vơ hướng n a thay tọa dộ điểm M0 vào phương trình (α ) để kiểm tra, ta có trường hợp sau TH1  → → → n.a = ⇔d  M ∉ α ( )  TH2  → → → n.a = ⇔ d ⊂ (α)  M ∈ α ( )  → → TH3 n.a ≠ ⇔ → // (α ) d cắt (α ) → n = k a ⇔ d ⊥ ( α ) TH4 Cách Viết ptts dt d:  x = x0 + ta1   y = y0 + ta2  z = z + ta  - Thay x, y, z ptts vào pttq mp (α ) : Ax + By + Cz + D = ta A( x0 + ta1 ) + B ( y0 + ta2 ) + C ( z0 + ta3 ) + D = → AB = (2;3; 4) → → → A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C ( z0 + ta3 ) + D = → d1 n = a ∧ a1 = (0;0;0) = (1) Xét số nghiệm t pt (1) ta có t/hợp sau: TH 1: (1) vô nghiệm ⇔ d // ( α ) TH2: (1) có nghiệm t = t0 TH3: (1) có vơ số nghiệm ⇔d ⇔ TH4: (A; B; C) = k(a1; a2; a3) cắt (α ) điểm M ( x0 + t0 a1 ; y0 + t0 a2 ; z0 + t0 a3 ) d nằm (α ) ⇔d vng góc với (α ) DẠNG 4: Tính khoảng cách 4.1 Khoảng cách từ điểm A ( xA ; y A ; z A ) đến dt x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 ∆ hay mt + n = C1: - Viết ptmp (α ) chứa A vng góc với ∆ ∆ (α ) - Tìm giao điểm H ∆ ) = AH C2: - Lấy điểm M0 thuộc ∆ - Tính d(A; - Tính → → n = M0 A ∧ a → n - d ( A, ∆) = → a 4.2 Để tính khoảng cách đường thẳng ta thực bước sau: - Lấy M0 (x0;y0; z0) tùy ý - Khoảng cách (α ) ∆ ∆ mp (α ) // ∆ (α ) khoảng cách từ M đến 4.3 Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ' ta thực bước: - Viết ptmp (α ) chứa đt - Lấy M 0' ( x0' ; y0' ; z0' ) ∆ tùy ý - Khoảng cách M 0' đến (α ) ∆ ∆ và // ∆ ∆' ∆' ∆ ' khoảng cách từ điểm II BÀI TẬP MẪU 2.1 Viết ptts ptct đt d qua điểm A(1; 2; 3) , B(3; 5; 7) Giải: d qua điểm A, B nên có vtcp → AB = (2;3; 4) Vậy ptts d Ptct d  x = + 2t   y = + 3t  z = + 4t  x −1 y − z − = = 2.2 Xét vị trí tương đối đt d: d1 : x−3 y −2 z −6 = = d2 : x − y −1 z − = = d3 : x−3 y −2 z −6 = = d4 : x −1 y + z +1 = = 2 x −1 y +1 z − = = với đt sau: Giải: Ta có đt d qua điểm M0(1 ; -1 ; 5) có vtcp a) d1 qua điểm M1(3 ; ; 6) có vtcp → → → M1 thuộc d ( Ta có −1 +1 − = = ) → d3 Vậy d ≡ d1 → → → −1 +1 ≠ ) Vậy d // d qua điểm M3(3 ; ; 6) có vtcp Ta có → a2 = (6;9;3) n = a ∧ a2 = ( 0;0;0 ) = M2 không thuộc d ( c) → a1 = (4;6; 2) → qua điểm M2(4 ; ; 3) có vtcp d2 a = (2;3;1) n = a ∧ a1 = ( 0;0;0 ) = Ta có b) → → → → → n = a ∧ a3 = ( 12; −6; −6 ) ≠ M M = (2;3;1) → a3 = (4;3;5) → n M M = 24 − 18 − = Vậy d cắt d3 d) d4 qua điểm M4(1; - ; - 1) có vtcp Ta có → → → a4 = (3; 2; 2) → n = a ∧ a4 = ( 4; −1; −5 ) M M = (0; −1; −6) → n M M = + + 30 ≠ Vậy d d4 chéo 2.3 Xét vị trí tương đối đt d:  x = + 2t   y = + 4t z = + t  với mp sau ( α1 ) : x = y = z = = ( α2 ) : 4x + y + 2z − = ( α3 ) : x − y + 2z + = ( α ) : x − y + z − 10 = Giải: Đt d qua điểm M0(1 ; ; 3) có vtcp → a = (2; 4;1) Các mp ( α1 ) ( α ) ( α ) ( α ) có vtpt → → → → n1 = (1;1;1), n2 = (4;8; 2), n3 = (1; −1; 2), n4 = (2; −2; 4) Ta có: →→ a) n1 a = + + = ≠ , b) n2 = a , c)  → → n a = − + =  ,  M ∉ ( α ) → → d cắt ( α1 ) d vng góc với ( α ) d // ( α ) d)  → → n a = −8 + =  ,  M ∈ ( α ) 2.4 Cho đt d: d nằm mp ( α ) x −1 y +1 z = = −1 mp ( α ) : x + y + z − = Chứng minh d cắt (α ) tìm tọa độ giao điểm Giải: Ptts d  x = + 2t   y = −1 + t  z = −t  Thay x, y, z pt vào pttq (α ) ta được: (1+ 2t) + 2(-1 + t) + (-t) -1 = ⇔ 3t (1) = ⇔ t = 2/3 Pt (1) có nghiệm t0 = 2/3, d cắt (α ) điểm 2  7 2 M 1 + ; −1 + ; − ÷hay M  ; − ; − ÷ 3  3 3 2.5 Tính khoảng cách từ điểm A(1 ;2 ;1) đến đt d: x + y −1 z +1 = = −2 Giải: Gọi (α ) mp qua điểm A vng góc với d Ta có → → nα = a∆ = (1; 2; −2) Vậy pt (α ) 1(x - 1) + 2(y-2) - 2(z - 1) = Hay x + 2y -2z - = Ptts d  x = −2 + t   y = + 2t  z = −1 − 2t  Thay x, y, z vào pt (α ) ta được: (-2 + t) + 2(1+2t) - 2(-1 -2t) - = ⇔ 9t ⇔ -1=0 t = 1/9 Vậy (α ) cắt d điểm 2   17 11 11  H  −2 + ;1 + ; −1 − ÷hay H  − ; ; − ÷ 9 9 9   9 Ta có 2  17   11   11  d ( A, ∆) = AH =  − − 1÷ +  − ÷ +  − − 1÷   9    = 15 5 = x −1 = 2.6 Cho mp (α ) : 3x - 2y - z + = đt d: y −7 z −3 = a) Hãy chứng tỏ d // (α ) b) Tính khoảng d (α ) Giải: a) Ta có → nα = (3; −2; −1) → a∆ = (2;1; 4) d qua điểm M0(1; 7; 3) Ta có b) → → nα a∆ = − − = d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) = M0 ∉( α ) Vậy d // (α ) 3.(1) − 2.(7) − (3) + + +1 2.7 Tính khoảng cách hai đt d: = 14  x = + 2t   y = −1 − t z =  d’: x −2 y + z −3 = = −1 1 Giải: Gọi (α ) mp chứa d // với d ’ Hai vectơ có giá song song nằm (α ) là: → → a = (2; −1;0); a ' = (−1;1;1) Suy (α ) có vectơ pháp tuyến → → → n = a a ' = (−1; −2;1) Mp (α ) chứa d nên qua điểm M0 (1;-1;1) Pt (α ) có dạng: -(x - 1) - 2(y + 1) + 1(z - 1) = d’ qua điểm M 0' (2; −2;3) ⇔x + 2y - z + = Vậy ( ) ( ) d d , d ' = d M 0' , ( α ) = 2− 4−3+ 1+ +1 = = III BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.1 Viết ptts, ptct đt d trường hợp sau: a) d qua điểm A(1;2;3) có vtcp → a = (3;3;1) ; b) d qua điểm B(1;0;-1) vng góc với mp (α ) : 2x - y + z + = c) d qua điểm C(1;-1;1) D(2;1;4) 3.2 Viết pt đt d nằm mp (α ) : y + 2z = Và cắt đt x = 1− t  d1 :  y = t  z = 4t  ; x = − t'  d :  y = + 2t ' z =  3.3 Xét vị trí tương đối cặp đt d d’ cho pt sau: x +1 y −1 z + = = a) d: b) x = t  d :  y = 1+ t z = − t  c)  x = −t  d :  y = 3t  z = −1 − 2t  và d' : x −1 y − z − = = 2  x = + 2t '  d ' :  y = + 2t '  z = 10 − 2t '  x =  d : y =  z = 5t  ' 3.4 Tìm a để đt sau song song x = + t  d :  y = at  z = −1 − 2t   x = + 2t '  d ' :  y = a + 4t '  z = − 2t '  3.5 Xét vị trí tương đối đt d với mp (α ) trường hợp sau: a) x = t  d :  y = + 2t z = − t  b) x = − t  d : y = t z = + t  (α ) : x + z + = c) x = − t  d : y = −t  z = + 2t  (α ) : x + y + z - = (α ) : x + 2y + z - = 3.6 Tính khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đt 3.7 Cho đt ∆: ∆: x −1 y z = = 2 x + y +1 z +1 = = Và mp (α ) : 2x - 2y + z + = a) Chứng minh ∆ // ( α ) b) Tính khoảng cách (α ) ∆ 3.8 Tính khoảng cách cặp đt d d’ trường hợp sau:  x = − 3t '  d ' :  y = + 3t '  z = 3t '  a) x = 1+ t  d :  y = −1 − t z =  b) x = t' x = t   d :  y = − t d ' :  y = − 3t '  z = −1 + 2t  z = −3t '   3.9 Cho đt ∆: x −1 y + z − = = −2 ∆' : x + y −1 z +1 = = −4 −2 a) Xét vị trí tương đối b) Tính khoảng cách ∆ ∆ và 3.10 Cho điểm M(2; -1; 1) đt ∆: ∆' ∆' x −1 y +1 z = = −1 a) Tìm tọa độ điểm hình chiếu vng góc điểm M đt b) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua đt ∆ ∆ 3.11 Cho điểm M(1;-1;2) mp (α ) : 2x - y +2z + 12 = a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M mp (α ) b) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua mp (α ) 3.12 Cho đt d: x −1 y − z = = −1 x = 1+ t'  d ' :  y = − 2t ' z =  Lập pt đường vng góc chung d d’ 3.13 Cho hình lập phương ABCD.A’ B’ C’ D’ có cạnh a Bằng pp toạ độ tính khoảng cách đt CA’ DD’ 3.14 Cho mp (α ) : 2x + y + z - = đt d: x −1 y z + = = −3 Gọi M giao điểm d (α ) , viết pt đt nằm (α ) 3.15 Cho đt x −1 y + z − d1 : = = −3 ∆  x = + 3t  d :  y = + 2t  z = − 2t  a) Chứng minh d1 d2 nằm mp (α ) b) Viết pt (α ) qua M vuông góc với d MỘT SỐ ĐỀ THI TN THPT PHÂN BAN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG PHÂN BAN, NĂM 2006 I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ BAN (8,0 điểm) Câu (4,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = − x3 + 3x Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình − x + x − m = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành Câu (1 điểm) Giải phương trình 22 x + − 9.2 x + = Câu (1 điểm) Giải phương trình x2 − 5x + = tập số phức Câu (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a câu 5b Câu 5a (2,0 điểm) ln Tính tích phân J = ∫ ln (e x + 1)e x dx ex −1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 2006 y= x2 − 5x + x−2 biết tiếp tuyến Câu 5b (2,0 điểm) Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG B Thí sinh Ban KHXH&NV chọn câu 6a câu 6b Câu 6a (2,0 điểm) 1 Tính tích phân K = ∫ (2 x + 1)e x dx Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số độ x0 = −3 y= 2x + x +1 điểm thuộc đồ thị có hồnh Câu 6b (2,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(−1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) Chứng minh tam giác ABC vng Viết phương trình tham số đường thẳng AB Gọi M điểm cho góc với đường thẳng BC uuur uuuu r MB = −2 MC Viết phương trình mặt phẳng qua M vuông ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG PHÂN BAN, NĂM 2007 I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ BAN (8,0 điểm) Câu (3,5 điểm) Cho hàm số y = x − x + , gọi đồ thị hàm số (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm cực đại (C) Câu (1,5 điểm) Giải phương trình log x + log (4 x) = Câu (1,5 điểm) Giải phương trình x2 − 4x + = tập số phức Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a câu 5b Câu 5a (2,0 điểm) Tính tích xdx phân J = ∫ x2 + 1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − x + 16 x − đoạn [1; 3] Câu 5b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (−1; −1; 0) (P): x + y – 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M song song với mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua điểm M vng góc với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm H đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) B Thí sinh Ban KHXH&NV chọn câu 6a câu 6b Câu 6a (2,0 điểm) Tính tích phân K = ∫ x ln xdx Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x − x + đoạn [0 ; 2] Câu 6b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E (1; 2; 3) mặt phẳng (a): x + 2y – 2z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc toạ độ O tiếp xúc với mặt phẳng (a) Viết phương trình tham số đường thẳng (D) qua điểm E vng góc với mặt phẳng (a) ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG PHÂN BAN, NĂM 2008, LẦN I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ BAN (8,0 điểm) Câu (3,5 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x − , gọi đồ thị hàm số (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình Câu (1,5 điểm) Giải phương trình x + 3x −1 = m 32 x +1 − 9.3x + = Câu (1 điểm) Tính giá trị biểu thức P = (1 + 3i ) + (1 − 3i ) Câu (2 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC 1) Chứng minh SA vng góc với BC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) A Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a câu 5b Câu 5a (2,0 điểm) 1 Tính tích phân I = ∫ x (1 − x3 ) dx −1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x + cos x đoạn π [0; ] Câu 5b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; −2; −2) (P): 2x −2y + z −1 = 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) cho (Q) song song với (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ điểm A đến (P) B Thí sinh Ban KHXH&NV chọn câu 6a câu 6b