http://toanlihoasinh.blogspot.com/ TIẾP CẬN BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC NHƯ THẾ NÀO? Đa phần học sinh cảm thấy ngại phải giải toán Bất Đẳng Thức lý sau : chương trình BDT dc dành tiết để giảng dạy , kiến thức chuẩn bị học sinh chưa tốt , BDT thuộc dạng toán không mẫu mực Người giải phải thực có kinh nghiệm xử lý Củng lý khiến BDT trở nên môn học gây cho học sinh nhiều hứng thú với cảm giác chinh phục Để giúp bạn học sinh ôn thi ĐH tốt , xin viết viết nhỏ ngày cuối tuần Hy vọng giúp bạn nhiều việc củng cố kĩ giải toán Các hướng tiếp cận trình bày thông qua lời giải VD cụ thể , qua bạn tự rút kinh nghiệm riêng Mình không áp đặt muốn áp đặt bạn học sinh Bài toán 1: Cho a,b,c>0 thõa mãn : a b c Tìm GTLN GTNN : a b c abc Phân tích : Bài toán cho dạng đối xứng , thông thường điều dẫn đến giá trị cực trị đạt biến nhau, biến Điều kiện đề cho tổng biến a,b,c gợi ý cho ta cách dồn biến a+b để thay a+b=3-c khảo sát Thêm ý ta tập trung nhìn vào biểu thức tổng a+b abc Như ta cần tìm liên hệ a+b ab ( ý em ko cần quan tâm c nhé, cuối ta dồn c nên ko cần làm c ) Nhớ lại có liên hệ tích tổng số không ? À có ab ( a b ) (3 c ) (1) 4 Từ phân tích ta giải sau : ( Chỉ trình bày vắn tắt lời giải) Ta có : P a b c abc (3 c ) c ab (2 c ) Áp dụng đánh giá (1) ta có : ( c 3c 18) P 2c 6c Giờ ta khảo sát hàm số c nhớ không quên c (0; 3) Lưu ý : Nếu đề cho có giả thiết tổng a+b+c nên cố rút biểu thức dạng a+b để từ đưa biến Bài toán tương tự : Cho số thực dương x, y , z 1;3 thõa mãn : x y z Tìm min,max : P x y z http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Hướng dẫn : Theo giả thiết ta có : xy 4(3 z ) ( x y ) 4(3 z ) xy (3 z ) Bây ta tìm chặn cho xy , để làm điều ta làm sau : Dễ thấy xy Nhưng để ý điều ko liên quan đến z nên anh sợ yếu ( Các em thử kiểm tra chặn đủ mạnh để giải chưa ) nên tìm chặt Ta có : ( x 1)( y 1) xy x y z OK , chặn dc em “xy” nghĩa ta chuyển đc z Vấn đề chặn tiếp em z Dễ thấy em z bị chặn Đến bằm chiu phang phập thoải mái nhá : P ( x y )(( x y ) xy ) z Chỉ việc thay đánh giá vào xy xong Không đến khó khăn phải không ? Ta tiếp Bài toán : Cho số thực dương a,b,c thõa mãn ac bc ab c Tìm GTNN : P a b c c2 b c c a a b a b2 Phân tích : Biểu thức P cho đẹp trái lại điều kiện cho có dạng thức rắc rối Ta mong muốn từ điều kiện suy tường minh Có lẽ cách xử lý điều kiện quen thuộc với đa phần học sinh ( ĐH A-2013, ĐH A-2009) Điều kiện cho dạng đồng bậc Nên ta nghĩ đến phép đặt : a=xc,b=yc (x,y>1) Thay vào giả thiết, ta có : x 1 y 1 xy ( ( x 1)( y 1) 1) xy x y xy xy Ta viết lại biểu thức P : P x y 1 y 1 x 1 x y x y2 Như anh giảng lần phân thức đối xứng, làm chắn tử số áp dụng BCS Vừa nhanh vừa sướng đê mê lại an toàn đảm bảo lời giải ( Vấn đề nằm kĩ biến đổi ) x2 y2 1 ( x y )2 1 P 2 xy x xy y x y ( x y ) xy xy x y xy x y xy Yeah đến ok Có cảm giác yêu la ))) Trước chuyển sang số em đọc kĩ số thực hành giải toán sau : http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Bài toán : Cho a,b,c dương thõa mãn : a b c Tìm GTNN biểu thức : T ( a c ) ab bc ca ac ( a b c ) Bài toán 3: Cho số thực thay đổi x,y,z thõa mãn : x y z 1625 xy 3 5 Tìm GTNN biểu thức : P ( x y ) z xy 10( xy yz zx ) Phân tích : Bài toán có hình thứ phát biểu rắc rối Nhưng ý quan sát ta tìm đc điểm mấu chốt Để ý BDT đối xứng với biến x,y Nên dự dấu xảy x=y ( x y)2 Nên ta mạnh dạn đánh giá : x y P ( x y ) z xy 10( xy yz zx ) ( x y ) z xy 10( xy yz zx ) 10 2 xy yz zx 10( xy yz zx Đến ok Bài : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1 Tìm giá trị nhỏ P a b b c c a a b3 c a b c Lời giải Đặt x ; y ; z xyz c a b Vì abc=1 nên ta biến đổi P thành P x y z xy yz zx Ta có 6 xy yz zx xy xy 2 x y y z z x yz zx x y y z z x xyz yz zx x y y z z x xyz Áp dụng BĐT AM-GM ta được: http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ ( x y z )( xy yz zx) ( x y z ) xy yz zx x y y z z x xyz 27 2 2 Suy P x y z 2 3 3 3 Đặt t x y z ( t 3) P t ( x y z )3/2 t 3/2 Đến khảo sát hàm số f (t ) t 3 ; t dùng BĐT AM-GM ta t 3/2 thu P 3 Đẳng thức xảy a=b=c=1 Vậy giá trị nhỏ P Lưu ý : Điều cần lưu ý phép đặt để khử điều kiện tích Trong số trường hợp , ta phải cM Biểu thức dương mà không tìm cách đưa dạng phương hóa ta thực hành Các em theo dõi VD sau : Bài toán 5: Cho a,b,c thực Chứng minh b2 a c2 b2 a c 2a 2b 2c Lời giải BĐT tương đương với 2b 2a 2c 2b 2a 2c 2b 2c 2a 0 2a 2b 2c 2a 2b 2c BĐT hiển nhiên theo AM-GM Cộng thêm vào lượng xác định ( số ) kĩ thuật hay áp dụng gặp dạng Bài toán 6: Cho a, b, c số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh 3(a4 + b4 + c4) + 33 ≥ 14(a2 + b2 + c2) Lời giải http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Cách Ta sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh toán Bằng cách đặt F( a, b, c) = 3(a4 + b4 + c4) - 14(a2 + b2 + c2) + 33, ta chứng minh F( a, b, c) ≥ Thật vậy, không tính tổng quát toán, ta giả sử c ≥ b ≥ a đặt x = (b+c)/2 ≥ Ta có F( a, b, c) - F( a, x, x) = 3(b4 + c4 - 2x4) - 14(b2+c2-2x2) = 3((b2+c2)2- 4x4) + 6(x4 - b2c2) - 14(b2+c2-2x2) = (b2+c2-2x2)(3(b2+c2+2x2) - 14) + 6(x2-bc)(x2+bc) Tuy nhiên, ta lại có b2 + c2 - 2x2 = 2(x2 - bc) = (b-c)2/2 nên F( a, b, c) - F( a, x, x) = (1/2)(b-c)2[3(b2+c2+2x2) - 14 + 3(x2+bc)] = (1/2)(b-c)2[3(b+c)2 + 6x2 + 3(x2-bc) - 14] = (1/2)(b-c)2[3(x2-bc) + 18x2 - 14] ≥ Như vậy, ta chứng minh F( a, b, c) ≥ F( a, x, x) Công việc lại chứng minh F(a, x, x) ≥ đủ Tuy nhiên, việc làm đơn giản cần thay a = - 2x vào F(a, x, x) số phép tính đơn giản ta thấy F(3 - 2x, x, x) = 6(x - 1)2(3x-5)2 ≥ Như vậy, bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét Nếu xem xét kỹ cách chứng minh, ta thấy bất đẳng thức với a, b, c số thực Trong trường hợp này, ta tìm trường hợp khác để xảy dấu bằng: a = -1/3, b = c = 5/3 Cách Dùng bất đẳng thức hàm lồi BĐT Karamata) Không tính tổng quát, giả sử a b c Đặt f(x) = 3x4-14x2, x [0;3], f’’(x)= 36x2-28 Như f"(x) ≥ x f'(x) ≤ x Xét hai trường hợp: ab 3c TH1: Nếu b a b , suy f(a)+f(b) f ( ) =2f ( ) 3 2 c 4 c Do ta cần chứng minh 3c -14c + 3 14 33 Tương đương với: (c-1)2(27c2+18c+3) (đúng) Xảy đẳng thức a = b = c = 7 TH2: Nếu b c b a đó: 3 Bài giảng tiếp tục update buổi học khóa học : Kĩ Giải Đề thi Đại Học môn Toán http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ (c b) (c b) (( c b) 7 3 c 7 ) cb 3 7 v= Áp dụng bất thức Karamata cho 3 7 hàm f(x) = 3x4 - 14x2 lồi ; ta có f(b)+f(c) f(u)+f(v) 3 Nên (c, b) (u , v ) u= (c b) Do ta cần chứng minh f(u)+f(v)+f(a)+33 v , từ quay trở lại TH1 Chứng minh hoàn tất http://toanlihoasinh.blogspot.com/