BẤT ĐẲNG THỨC Olympic 30-4 Toán 10

Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh Tuyển tập BĐT - Cực Trị trong các Đề Thi chính thức và đề nghị OLYMPIC Toán Học 10 Bài 1: ( THPT Quốc Học Huế).Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện ax  by  3 Tìm giá trị nhỏ F  a 2  b 2  x 2  y 2  bx  ay Giải: 2 2 � b� � a� 3 Ta có: F  �x  � �y  � (a 2  b 2 ) � 2� � 2� 4 �b a � , () : ax  by  3 Ta có: Đặt: M  ( x; y ), A  � ; � �2 2 � nhất của biểu thức: 2 2 � b� � a� MA2  �x  � �y  � � 2� � 2� 3 a  b2 Dấu ‘=’ xảy ra khi M là hình chiếu của A trên () 2 Mà M �( ) nên MA � d ( A; )   2 2 3 3 3 3 Suy ra F � 2  ( a 2  b 2 ) �2 2 (a 2  b2 )  3 2 2 a b 4 a b 4 � 6 2� Vây MinF  3 đạt được chẳng hạn khi (a; b; x; y )  � � 2;0; 2 ; 2 � � � � x , y , z Bài 2: (THPT Chu Văn An-Ninh Thuận).Cho dương.Chứng minh rằng: x 25 y 4z    2 y z z x x y Giải: b  c  a � �x  2 a  yz � � a  cb � � b  z  x  �y  Đặt: � 2 � � c  x y � � abc �z  2 � �a, b, c  0 � bc  a � x , y , z Do dương  � (1) �a  c  b � �a  b  c Khi đó ta có: x 25 y 4z b  c  a 25(a  c  b) 4(a  b  c )      y z z x x y 2a 2b 2c 5 �b 25a � �c 2a � �25c 2b � �  (AM-GM) � �  � �  � 15 �2  2.1  2.5  15 c � 2 �2a 2b � �2a c � �2b �b 25a �2a  2b b  5a � � a b c a  2c �c 2a �  � c  2a     Đẳng thức xảy ra khi �  1 5 2 5 �2a c � 5c  2b � �25c 2b �b  c �  b  a  2c  a  c mâu thuẫn với (1) 1 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh  Dấu ‘=’ không xảy ra x 25 y 4z    2 (Dpcm) Vậy yz zx x y Bài 3: (THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang).Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn : 4 �a �b �c  0 � � 3abc �min{6 a  8 b  12 c;72} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a 2  b 2  c 2  a  b  c � � 2 ab �min{3a  4 b; 24} � Giải: 4 �4 3 2 � �4 3 � 4  3  2  c �   � (b  c ) �  � (a  b) a �a b c � �a b � Ta có: �c.3 3 24 12  (b  c).2  (a  b) �3c  2(b  c)  (a  b)  a  b  c abc ab � a  b  c �9 (1) a  4; b  3; c  2 Dấu ‘=’ xảy ra khi �42 32 22 � �42 32 � 2 42 42  32  2 2  c 2 � 2  2  2 � (b 2  c 2 ) � 2  2 �  (a  b 2 ) 2 c � a �a b �a b � 42 32 2 2 4 3 3 2 4 2 12c  6a  8b Ta lại có: 2  2  2 �    �3 a b c a b b c a c abc 2 2 42 32 1 �4 3 � 1 �4b  3a �  � �  � � ��2 a 2 b 2 2 �a b � 2 � ab � Suy ra: 42  32  22 �3c 2  2(b2  c 2 )  ( a 2  b2 )  a 2  b2  c 2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: P �38 Dấu ‘=’ xảy ra  a  4, b  3, c  2 Vậy MaxP  38 Đạt khi a  4, b  3, c  2 �x  1; y  2; z  3 � Bài 4: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Khánh Hòa) Cho �1 2 3 Chứng minh rằng: �x  y  z  2 � x  y  z � x  1  y  2  z  3 Giải: x 1 y2 z 3  y  z Ta có: x  1  y  2  z  3  x x y z Theo BĐT BCS suy ra: x 1 y  2 z  3 x 1  y  2  z  3 � x  y  z   x y z �1 2 3 � � x 1  y  2  z  3 � x  y  z 3  �   � �x y z � � x 1  y  2  z  3 � x  y  z (Dpcm) �a 2  b 2  1 Bài 5: (THPT Chuyên Tiền Giang-Tiền Giang) Cho các số thực a,b,c,d thỏa: � cd 3 � 96 2 Chứng minh rằng: ac  bd  cd � 4 Giải: Goi M (a; b), N (c, d ) 2 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 2 2 2 2 Vì a  b  1 nên điểm M nằm trên đường tròn (C ) : x  y  1 Vì c  d  3 nên N nằm trên đường thẳng  : x  y  3  0 Ta có: MN 2  (c  a ) 2  (d  b) 2  a 2  b 2  c 2  d 2  2ac  2bd  a 2  b 2  (c  d )2  2cd  2ac  2bd  10  2(ac  bd  cd ) MN 2 Suy ra: ac  bd  cd  5  2 Kẻ OH  , OH �(C )  K Ta thấy MN �HK � ac  bd  cd �5  HK 2 2 � 2 2 � �3 3 � , H � ; �nên HK 2  11  6 2 Do K � �2 ; 2 � � 2 � � �2 2 � 11  6 2 9  6 2 Suy ra ac  bd  cd �5  (Dpcm)  4 4 Bài 6: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP>Hồ Chí Minh).Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  1  2(ab  bc  ca ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  9(a 2  b 2  c 2 )  2ab  2bc  14ca Giải: x  b  c  a � yz zx x y � ;b  ;c  Đặt: �y  c  a  b  x, y , z  0; a  2 2 2 �z  a  b  c � Ta có: a 2  b2  c2  1  2(ab  bc  ca) 2 2 2 �y  z � �z  x � �x  y � �y  z z  x z  x x  y x  y y  z � ��   � � � � � 1  2 � � 2 2 2 2 2 � �2 � �2 � �2 � �2 � xy  yz  zx  1 2 2 2 � zx yz x y yz �y  z � �z  x � �x  y �� y  z z  x P  9� 2  14  4( x 2  z 2 )  y 2 � � � � � �� 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 � � � � � �� � Với mọi   0 ta có: y2  y2   2 2  2 2 x  �2 xy;  z  2 zy và ( x  z ) �2 xz 2 2 2 2 2 2 � �2 2    �   ( x  z )  y 2 �2  xy  yz  zx   2 (1) � � � 2� 2 2 �  0 �  0 � �  33  1 17  33 2 � � ��  �  �  �  Ta đi tìm  thỏa mãn: �  2 4 4 2�  4 � � � � � 2  4  0 2 � �� 2 � �x, y, z  0 1 �xy  yz  zx  1 �x  z  � � 2 2  1 � 2 � 33  1 2 x  y 2 �� Suy ra (1) trở thành: P � Dấu ‘=’ xảy ra khi � 2 2 � �y  2 z 2  y 2 � � 2 2  1 � � �x  z Vậy MinP  33  1 2 3 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 2 2 Bài 7: (THPT Chuyên Bến Tre-Bến Tre).Cho x  y  xy  1 Tìm Min và Max của biểu thức: M  x4  y 4  x2 y 2 Giải: 2 2 � 1  x  y  xy �2 xy  xy  xy 1 � 2 y2  xy 1 � xy 1 Ta có: x �� 2 3 1  ( x  y )  3 xy �3 xy � Mặt khác,từ x 2  y 2  xy  1 � x 2  y 2  1  xy nên: M  ( x 2  y 2 )  3x 2 y 2  2 x 2 y 2  2 xy  1 Đặt t  xy  M  2t 2  2t  1 1 � � Vậy cần tìm Min và Max của tam thức bậc hai: f (t )  2t 2  2t  1 trên đoạn � ;1� �3 � � � 3 � �x  � 3 � � � �y   3 2 2 �x  y  xy  1 � � 3 � 1 1 � � � Min  f ( )  Ta có: Đạt được khi � 1 M � 3 9 � � 3 �xy  � 3 � � �x   � � � 3 � � � � �y  3 � � � 3 � � � � � 3 5 �x 2  y 2  xy  1 �x  1 3 � � 2 �� Ta có: MaxM  f ( )  Đạt được khi: � 1 2 2 �xy  � 3 5 3 � �y  � 2 Bài 8:(THPT Lê Quý Đôn-Quảng Trị).Cho hai số dương a và b.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x a  y  y a  x Với x, y là các số thực không âm và x  y  b Giải: Áp dụng BĐT BCS ta có: 2 2 �x  y � b 2 2 2 A  ( x ax  xy  y ay  xy ) �( x  y)( ax  ay  2 xy )  b( ab  2 xy) �ab  2b �  (2a  b) � �2 � 2 b b 4a  2b  A Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  2 2 b 4a  2b 2 A  x a  y  y a  x  ( x  y ) a  b a  x ( a  y  a )  y ( a  x  a )  b a �b a (Do x, y là các số thực không âm) � �x  0 � � �y  b � Dấu ‘=’ xảy ra khi � �x  b � � � �y  0 � Vậy MinA  b a Vậy Max A  Bài 9:(THPT Chuyên Lý Tự Trọng-Cần Thơ).Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : a 2  b 2  c 2 �0 abc Tìm Max của biểu thức: P  2a  b  c  a  3b  c  a  b  4c 4 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh Giải: Không mất tính tổng quát,chuẩn hóa a  b  c  1 Khi đó ta có: 1 P a  1  2b  1  3c  1 Đặt: m  a  1  2b  1  3c  1, c  a  1, y  2b  1, z  3c  1 Suy ra: m 2  4  2( xy  yz  zx)  b  2c �4  2( xy  yz  zx)  2( xy  yz  zx) �m 2  4 (1) Ta có: 2  ( x  1)( y  1)  (y 1)(z  1)  (z  1)(x  1)  �0 � 2( xy  yz  zx)  4m  6 �0 � 2( xy  yz  zx) �4m  6 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: m 2 4� Dấu ‘=’ xảy ra khi a  1; b  c  0 m2 0 m 2 2  P 2 2 1 Vậy MaxP  2 2 Bài 10: (THPT Chuyên Thăng Long- Đà Lạt_Lâm Đồng).Xét các số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện 2 2 3 xyz  x  z  y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2  2  2 x 1 y 1 z 1 Giải: x z Ta có: xyz  x  z  y � xz    1 y y A 1 B C Vì x, y , z  0 nên tồn tại các góc A, B, C �(0;  ) sao cho A  B  C   và x  tan ,  tan , z  tan 2 y 2 2 Từ đó ta có: B 2 tan 2 2 3 2  P  A B C tan 2  1 tan 2  1 tan 2  1 2 2 2 A B C  2 cos 2  2sin 2  3cos 2 2 2 2 C  cos A  cos B  3sin 2  3 2 2 A B � 1 � C 1 2 A B  3 � sin  cos 3 � cos 2 � 3 2 � 2 3 1 A B 10 � P cos 2 3 3 2 3 �� � �A  B Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi � C 1 � sin  � 2 3 10 Vậy MaxP  3 Bài 11: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Dương).Chứng minh rằng nếu a, b, c �N * thỏa mãn phương trình: a n  b n  c n với n �N * thì min(a, b) �n Giải: Có thể giả sử a �b nên min  a, b   a Suy ra c  b Vậy c �b  1  c n �(b  1) n  b n  nb n 1   1  c n �b n  nb n 1  a n Bài toán được chứng minh 5 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 2 Bài 12: (THPT Bạc Liêu-Bạc Liêu).Cho hai số dương a, b thỏa a  b 2  1 Tìm giá trị lớn nhất của P  b(a  b) Giải: a  sin  � �� 0; �sao cho � Do a  0, b  0, a 2  b 2  1 nên tồn tại  �� Suy ra: b  cos  � 2� � 1 1 1 � � (sin 2  cos 2  1)   2 sin � 2  � 2 2 2 4� � �  5 �� � 0; �nên 0  2  � suy ra 0  sin � 2  ��1 Vì  �� 4� 4 4 � 2� �    1 2 Do đó: P �  Dấu ‘=’ xảy ra khi 2   �   4 2 8 2 2 P  cos  (sin   cos  )  sin  cos   cos 2   1 2  2 2 Bài 13: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định).Cho hai số thực dương a, b có a �3 và 2a  3b �12 Tìm Min của biểu thức: A  a a  b b Giải: Vậy MaxP  2 3 Do a � A 2 2 �a� �a � �b� 1 2 a  3 b � 12 � ; � � � �3� �3� � � �2� ��2 � � � � � �  a  b 3 3 3 3 �a� �b�  3 3�  2 2 � � �3� �2� � � � � � 3 3 3 � � a � � b �� �a� � 2 2� � �3� � � �2� �� (3 3  2 2) � �3� � � � � � �� � � � 3 2 2 � � � � a � � b ��� �1� � �2 2.2 � � �3� � � �2� ��� (3 3  2 2).1 2 � � � � ��� � � � �4 2  1 3  (3 3  2 2)  3 3  2 2 Vậy MinA  3 3  2 2 đạt được khi a  3; a3 � a b  ; 2a  3b  12 � � b2 3 2 � Bài 14: (THPT TX Sa Đéc-Đồng Tháp).Cho a  0; b  0; c  0 Chứng minh a 9b 16c    6 bc ca ab Giải: Có thể giải tương tự như Bài 2.Các bạn cũng có thể giải theo cách sau: a b c 3 10 Bài 15:Cho a, b, c  0, a  b  c  1 Chứng minh:    abc � 2 c a b 9(a  b 2  c 2 ) Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a a c a2 3a 3 (1)`   �3  3 c c b bc abc Tương tự: c c b 3c   �3 (2) b b a abc 6 Nguyễn Minh Đức-10A b b a 3b   �3 a a c abc K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh (3) a b c 1 Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta có:   �3 c a b abc a b c 3 1 8 1 8 2 10  3 abc  3  3  3 abc �   Suy ra:    abc �3 (*) c a b 3(a  b  c ) 3 3 abc 9 abc 9 abc 10 10 10 � 2 Mặt khác:  (**) 2 3 3(a  b  c ) 9( a  b 2  c 2 ) Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh 1 Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c  3 Bài 16: (THPT Quốc Học Huế-Thừa Thiên Huế).Xét a, b, c  0 tùy ý.Tìm giá trị lớn nhất của: abc (1  a)(1  a  b)(1  a  b  c) Giải: a b c 1 ;v  ;w  ;s  Đặt: u  1 a (1  a)(1  a  b) (1  a  b)(1  a  b  c) 1 a  b  c Khi đó ta có: u  v  w  s  1 và T 2  uvws T 4 �u  v  w  s � 1 Áp dụng BĐT AM-GM,ta có : T 2 � � � 4 � � 256 Dấu ‘=’ xảy ra khi : 1 16 T � 1 a � 3 � a b c 1 1 � 2     �� b 1  a (1  a)(1  a  b) (1  a  b)(1  a  b  c) 1  a  b  c 4 � 3 c2 � � � 1 Vậy MaxT  16 Bài 17 : (THPT Chuyên Bến Tre-Bến Tre).Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn nhỏ nhất của biểu thức : T  a  b  c Giải : 3 2 1    1 nên : a b c T  abc 3 2 1  (a  b  c)(   ) a b c 3b 2a 3c a b 2c       6 a b a c c b 3 2 1    1 Tìm giá trị a b c Vì �2 6  2 3  2 2  6  3  2( 2  1)  ( 2  1) 2    3  2 1 2 Dấu ‘=’ xảy ra khi : 7 Nguyễn Minh Đức-10A �3b 2a �a  b � � � � ac 3 a  3 3  6 �3c  a � � �a c � � �� bc 2 �� b  2 2  6 � �b  2c �3 � 2 1 c  1 2  3 �c b �   1 � �3 2 1 �c 3 c 2 c �   1 �a b c Vậy MaxT    3  2 1 K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 2 Bài 18 : (THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng).Cho a, b, c  0 : abc  1 Tìm GTLN của : 1 1 1 P 3 3 3  3  3 3 3 3 2a  b  c  2 a  2b  c  2 a  b  2c3  2 Giải : 1 1 �1 1 � � �  �,ta có : Áp dụng BĐT quen thuộc sau : a  b 4 �a b � 1 1 1� 1 1 �  3 3 � �3 3  3 3 � 3 3 3 3 3 2a  b  c  2 a  b  1  a  c  1 4 �a  b  1 a  c  1 � 1 1� 1 1 � � �3 3  3 3 � (1) 3 3 3 2a  b  c  2 4 �a  b  1 a  c  1 � Tương tự: 1 1� 1 1 � � �3 3  3 3 � (2) 3 3 3 a  2b  c  2 4 �a  b  1 b  c  1 � 1 1� 1 1 � � �3 3  3 3 � (3) 3 3 3 a  b  2c  2 4 �a  b  1 a  c  1 � Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta suy ra: 1� 1 1 1 � P� �3 3  3 3  3 3 � (*) 2 �a  b  1 b  c  1 a  c  1 � Mặt khác: Ta có: a 3  b3 �ab(a  b) � a3  b3  1 �ab( a  b)  abc � a 3  b3  1 �ab(a  b  c) 1 1 3 3 a  b  1 ab(a  b  c ) 1 c 3 3 a  b 1 a  b  c Tương tự: 1 a 1 b � ; 3 � 3 3 3 b  c 1 a  b  c c  a 1 a  b  c 1 1 1  3 3  3 3 �1 Suy ra: 3 3 (**) a  b 1 b  c 1 a  c 1 1 Từ (*) và (**) ta suy ra: P � Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c  1 2 1 Vậy MaxP  2 8 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 1 2007 c 1  � Bài 19:(THPT Chuyên Lý Tự Trọng-Cần Thơ).Cho 3số thực dương a, b, c thỏa: a  2 2008  b 2007  c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  (a  1)(b  1)(c  1) Giải: Đăt: x  a  1; y  b  1; z  c 1 Khi đó: 1 2007 c 1 1 2007 z 1 2007 2006  � �  � �   �1 (1) a  2 2008  b 2007  c x  1 2007  y 2006  z x  1 2007  y 2006  z Từ (1) và áp đụng BĐT AM-GM ta có: x 1 2007 2006 2007 2006  1 �  �2 x 1 x  1 2007  y 2006  z 2007  y 2006  z x 2007 2006 2 x 1 2007  y 2006  z Tương tự: y 1 2006 �2 2007  y x  1 2006  z  (2) (3) z 2007 1 �2 2006  z 2007  y x  1 Nhân vế theo vế (1),(2) và (3) ta có: xyz �8.2006.2007  32208336 (4) a 1 �x  2 � 1 2007 2006 1 � �    � �y  4014 � � b  4013 Dấu ‘=’ xảy ra khi: x  1 2007  y 2006  z 3 �z  4012 � c  4011 � � Vây MinP  32208336 Bài 20: (THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi).Chứng minh rằng: a, b thỏa mãn a  b  0, a �b ta có: 22007 (a 2008  b 2008 )  ( a  b) 2008 (1) Giải: 2008 2008 2008 a b �a  b � Ta có: (1) � � � 2 �2 � n a n  b n �a  b � Xét BĐT tổng quát sau: �� � (*) n �2 2 �2 � Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.Thật vậy: Với n  2 ,(*) luôn đúng.Dấu ‘=’ không xảy ra do a  b  0, a �b k k k �a  b � a  b Giả sử BĐT đúng với n  k tức là � � 2 �2 � Ta đi chứng minh BĐT đúng với n  k  1 k 1 k 1 k 1 �a  b � a  b Tức là chứng minh: � Thật vậy:  � 2 �2 � k 1 k k k �a  b � �a  b � a  b a  b a  b  � � � � 2 2 �2 � �2 � 2 Ta chỉ cần chứng minh: 9 Nguyễn Minh Đức-10A a k  b k a  b a k 1  b k 1  2 2 2 k k � a  b (a  b)  2a k 1  2b k 1  K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh  � a k 1  a k b  b k 1  b k a  0 � (a  b)(a k  b k )  0 (2) (2) đúng do a �b , a  b và a k  b k cùng dấu Bài toán được chứng minh Bài 20: (THPT Chuyên Trà Vinh-Trà Vinh).Cho 3 số thực dương thay đổi x, y , z thỏa mãn điều kiện: �1 �1 1 1 � 1 1� 24 � 2  2  2 ��1  2 �   � (*) y z � �x �x y z � Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P   30 x  4 y  2008 z 30 y  4 z  2008 x 30 z  4 x  2008 y Giải: 2 1 1 1 �1 1 � Ta có: � �۳ (1) � 0 2 x 3x 36 �x 6 � Dấu ‘=’ xảy ra khi x  6 Tương tự: 1 1 1 �  (2) 2 y 3 y 36 Dấu ‘=’ xảy ra khi y  6 1 1 1 �  (3) 2 z 6 z 36 Dấu ‘=’ xảy ra khi z  6 Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta được: 1 1 1 1 �1 1 1 � 1  2  2 � �   � 2 x y z 3 �x y z � 12 �1 1 1 � �1 1 1 � � 24 � 2  2  2 ��8 �   � 2 (4) y z � �x y z � �x Từ (*) và (4) ta suy ra: �1 1 1 � �1 1 1 � 1 1 1 1 8 �   � 2 �1  2 �   ��   � �x y z � �x y z � x y z 2 Áp dụng BĐT AM-GM cho 2042 số dương ta có: (5) 30 x  4 y  2008 z �2042 2042 x 30 y 4 z 2008 30 4 2008 1   �20422042 30 4 2008 (6) x y z x y z Nhân vế theo vế (5) và (6) ta được: �30 4 2008 � 2  30 x  4 y  2008 z  �   ��2042 x y z � � 1 1 �30 4 2008 � �   � (7) 30 x  4 y  2008 z 20422 �x y z � Tương tự: 1 1 �30 4 2008 � � (8) �   � 30 y  4 z  2008 x 2042 2 �y z x �  ۣ 10 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 1 1 �30 4 2008 � � (9) �   � 30 z  4 x  2008 y 2042 2 �z x y � Cộng vế theo vế (7),(8) và (9) ta suy ra: 1 �1 1 1 � 1 P� �   �� 2042 �x y z � 4084 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  6 1 Vậy MaxP  4084 Bài 21: (THPT Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk).Cho a, b, c là các số thực không âm.Chứng minh rằng: a3 b3 c3   �1 3 3 a 3  (b  c)3 b3   c  a  c3   a  b  Giải: Theo AM-GM với x �0 ta có: x2 2 1  x 3  (1  x)(1  x  x 2 ) �1  Áp dụng: a3  a 3  (b  c )3 Tương tự: b3 b3   c  a  3 c3 c3   a  b  3 1 a2 �  2 2 2 3 a2  b2  c2 �b  c � 1  1 �b  c � 1  b 2 c 1 � � � � a 2�a � �a � 1 b2 �2 a  b2  c 2 c2 �2 a  b2  c 2 1 � (1) (2) (3) Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta suy ra: a3 b3 c3   �1 (Dpcm) 3 3 a 3  (b  c)3 b3   c  a  c3   a  b  Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c Bài 22: (THPT Chuyên Thăng Long_Đà Lạt-Lâm Đồng).Cho số thực a �0 Chứng minh: 1 1 a 2  a 2   a 2   1  16a 2  9  16a 2 (n dấu căn) 2 8 Giải:   Đăt: x  a 2 , x  a 2  a 2 , , x  a 2  a 2   a 2 (với x  a 2  a 2   a 2 thì i là số dấu 1 2 n i căn) (1) Do a  0 nên ta có: xn  xn 1 Từ (1) suy ra: 1  1  4a 2 (1) 2 ( a1  a2 ) 2  (b1  b2 ) 2 � a12  b12  a22  b22 với a1 , a2 , b1 , b2 �R.,ta có: xn2  a 2  xn 1 � xn2  a 2  xn � xn2  xn  a 2  0 � xn  Áp dụng BĐT 2 1 9 1 �1 3 � 1  4a  �  � ( a  a) 2 �  a2   a2  16 16 4 �4 4 � Từ (1) và (2) ta suy ra: 2   1  16a 2  9  16a 2 (2) 11 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 1 1 1  16a 2  9  16a 2 4 xn  2 Hay 1 1 a 2  a 2   a 2   1  16a 2  9  16a 2 (Dpcm) 2 8 Bài 23: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước).Cho các số x, y , z là các số thực dương thỏa mãn: 3 x 2  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2 3 3 x  y  z  Chứng minh rằng:   � 2 4 yz  1 4 xz  1 4 xy  1 4 Giải: 1 3 3 *)Với a, b dương ta có: a 2  ab  b 2  (a  b)2  (a  b)2 � (a  b) Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b 4 4 3 2 *) Ta có BĐT quen thuộc: 4ab �(a  b) Áp dụng:    x 2  xy  y 2  4 yz  1  y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2  4 xz  1 4 xy  1 � 3 �x  y yz zx �   � � 2 �4 yz  1 4 xz  1 4 xy  1 � � 3 � x y yz zx �   � � 2 2 2 � ( y  z)  1  z  x   1  x  y  2  1� � � y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2 3 � x y yz zx �  � �   � (1) 2 2 4 xz  1 4 xy  1 2 � ( y  z)  1  z  x   1  x  y  2  1� � � Đặt a  x  y, b  y  z , c  z  x ta có: a, b, c  0 và a  b  c  3 Khi đó (1) trở thành: � x 2  xy  y 2  4 yz  1 x 2  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2 3�a b c �   � �2  2  2 � (2) 4 yz  1 4 xz  1 4 xy  1 2 � b 1 c 1 a 1� Ta có: �ab 2 a b c bc 2 ca 2 � 1 (a  b  c) 2 3    a  b  c    � 3  ( ab  bc  ca ) � 3   (3) �2 � 2 2 b2  1 c2  1 a2  1 2 6 2 �b  1 c  1 a  1 � Từ (2) và (3) ta suy ra: x 2  xy  y 2  4 yz  1 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2 3 3  � (Dpcm) 4 xz  1 4 xy  1 4 x 30 y 30 z 30 t 30 Bài 24: (THPT Chuyên Bạc Liêu-Bạc Liêu).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4  4  4  4 y z t x x , y , z , t x  y  z  t  2008 Trong đó là các số thực dương thỏa mãn: Giải: Áp dụng BĐT AM-GM cho 30 số dương ta có: 12 Nguyễn Minh Đức-10A x 30  4 y  25.502 �30 x y 4 50225 K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh y 30  4 z  25.502 �30 y z 4 50225 z 30  4t  25.502 �30 z t 4 50225 t 30  4 x  25.502 �30t x 4 50225 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có: x 30 y 30 z 30 t 30  4  4  4 �2008.50225 4 y z t x x 30 y 30 z 30 t 30 � 4  4  4  4 �4.50226 y z t x Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  x  t  502 Vậy giá trị Max cần tìm là 4.50226 Bài 25: (THPT Chuyên Huỳnh Thúc Kháng-Quảng Nam).Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác còn x, y , z là 3 số thực thỏa mãn ax  by  cz  0 Chứng minh rằng: xy  yz  zx �0 (1) Giải: ax  by Từ ax  by  cz  0 � z   c ax  by (1) � xy  ( x  y ) �0 � cxy  (ax  by )( x  y ) �0 � ax 2  xy (a  b  c )  by 2 �0 (2) c y  0 *.Xét thì (2)  ax 2 �0 suy ra (2) luôn đúng Dấu ‘=’ xảy ra khi: x  y  z  0 2 �x � x *.Xét y �0 thì (2) � a � �  a  b  c   b �0 y �y � (3) 2 �x � �x � x Xét tam thức bậc hai: f � � a � �  a  b  c   b y �y � �y � (a  0) Có:   (a  b  c) 2  4ab  a 2  b 2  c 2  (2ab  2bc  2ca ) (4) a , b , c Do là 3 cạnh của một tam giác: �a  b  c � a 2  2ab  b 2  c 2 � �2 � �b  c  a � � b  2bc  c 2  a 2 � a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca (5) � � c 2  2ca  a 2  b 2 �c  a  b � �x � Từ (4) và (5) suy ra:   0 � f � � 0 (do (a  0) )  (3) đúng �y � Vậy bài toán được chứng minh Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  z  0 Bài 26: (THPT Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên).Cho x, y , z là các số thực không âm bất kì.Tìm giá trị x2 y2 z2 P    lớn nhất của biểu thức: 4 x 3  3 yz  2 4 y 3  3 zx  2 4 z 3  3 xy  2 Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 4 x3  2  2( x 3  x 3  1) �2.3 3 x 3.x 3 1  6 x 2 Dấu ‘=’ xảy ra khi x  1 13 Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh Tương tự: 4 y 3  2 �6 y 2 Dấu ‘=’ xảy ra khi y  1 4 z 3  2 �6 z 2 Dấu ‘=’ xảy ra khi z  1 Nếu cả ba số x, y , z đều bằng 0 thì P  0 Nếu hai trong ba số x, y , z bằng 0 ,chẳng hạn y  z  0 thì x2 1 P 3 � 4x 1 6 Dấu ‘=’ xảy ra khi x  1; y  z  0 Nếu một trong ba số bằng 0,chẳng hạn z  0, thì x2 y2 1 P 3  3 � 4x  2 4 y  2 3 Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y  1; z  0 Nếu cả ba số đều dương ta có: � � 2 2 2 � x y z 1 1 1 1 � � P� 2  2  2  �   6 x  3 yz 6 y  3 zx 6 z  3 xy 3 �2  yz 2  zx 2  xy � � x2 y2 z2 � � � yz zx xy Đặt: a  2 , b  2 , c  2 thì a, b, c  0 và abc  1 Khi đó: x y z 1� 1 1 1 � 1 �12  4( a  b  c)  ab  bc  ca � P� �   (2) � 3 �2  a 2  b 2  c � 3 � 9  4( a  b  c)  2( ab  bc  ca) � � � Áp dụng BĐT AM-GM ta có: ab  bc  ca �3 3 ab.bc.ca  3 (Do abc  1 ) Suy ra: 9  4(a  b  c)  2(ab  bc  ca) �12  4(a  b  c)  ab  bc  ca (3) 1 Từ (2) và (3) suy ra: P � Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c  1 � x  y  z  1 3 1 Vậy MaxP  Đạt khi trong 3 số x, y , z có hai số bằng 1 và số còn lại bằng 0,hoặc cả ba số đều bằng 1 3 Bài 27: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh).Cho x, y , z là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1 Tìm Min và Max của biểu thức: P  xy  yz  zx  2 xyz Giải: x , y , z � 0 1  z �0 � � Ta có: P  xy (1  z )  xz (1  y )  yz �0 Do � nên � 1  y �0 �x  y  z  1 � Dấu ‘=’ xảy ra khi trong 3 số x, y , z có hai số bằng 0 và một số bằng 1 Vậy MinP  0 Áp dụng BĐT quen thuộc sau: ( x  y  z )(y  z  x)(x  z  y) �xyz � (1  2 x)(1  2 y )(1  2 z ) �xyz � 1  2( x  y  z )  4( xy  yz  zx)  8 xyz �xyz � 4( xy  yz  zx) �9 xyz  1 9 xyz 1 � xy  yz  zx �  4 4 9 xyz 1 xyz 1  P 2 xyz (1) 4 4 4 4 Ta có: 14 Nguyễn Minh Đức-10A x  y  z �3 3 xyz ۣ 3 xyz  xyz K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 1 3 1 (2) 27 �x  y  z �0 1 7 � x yz Từ (1) và (2) suy ra: P � Dấu ‘=’ xảy ra khi � 3 27 �x  y  z  1 7 Vậy MaxP  27 Bài 28: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-TP Hồ Chí Minh).Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và 2 1 � 2n � với mọi số thực x �(0;1) ta đều có: x 2 n 1  x �� (1) � n �2n  1 � 2n  1 Giải: 2n � 2n � 1 Ta có: (1) � x 2 n (1  x) �� � �2n  1 � 2n  1 x x x , , , ,1  x ta được: Áp dụng BĐT AM-GM cho 2n  1 số dương 2 n 2n 2n x 2n 2n  1  x 1 �x � 2n 2 n 1  � � (1  x) � 2n  1 2n  1 �2n � 2n 2n 1 (2n) 2 n �x � � 2n � 1 2n � � � (1  x) � � x (1  x ) � � � 2 n 1 2 n 1 (2n  1) �2n � �2n  1 � 2n  1  2n  1 2n � 2n � 1 � x (1  x) �� � �2n  1 � 2n  1 2n 2 � 2n � 1 (Dpcm) � x 2 n 1  x �� � �2n  1 � n 2n  1 Bài 29: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng).Tìm Min và Max của biểu thức A  6 xy  6 yz  zx khi ba số thực x, y , z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  1 Giải: a , b , c là ba số thực dương.Chứng minh rằng: Bài 30: (THPT Lưu Văn Việt-Vĩnh Long).Cho a 3  abc b3  abc c3  abc (1)   �a 3  b 3  c 3 bc ca a b Giải: Giả sử a �b �c ,ta có: a b c (1) � (a  b)(a  c)  (b  a)(b  c)  (c  a)(c  b) �0 (2) bc ca a b a b � Mặt khác,do và (a  b)(a  c ) �0 ,nên: bc ca a b b b b (a  b)( a  c)  (b  a)(b  c) � (a  b)( a  c)  (b  a)(b  c) � (a  b) 2 �0 bc ca ca ca ca Mặt khác: c (c  a )(c  b) �0 ab a b c (a  b)(a  c )  (b  a )(b  c )  (c  a)(c  b) �0 Vậy: bc ca ab Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c 15 Nguyễn Minh Đức-10A Suy ra (2) được chứng minh Bài toán được chứng minh K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 16 ... � � �x  z Vậy MinP  33  Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh 2 Bài 7: (THPT Chuyên Bến Tre-Bến Tre).Cho x  y  xy  Tìm Min Max biểu thức: M  x4  y  x2 y Giải: 2 �  x  y ... thực dương a,b,c thỏa mãn : a  b  c �0 abc Tìm Max biểu thức: P  2a  b  c  a  3b  c  a  b  4c Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh Giải: Khơng tính tổng qt,chuẩn hóa a... c �b   c n �(b  1) n  b n  nb n 1    c n �b n  nb n 1  a n Bài toán chứng minh Nguyễn Minh Đức-10A K10A Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh Bài 12: (THPT Bạc Liêu-Bạc Liêu).Cho hai số dương a,