Chương 1 động lực học chất điểm

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 15 Chương ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Động học phần ngành Cơ học, nghiên cứu chuyển động vật thể (vĩ mô) mà không ý đến nguyên nhân chuyển động Chương nghiên cứu tính chất tổng quát chuyển động chất điểm Vì nói chuyển động vật hay vận tốc, gia tốc vật, ta hiểu vật chất điểm §1.1 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUYỂN ĐỘNG – Chuyển động học – Chất điểm: Chuyển động học (chuyển động cơ) thay đổi vị trí vật thể không gian theo thời gian Chuyển động vật có tính tương đối Vì, vị trí vật thay đổi vật này, lại không thay đổi vật khác Nghiã vật chuyển động so với vật này, lại đứng yên so với vật khác Ví dụ: Người ngồi xe lửa, nhà ga người chuyển động với xe lửa, hành khách bên cạnh, người lại không chuyển động Khi ta nói “vật A chuyển động” mà không nói rõ chuyển động so với vật ta ngầm hiểu so với Trái Đất Mọi vật có kích thước xác định Tuy nhiên, kích thước vật nhỏ bé so với khoảng cách mà ta khảo sát vật coi chất điểm Vậy, chất điểm vật thể mà kích thước bỏ qua so với kích thước, khoảng cách mà ta khảo sát Chất điểm khái niệm trừu tượng, thực tế thuận tiện việc nghiên cứu chuyển động vật Khái niệm chất điểm mang tính tương đối Nghĩa điều kiện vật coi chất điểm, điều kiện khác, lại coi chất điểm Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động Trái Đất quanh Mặt Trời, ta coi Trái Đất chất điểm, nghiên cứu chuyển động tự quay quanh trục Trái Đất coi chất điểm – Quĩ đạo, quãng đường độ dời: Qũi đạo chất điểm tập hợp vị trí chất điểm trình chuyển động Nói cách khác, chất điểm chuyển động, vạch không gian đường gọi quĩ đạo Căn vào hình dạng quĩ đạo, ta phân chia chuyển động chất điểm thẳng, cong tròn Xét chất điểm M chuyển động quĩ đạo cong từ vị trí M1 qua điểm A đến vị trí M2 (hình 1.1) Ta gọi độ dài cung M1AM quãng đường Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện 16 uuuuuur vật từ M1 đến M2 kí hiệu s Và ta gọi vectơ M1M vectơ độ dời (hay độ dời) chất điểm từ điểm M1 đến điểm M2 Như quãng đường s đại Quãng đường s lượng vô hướng dương; độ dời vectơ Nếu vật chuyển động đường M2 A cong kín đổi chiều chuyển động cho vị trí đầu cuối trùng độ dời triệt tiêu quãng đường khác M1 uuuuuur không Khi vật chuyển động đường Độ dời M1M thẳng theo chiều quãng đường vật với độ lớn Hình 1.1: Quan hệ vectơ độ dời quãng đường độ dời – Hệ qui chiếu, phương trình chuyển động – phương trình quĩ đạo: z Muốn xác định vị trí vật không gian, ta phải chọn vật làm mốc, gắn vào hệ tọa độ đồng hồ để đo thời gian Hệ thống gọi hệ qui chiếu Tại thời điểm t, vị trí chất điểm M xác định vectơ vị trí (hay vectơ tia, vectơ bán kính): → z → k → i M r y → y j x → r ( t ) = OM O → (1.1) x Phương trình (1.1) cho phép ta Hình 1.2: Vị trí chất điểm M xác định vị trí chất điểm hệ toạ độ Descartes thời điểm, nên gọi phương trình chuyển động tổng quát chất điểm Trong hệ tọa độ Descartes, (1.1) có dạng: → → r = x i → + y j → (1.2) + z k r r r Trong (x,y,z) tọa độ điểm M i, j, k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Vì vị trí chất điểm M thay đổi theo thời gian nên toạ độ hàm thời gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t) (1.3) (1.2), (1.3) phương trình chuyển động chất điểm hệ toạ độ Oxyz Nếu khử tham số t phương trình (1.3), ta được:  F( x , y, z) =   G ( x , y, z ) = (1.4) 17 Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM (1.4) biểu diễn tất vị trí mà chất điểm qua trình chuyển động nên gọi phương trình qũi đạo chất điểm Vậy, phương trình chuyển động cho phép ta xác định vị trí chất điểm thời điểm t bất kì; phương trình qũi đạo cho biết hình dạng qũi đạo vật Tùy theo việc chọn hệ qui chiếu mốc thời gian, phương trình chuyển động phương trình quĩ đạo chất điểm có dạng tường minh khác Trên thực tế, giải toán chuyển động, người ta thường chọn hệ qui chiếu gốc thời gian cho phương trình chuyển động dạng đơn giản Trong trường hợp biết trước qũi đạo vật, ta chọn điểm mốc O điểm nằm qũi đạo, vị trí vật xác định theo hoành độ cong: s = s(t) = OM s M O (1.5) Hình 1.3: Vị trí chất điểm M xác định theo hoành độ cong s Phương trình (1.5) gọi phương trình chuyển động vật qũi đạo Ví dụ 1.1: Chất điểm M chuyển động  x = A cos(ωt + ϕ1 ) Hãy xác định y = A cos( ω t + ϕ ) 2  mặt phẳng Oxy với phương trình:  dạng qũi đạo khi: a) ϕ1 – ϕ2 = k2π; b) ϕ1 – ϕ2 = (2k + 1) a) Ta có ϕ1 – ϕ2 = k2π π Giải ⇒ ϕ1 = ϕ2 + k2π ⇒ x = A1 cos(ωt + ϕ2 +k2π) = A1 cos(ωt + ϕ2) ⇒ x y = A1 A ⇒ y= A2 A x = ax ; vôùi a = A1 A1 Vậy qũi đạo đường thẳng y = ax, với – A1 ≤ x ≤ A1 x y2 b) Tương tự, ta có: + = ⇒ Qũi đạo Elíp A1 A §1.2 – TỐC ĐỘ VÀ VẬN TỐC – Tốc độ trung bình vận tốc trung bình: Xét chất điểm M chuyển động quĩ đạo cong Giả sử thời điểm → t1, chất điểm vị trí M1 xác định vectơ vị trí r1 ; thời điểm t2 vật vị trí → M2 xác định vectơ vị trí r2 Gọi s quãng đường vật Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện 18 r uuuuuur ur ur ∆ r = M1M = r2 − r1 độ dời từ M1 đến M2 Ta định nghĩa tốc độ trung bình vận tốc trung bình chất điểm sau : Tốc độ trung bình vs đoạn đường định chất điểm chuyển động đại lượng đo thương số quãng đường s mà chất điểm với khoảng thời gian t để chất điểm hết quãng đường vs = s t (1.6) s Nếu quãng đường s gồm nhiều quãng đường nhỏ s1, s2, …, sn thời gian tương ứng để vật hết quãng đường t1, t2, …, tn (1.6) viết dạng: s + s + + s vs = t1 + t + + t n (1.7) Đôi tốc độ trung bình kí hiệu M2 r ∆r M1 ur r2 ur r1 O vtb v Hình 1.4 Vận tốc trung bình chất điểm chuyển động khoảng thời gian từ t1 đến t2 đại lượng đo thương số vectơ độ dời khoảng thời gian : r ur ur uur ∆ r r − r v tb = = ∆t t − t1 (1.8) Tốc độ trung bình đại lượng vô hướng, không âm, đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm chuyển động đoạn đường định ; vận tốc trung bình đại lượng vectơ đặc trưng cho thay đổi vectơ độ dời khoảng thời gian định Khi vật chuyển động liên tục đường thẳng theo chiều tốc độ trung bình với độ lớn vectơ vận tốc trung bình Trong hệ SI, đơn vị đo tốc độ trung bình vận tốc trung bình mét giây (m/s) ; thực tế, người ta thường dùng đơn vị kilômét (km/h) Ta có : 1km / h = m/s 18 Từ (1.8) suy ra, chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox ta tính giá trị đại số vận tốc trung bình theo công thức : v tb = ∆x x − x1 = ∆t t − t1 (1.9) Trong trường hợp tổng quát, ta chiếu (1.8) lên trục tọa độ cần thiết để tìm thành phần vectơ vận tốc trung bình, từ tìm độ lớn vận tốc trung bình Cần nhấn mạnh khác biệt công thức định nghĩa (1.6) (1.8) là: tốc độ trung bình, ta quan tâm đến quãng đường s mà chất điểm thời gian t mà chất điểm dùng để hết quãng đường đó, không quan tâm đến thời Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 19 gian nghỉ ; vận tốc trung bình, ta quan tâm đến vị trí thời điểm đầu cuối, không quan tâm đến trình diễn biến chuyển động Để phân biệt hai khái niệm tốc độ trung bình vận tốc trung bình, khảo sát ví dụ sau : Ví dụ 1.2: Một ôtô dự định từ A đến B với tốc độ 30km/h Nhưng sau 1/3 đoạn đường, ôtô bị chết máy Tài xế phải dừng 30 phút để sửa, sau tiếp với tốc độ 40km/h đến B qui định Tính tốc độ trung bình ôtô đoạn đường AB thời gian dự định ban đầu Có thể tính độ lớn vectơ vận tốc trung bình khoảng thời gian từ A đến B hay không ? Giải v1 = 30km/h v2 = 40km/h Giả sử ôtô chết máy C Gọi t1, t2 thời gian ôtô chuyển động đoạn AC, CB A C B Tốc độ trung bình ôtô đoạn đường AB : s AC + BC vs = = = t t1 + t AB 3v1.v 3.30.40 = = = 36km / h AB AB + + 2v v 2.30 40 3 + v1 v2 Vì ôtô đến B qui định nên thời gian dự định thời gian thực tế: tdđ = tttế ⇒ AB = v1 AB AB ⇒ AB = 90 km + 0,5 + v1 v2 Vậy thời gian dự định ban đầu là: t = AB = (giờ) v1 Với giả thiết toán trên, ta tính độ lớn vectơ vận tốc trung bình, quĩ đạo từ A đến B thẳng hay cong Nếu quĩ đạo r uur | ∆ r | AB 90 đường thẳng | v tb |= = = = 30m / s ; quĩ đạo đường ∆t tB − tA cong chưa đủ kiện để tính vận tốc trung bình Ví dụ 1.3: Một ôtô từ A đến B với tốc độ v1 = 30km/h quay A với tốc độ v2 = 50km/h Tính tốc độ trung bình vận tốc trung bình lộ trình – Giải Tốc độ trung bình lộ trình – về: s AB + BA 2AB 2v1v 2.30.50 vs = = = = = = 37,5km / h t t di + t ve AB / v1 + AB / v v1 + v 30 + 50 Vận tốc trung bình lộ trình – về: ur ur uur uur uur r − r r − r r A A v tb = = =0 t − t t − t1 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện 20 – Tốc độ tức thời vận tốc tức thời: Tốc độ trung bình đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm chuyển động đoạn đường s xác định Để đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm chuyển động điểm quĩ đạo, ta dùng khái niệm tốc độ tức thời Tốc độ tức thời (hay tốc độ) điểm cho qũi đạo đại lượng đo thương số quãng đường nhỏ tính từ điểm cho khoảng thời gian nhỏ để s ds v = lim = t →0 t dt vật hết quãng đường đó: (1.10) Kí hiệu: ds vi phân đường đi, dt vi phân thời gian tỉ số ds/dt đạo hàm quãng đường theo thời gian Vậy tốc độ tức thời đạo hàm quãng đường theo thời gian Một cách tương tự, vectơ vận → tốc tức thời (hay vectơ vận tốc) đạo v hàm vectơ độ dời theo thời gian: r r M’ ds → ∆ r dr = ∆t →0 ∆t dt v = lim (1.11) Để hiểu rõ ý nghĩa vectơ vận tốc tức thời, ta xét chuyển động chất điểm quĩ đạo cong (C) (xem hình minh họa 1.5) Giả sử thời điểm t, chất điểm vị trí M r xác định vectơ vị trí r thời điểm t + dt, chất điểm vị trí M’ ur r r xác định vectơ vị trí r ' = r + dr r dr M (C) ur r' r r O Hình 1.5 r Theo định nghĩa (1.11), vectơ vận tốc có hướng độ dời dr , nghĩa có hướng cát tuyến MM’ Khi thời gian dt nhỏ điểm M’ gần với điểm M Lúc giới hạn cát tuyến MM’ tiếp tuyến với quĩ đạo điểm M Vậy vectơ vận tốc tức thời điểm có phương tiếp tuyến với quĩ đạo điểm có chiều chiều chuyển động chất điểm r Mặt khác, môdun độ dời dr độ dài dây cung MM’ quãng r đường ds độ dài cung MM ' Khi M’ tiến đến M | dr | = ds Vậy: r r | dr | ds (1.12) | v |= v = = dt dt Nghĩa độ lớn vận tốc tức thời tốc độ tức thời → Vậy, vectơ vận tốc tức thời v có đặc điểm: - Phương: tiếp tuyến với qũi đạo điểm khảo sát - Chiều: chiều chuyển động - Độ lớn: đạo hàm quãng đường thời gian - Điểm đặt: điểm khảo sát 21 Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Tốc độ tức thời đại lượng vô hướng không âm, đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm chuyển động điểm quĩ đạo; vận tốc tức thời đại lượng vectơ, đặc trưng cho phương, chiều độ nhanh chậm chuyển động điểm quĩ đạo Khi nói vật chuyển động với tốc độ không đổi, ta hiểu vật chuyển động quĩ đạo thẳng cong bất kì, vật quãng đường khoảng thời gian ; nói vật chuyển động với vận tốc không đổi ta hiểu chuyển động vật thẳng Qua khái niệm ta thấy rằng, tốc độ trung bình có ý nghĩa vật lý cụ thể vận tốc trung bình tốc độ tức thời lại ý nghĩa vật lý đầy đủ vận tốc tức thời Do đó, nghiên cứu tính chất chuyển động quãng đường dài, người ta thường sử dụng khái niệm tốc độ trung bình ; nghiên cứu tính chất chuyển động vị trí quĩ đạo, ta sử dụng vận tốc tức thời – Biểu thức giải tích vectơ vận tốc: → → → → Trong hệ toạ độ Descartes, ta có: r = x i + y j + z k → → d r dx → dy → dz → v= = i + j + k dt dt dt dt Suy : Hay: → → → (1.13) → v = v x i + v y j + v z k = (vx, vy, vz) đó: v x = (1.14) dx dy dz = x'; v y = = y' ; v z = = z' dt dt dt → Suy ra, độ lớn vectơ vận tốc: v = v = (1.15) v 2x + v 2y + v 2z (1.16) – Quãng đường vật đi: Từ (1.12), suy quãng đường vật thời gian ∆t = t – to là: v t s= ∫ vdt (1.17) to S đó, v độ lớn vận tốc Nếu khoảng thời gian ∆t, độ lớn vận tốc không đổi (vật chuyển động đều) thì: s = v∆t = v(t – t0) (1.18) t to t Hình 1.6: Ý nghĩa hình học đường Trong số trường hợp, ta tính quãng đường dựa vào ý nghĩa hình học tích phân (1.17): quãng đường vật trị số diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị v = v(t) với trục Ot (hình 1.6) Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện 22 Ví dụ 1.4: Vật chuyển động mặt phẳng Oxy với phương trình: x = 15t (SI) Tính quãng đường vật kể từ lúc t = đến lúc t = 2s  y = t  Giải v x = x ' = 15 ⇒ v = 15 + (10 t ) = 10 t + 2,25 (m/s) v y = y' = 10t Ta có:  2 s = ∫ vdt = 10 ∫ 0 2,25 t  t + 2,25dt = 10 t + 2,25 + ln | t + t + 2,25 | 2 0 u a u + a + ln | u + u + a | +C - toán cao cấp) 2 Thay số vào ta tính quãng đường là: s = 37, 4(m) (Lưu ý: ∫ u + adx = Ví dụ 1.5: Vật chuyển động đường thẳng với vận tốc biến đổi theo qui luật cho đồ thị hình bên Tính quãng đường vật kể từ lúc t = 1s đến lúc t = 7,5s Suy tốc độ trung bình quãng đường độ lớn vận tốc trung bình khoảng thời gian Giải v (m/s) Dựa vào ý nghĩa hình học tích phân (1.17), ta suy quãng B C đường phải tìm là: s = trị số 30 (diện tích hình thang ABCD + diện tích tam giác DEF) ⇒s= 1 (5,5 + 2,5).30 + 1.20 2 Vậy s = 130(m) Suy tốc độ trung bình quãng đường đó: vs = A 2,5 D 7,5 F 6,5 t (s) - 20 E s 130 = = 20(m / s) ∆t 7,5 − Vì vật chuyển động đường thẳng đồ thị, ta thấy, từ t = 1s đến t = 6,5s vật chuyển động theo chiều dương qũi đạo (do v > 0) từ t = 6,5s đến t = 7,5s vật chuyển động ngược chiều dương qũi đạo (do v < 0) nên môdun độ dời tính từ thời điểm t = 1s đến t = 7,5s là: r | ∆ r |= trị số diện tích hình thang ABCD – diện tích tam giác DEF = 120 – 10 = 110m r | ∆r | 110 Suy độ lớn vận tốc trung bình: v tb = = = 16,9m/s t − t1 7,5 − 23 Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM §1.3 – GIA TỐC – Định nghiã: Gia tốc đại lượng đặc trưng cho biến thiên vận tốc, đo thương số độ biến thiên vận tốc khoảng thời gian xảy biến thiên (thương số gọi tốc độ biến thiên vectơ vận tốc): → → → ∆ v v− vo a tb = = ∆t t − t0 → Gia tốc trung bình: → → (1.19) → ∆v dv d r = = ∆t → ∆t dt dt → Gia tốc tức thời: a = lim (1.20) Vectơ gia tốc tức thời đặc trưng cho biến thiên vectơ vận tốc thời điểm; vectơ gia tốc trung bình đặc trưng cho biến thiên vectơ vận tốc khoảng thời gian ∆t lớn – Biểu thức giải tích vectơ gia tốc: Trong hệ tọa độ Descartes, tương tự vectơ vận tốc, ta có: → → a = ax i → + a y j → + a z k = (ax, ay, az)  dv x d x = = x' '  ax = dt dt  dv y d y  = = y' '  ay = dt dt   dv z d z = = z' '  az = dt dt  với (1.21) (1.22) → Suy ra, độ lớn vectơ gia tốc : a = a = a 2x + a 2y + a 2z (1.23) Ví dụ 1.5: Một chất điểm chuyển động mặt phẳng Oxy với phương trình:  x = 3t − t (SI)   y = 8t a) Xác định vectơ gia tốc thời điểm t = 3s b) Có thời điểm gia tốc triệt tiêu hay không? Giải a x = x ' ' = − 8t ⇒ a = a 2x + a 2y =| − 8t | a y = y' ' = Ta có:  → a) Lúc t = 3s : a = (-18; 0) độ lớn a = 18m/s2 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện 24 b) a = ⇔ − 8t = ⇔ t = 0,75s Vậy lúc t = 0,75 giây gia tốc không – Gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến: Trong chuyển động cong, biểu thức giải tích vectơ gia tốc, người ta mô tả vectơ gia tốc theo thành phần tiếp tuyến pháp tuyến với qũi đạo Ta biết vectơ vận tốc nằm tiếp tuyến qũi đạo, nên ta viết: → → v = v τ (1.24) → τ vectơ đơn vị nằm tiếp tuyến → Suy ra: Thành phần: → → d v d(v τ ) dv → dτ a= = = τ + v dt dt dt dt → dv → at = τ dt → (1.25) (1.26) nằm tiếp tuyến qũi đạo nên gọi gia tốc tiếp tuyến → → → dτ d( τ ) 2 Vì: τ = ⇒ ( τ ) = ⇒ = ⇒ τ =0⇒ dt dt → → → → Mà τ nằm tiếp tuyến nên vectơ → dτ nằm pháp tuyến qũi đạo dt τ dϕ → dτ → dτ Do đó, thành phần: a n = v (2.27) dt → → → Mặt khác, vectơ d τ = τ' − τ hướng vào bề lõm qũi đạo (hình 1.7), suy gia tốc pháp tuyến hướng vào bề lõm qũi đạo → → → τ' R → τ' nằm pháp tuyến qũi đạo nên gọi gia tốc pháp tuyến → → dτ τ ⊥ dt → dϕ Hình 1.7: Biến thiên vectơ đơn vị tiếp tuyến qũi đạo → dϕ τ → dτ ) Do τ = τ' = → dϕ ds d τ = 2.1 = dϕ = R → nên (xem hình 1.7 1.8) τ' → Hình 1.8: Quan hệ | d τ | dϕ