Chương 1: Động lực học chất điểm

Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1.1 Các khái niệm - - Chất điểm vật có khối lượng, có kích thước nhỏ so với khoảng cách kích thước vật khác Hệ chất điểm: tập hợp nhiều chất điểm rời rạc Vật rắn: tập hợp nhiều chất điểm phân bố liên tục có mối liên kết rắn (khoảng cách chất điểm không thay đổi) Vd: Đống cát vật rắn khoảng cách thay đổi Cục gạch: vật rắn Chuyển động: thay đổi vị trí chất điểm suốt trình chuyển động Hệ quy chiếu: hệ vật quy ước đứng yên để khảo sát vật khác chuyển động Thường người ta gắn hệ trục tọa độ vào hệ quy chiếu 1.2 Phương trình chuyển động chất điểm - Vectơ vị trí chất điểm: r r r r r OM = xi + yj + zk = r x, y, z hàm theo thời gian ⎧x ⎪ Tọa độ điểm M: ⎨ y ⎪z ⎩ - - Phương trình chuyển động chất điểm M: o Vectơ vị trí o Tọa độ điểm M Quỹ đạo chất điểm M: f (x,y,z) = 0: tập hợp vị trí chất điểm suốt trình chuyển động Muốn tìm phương trình quỹ đạo chất điểm, ta khử tham số t phương trình chuyển động chất điểm Có dạng: o Dạng 1: phương trình có chứa tham số t, dùng phương pháp để khử t o Dạng 2: phương trình có chứa sin & cos theo t: áp dụng sin2t + cos2t = ( ) r r tr VD1 : r = i + t + j t ⎧ ⎧t = x ≥ ⎪x = M⎨ ⇒⎨ 2 ⎪ y = t + ⎩ y = (2 x ) + ⎩ y y = 4x2 + ⇒ y = 4x + Giới hạn quỹ đạo: t ≥ → 2x ≥ → x ≥ O Th.S TRẦN ANH TÚ x Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM VD2: r r r r = ( A cos ω t )i + ( A sin ω t ) j y x ⎧ ⎪⎪ cos ω t = A ⎧ x = A cos ω t ⇒ M ⎨ ⇔ ⎨ ⎩ y = A sin ω t ⎪ sin ω t = y ⎪⎩ A 2 y x sin ω t + cos ω t = ⇔ + =1 A A Quỹ đạo đường tròn tâm O, bán kính A Trường hợp không giới hạn quỹ đạo y2 x2 + =1 A2 A2 O x 1.3 Vectơ vận tốc r ϑ 1.3.1 Vectơ vận tốc trung bình: r t1 → M → r1 r t → M → r2 r r rr − rr Δ r = ϑ = t − t1 Δt r 1.3.2 Vectơ vận tốc tức thời: ϑ r Δr ϑ = lim Δt → Δ t r drr ϑ = dt r r r r r = x i + yj + z k r drr dx r dy r dz r i + j+ k ϑ = = dt dt dt dt r r ϑ = Vd: 2 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ Điểm đặt: điểm xét Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo M Chiều: chiều chuyển động r Độ lớn: ϑ = ϑ = ϑ 2x + ϑ 2y + ϑ 2z r r r r = (t + )i + t j r r r ϑ = i + tj r ⇒ ϑ = + 4t 1.4 Vectơ gia tốc: r 1.4.1 Vectơ gia tốc trung bình: a r r r r ϑ2 − ϑ1 Δϑ a= = t − t1 Δt r t1 → M → v1 r t → M → v2 r vr2 − vr1 Δvr a= = t − t1 Δt r r r r Tònh tiến ϑ2 ϑ1 => Δa → Δa Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM r 1.4.2 Vectơ gia tốc tức thời: a r r Δv a = lim Δt →0 Δt r drr ϑ= dt r r r r v = vx i + v y j + vz k r r dv dv x r dv y r dv z r a= i+ j+ k = dt dt dt dt 2 r ⎛ dv ⎞ ⎛ dv y ⎞ ⎛ dv z ⎞ ⎟⎟ + ⎜ a = ⎜ x ⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ Vd: r r ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Điểm điểm: điểm xét Phương: đường thẳng qua M Chiều: hướng bề lõm quỹ đạo Độ lớn: r a = a = a x2 + a y2 + a z2 ⎛ dϑ ⎞ ⎛ dϑ y ⎞ ⎛ dϑ z ⎞ ⎟⎟ + ⎜ = ⎜ x ⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2 r ϑ = i + 2tj r r r r dϑ a= = 0i + j dt r a = 02 + 22 = ¾ Vectơ gia tốc tức thời chiếu lên phương tiếp tuyến pháp tuyến, ta có vectơ r r gia tốc tiếp tuyến at vectơ gia tốc pháp tuyến a n ⎧ ⎪ r ⎪ r dϑ ⎪⎪ at = dt ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ Điểm đặt: điểm xét r Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo M (cùng phương ϑ ) r r Chieàu: dv > , ϑ > ϑ1 : chuyển động nhanh dần => at ↑↑ ϑ r r dv < , ϑ < ϑ1 : chuyeån động chậm dần => at ↑↓ ϑ r dϑ Độ lớn: at = at = dt Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho thay đổi độ lớn vectơ vận tốc Đặc trưng cho chuyểm động chậm dần, nhanh dần r an ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ Điểm đặt: điểm xét Phương: vuông góc với tiếp tuyến với quỹ đạo M Chiều: hướng vào tâm vòng tròn quỹ đạo M Độ lớn: a n = ϑ2 R (R: bán kính quỹ đạo M) Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho thay đổi phương vectơ vận tốc r r Do để tìm bán kính cong: phải có độ lớn ϑ a n r a n nhỏ => R lớn r a n lớn => R nhỏ Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM r r r ⎧ a = at + a n Vectô gia tốc tức thời: ⎨ r 2 ⎩ a = at + a n r a đặc trưng cho thay đổi độ lớn phương vectơ vận tốc 1.5 Chuyển động thẳng Quỹ đạo đường thẳng: ⇒ R = ∞ ⇒ a n = (vì a n = ϑ2 ; R = ∞ → an = ) R Nên đưa chuyển động thẳng trục -> cần thành phần để biểu dieãn r r r = xi → x r r dx ϑ = ϑx i → ϑ ~ ϑx = dt r dϑ x d x r = a = axi → a ~ ax = dt dt r 1.5.1 Chuyển động thẳng đều: ϑ = const ( ) x t dx = const ⇒ dx = ϑdt ⇔ ∫ dx = ϑ ∫ dt ⇔ x = ϑt + x0 dt x0 ϑ= r 1.5.2 Chuyeån động thẳng thay đổi đều: (a = const ) r r r a = ⇒ a laø at ϑ dϑ dx → ∫ dϑ = a ∫ dt ⇒ ϑ = at + ϑ0 = dt dt ϑ0 a= x t x0 t ⇒ ∫ dx = ∫ (at + ϑ0 )dt ⇔ x − x = at + ϑ0 t ϑ = at + ϑ0 at + ϑ0 t ϑ − ϑ02 = 2a(x − x0 ) r r a chiều ϑ → chuyển động nhanh dần r r a ngược chiều ϑ → chuyển động chậm dần Hay: x − x0 = 1.6 Chuyển động tròn: quỹ đạo đường tròn -> R = const r 1.6.1 r ω ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ Vectơ vận tốc góc ω : Điểm đặt: ∀ điểm ∈ trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục) Phương: trục vòng tròn quỹ đạo Chiều: theo quy tắc vặn nút chai ⎛S⎞ d⎜ ⎟ r d dS ϑ R = = ⎝ ⎠= Độ lớn: ω = ω = dt R dt R dt r r r Liên hệ ϑ , ω , R : Th.S TRẦN ANH TÚ r r r ϑ = ω xR Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM r 1.6.2 Vectơ gia tốc góc: β Điểm đặt: điểm xét r Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo M (cùng phương ϑ ) r r Chiều: d ω > → β chiều ω (chuyển động nhanh dần) r r d ω < → β ngược chiều ω (chuyển động chậm dần) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ r β ⎛ϑ ⎞ d⎜ ⎟ dω dϑ at R Độ lớn: β = β = = = ⎝ ⎠= dt dt R dt R r r r r r r a t = β x R ( at cuøng chiều ϑ : nhanh dần) r r r Liên hệ at , β , R : a t = β R an = ϑ2 R = ω R R = ω R a = at2 + a n2 = R ω + β 1.6.3 Chuyển động tròn đều: r ϑ = const ⎫⎪ ⎬ ⇒ a n = const R = const ⎪⎭ r r r at = → a = a n r ω = const θ t dθ ω= ⇒ ∫ dθ = ω ∫ dt ⇒ θ = ω t + θ dt θ0 1.6.4 Chuyển động tròn thay đổi đều: r β = const ⎫ ⎬, at = β R ⇒ at = const R = const ⎭ β= ω dω ⇒ ∫ dω = β ∫ dt ⇒ ω = βt + ω0 dt ω0 t Maø: θ dθ ω= ⇒ ∫ dθ = ∫ (β t + ω )dt ⇒ θ = β t + ω t + θ dt θ0 t ω − ω 02 = β (θ − θ ) Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM r g 1.7 Chuyển động gia tốc :(chuyển động parabol) r r r a = g = − gj r r r dϑ a = ⇒ d ϑ = − g j dt dt r ϑ t r ⇔ ∫ d ϑ = ∫ − g j dt r ϑ0 r ⇔ ϑ Maø: r = − gj r ϑr ϑ0 r t r r r ⇒ ϑ − ϑ = − g j dt r r ϑ0 = (ϑ0 cos α )i + (ϑ0 sin α ) j r r r drr ⇒ ϑ = (ϑ0 cos α )i + [(− gt ) + ϑ0 sin α ] j = 1424 1442443 dt ϑ r r ϑy [ ] t r r r ⇒ ∫ dr = ∫ (ϑ0 cos α )i + (− gt + ϑ0 sin α ) j dt r r0 r maø: ϑ = ϑ x2 + ϑ y2 r r r r r r − r0 = (ϑ0 cos αt )i − gt j + (ϑ0 sin αt ) j r r r ⎡ ⎤r ⇔ r − r0 = ϑ0 (cos α )ti + ⎢− gt + ϑ0 (sin α )t ⎥ j ⎣ ⎦ Maø: r r r0 = hj r ⎡ r ⎤r ⇒ r = ϑ0 (cos α )ti + ⎢− gt + ϑ0 (sin α )t + h⎥ j ⎣ ⎦ => phương trình quỹ đạo: ⎧ x = ϑ0 cos αt x ⎪ →t = M ⎨ ϑ0 cos α ⎪⎩ y = − gt + ϑ0 sin αt + h => y=− (1) g x + tgα x + h 2ϑ cos α (2) Các vấn đề thường gặp: • Ở độ cao cực đại: (B): tiếp tuyến nằm ngang → ϑ y = ϑ By = ⇒ ϑ Bx = ϑ0 cos α = ϑ B => Ta có: a n = ϑ2 R => Th.S TRẦN ANH TUÙ RB = ϑ B2 an = ϑ02 cos α g tB = ϑ0 sin α g r r (Vì a ↓↓ g ⇒a t B = 0, a n = g ) Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM • Độ cao max: tB vaøo (1) ⇒ y = − gt + ϑ0 sin αt + h ϑ sin α ϑ sin α ⇒ y B = − g + ϑ0 sin αt +h g g ϑ02 sin α g +h g ⇒ yB = • Tầm xa (C): • Hỏi goùc α ? 2ϑ0 sin α g 2ϑ sin α ϑ02 sin 2α ⇒ xC = ϑ0 cos α = g g tC = ⎧ Để xC max α = 45o ⎨ ⎩ ϑ0 , xC cho trước Vd: xC = 3hB sin β = x C g ϑo2 = sin 2α ⎧α = β ⎧2α = β ⎪ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎩2α = π − β ⎪β = π − β 2 ⎩ • Bán kính cong quỹ đạo C: RC = ϑC2 an = ϑo2 g cos α 1.8 Phép biến đổi vận tốc – gia tốc: Xét hệ O, O’ O’ chuyển động tịnh tiến so với O Khi điểm M: Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM r r r ⎧r = r '+ ro r r r ⎪r r r ϑ t = ϑ ' t +ϑ n ⎨ϑ = ϑ '+ϑo b n b ⎪ar = ar '+ ar o ⎩ • Quan niệm học cổ điển: Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu Trong vị trí không gian có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chieáu r r r r O : r = xi + yj + zk r r r r O': r ' = x' i + y ' j + z ' k r r r ⇒ OM = OO'+O' M hay: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ r r r r = r '+ ro r r r ϑ = ϑ '+ϑo r r r a = a '+ a o r ⎧ϑ : ⎪⎪ r ⎨ϑ ': ⎪r ⎪⎩ϑo : r ⎧a : ⎪r ⎨a ' : ⎪ar : ⎩ o Vận tốc điểm M so với O Vận tốc điểm M so với O’ Vận tốc O’ so với O Gia tốc điểm M so với O Gia tốc điểm M so với O’ Gia tốc O’ so với O Th.S TRẦN ANH TÚ ... ⇒ ϑ = + 4t 1. 4 Vectơ gia tốc: r 1. 4 .1 Vectơ gia tốc trung bình: a r r r r ϑ2 − ? ?1 Δϑ a= = t − t1 Δt r t1 → M → v1 r t → M → v2 r vr2 − vr1 Δvr a= = t − t1 Δt r r r r Tịnh tiến ϑ2 ? ?1 => Δa → Δa... không giới hạn quỹ đạo y2 x2 + =1 A2 A2 O x 1. 3 Vectơ vận tốc r ϑ 1. 3 .1 Vectơ vận tốc trung bình: r t1 → M → r1 r t → M → r2 r r rr − rr Δ r = ϑ = t − t1 Δt r 1. 3.2 Vectơ vận tốc tức thời: ϑ... dϑ x d x r = a = axi → a ~ ax = dt dt r 1. 5 .1 Chuyển động thẳng đều: ϑ = const ( ) x t dx = const ⇒ dx = ϑdt ⇔ ∫ dx = ϑ ∫ dt ⇔ x = ϑt + x0 dt x0 ϑ= r 1. 5.2 Chuyển động thẳng thay đổi đều: (a