PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A.Các phương trình bản: I)Phương trình bậc hai ẩn: Định nghĩa: ax + by = c với a, b, c số nguyên cho trước Đinh lí: Giả sử a ,b xác số nguyên dương d= ( a, b) (1) vô nghiệm c d vô số nghiệm c d Hơn (x , y ) nghiệm (1) phương trình có nhiệm tổng quát b a (x,y)= x + n, y + n d d Chứng minh :giành cho bạn đọc Ví dụ1: Giải phương trình nhiệm nguyên: 21x + y = 1988 1988 Giải: Ta có x + y = ⇒ không tồn x,y ∈ Z thỏa 7x + 2y không nguyên Ví dụ 2: Giải phương trình nhiệm nguyên: 12x+3y=216 216 − y y Giải:Ta có x = = 18 − ⇒ y = 4n ⇒ x = 18 − n(n ∈ Z ) 12 II) Phương trình PITAGO: Định nghĩa: x + y = z Định lí: (x, y, z ) = ⇒ (x, y ) = ( y , z ) = (z , x ) = (x, y, z ) = ⇒ x,y khác tính chẵn , lẻ (r , s ) = r = t , s = h 2 rs = k Chứng minh:Giành cho bạn đọc xem tập Giải phương trình PITAGO: x y z Giả sử (x, y, z ) = d ⇒ (x , y , z ) = , , = d d d Theo định lí ta giả sử y chẵn Ta có: x 02 + y 02 = z 02 ⇒ y 02 = (z − x )(z + x ) x0 = m − n z + x = 2m z + x0 z − x0 Theo đ ịnh lí 2: ⇒ y = 2mn , = ⇒ z − x = 2n 2 z0 = m + n với m,n số nguyên B.Các phương trình không mẫu mực: Chúng ta làm quen phương trình nghiệm nguyên lâu đời toán học.Nhưng lĩnh vực khác toán học phương trìng nhiệm nguyên ngày phát triển, khó Điển hình phương trình x n + y n = z n đến gần người ta giải phải dùng đến kiến thức toán cao cấp lời vô sâu sắc, Tuy nhiên xét toán phổ thông đúc kết ba phương pháp 1) Sử dụng tíng chất số nguyên ,các định lí số học 2) Sử dụng bất đẳng thức để thu hẹp miền giá trị tập nghiệm, sau giá trị 3)Phương pháp lùi vô hạn ,phương pháp náy FERMAT sáng tạo giải phương trình 1/ Sử dụng tíng chất số nguyên ,các định lí số học a/Đưa dạng tích: Ý tưởng b ài to án l đ ưa v ề d ạng f (x, y , ) f (x, y ) f n (x, y , ) = a1 a a n v ới a1 , a , , a n ∈ Z Rồi xét trường hợp Ví dụ: Giải phương trình nhiệm nguyên d ương: 21 x + y + xy = 123 Giải: y (6 + 21x ) + (21x + ) = 129 ⇒ (21x + 6)( y + 1) = 129 =43.3 ⇒ 21x + = 43 y+1=3 hay 21x+6=3 v y+1=43 T ất cho ta kết vô nghiệm Ví dụ: Giải phương trình nhiệm nguyên không âm: x + x + = y (1) 2 y − x − = Giải: (1) ⇒ y − (2 x + 1) = ⇒ (2 y − x − 1)(2 y + x + 1) = ⇒ 2 y + x + = Do 2y-2x-1 2y+2x+1 lẻ ⇒ y = ⇒ x = V ậy ph ương trình có nghiệm (x,y)=(1,0) b/Đưa dạng tổng: Ý t ởng đ ưa v ề f 1k1 (x, y , ) + f 2k (x, y ) + + f nk (x, y, ) = a1k + a 2k + a3k + + a nk với k, a1k + a 2k + + a nk ∈ Z Ví dụ: Giải phương trình nhiệm nguyên d ương: x + y + xy = 25 (1) x = x = Giải: (1) ⇒ x + (x + y ) = 25 = + ⇒ ⇒ x + y = y = Ví dụ :Giải phương trình nhiệm nguyên không âm x + y − y = 65 − y (1) x = x = Giải: (1) ⇒ x + ( y − 1) = 64 = + = + ⇒ hay y −1 = y −1 = V ậy (x, y ) = (0;5); (8;1) c/Đưa dạng phân số: : Ý t ơng b ài to án l : f (x, y ) a = = a0 + g (x, y ) b a1 + 1 an Ví dụ:Gi ải phương trình nghiệm nguyên 31(xyzt + xy + xt + zt + 1) = 40( yzt + y + t ) (1) x = y = 40 xyzt + xy + xt + zt + 1 Gi ải(1 ⇒ = ⇔ x+ =1+ ⇒ 1 yzt + y + t 31 z = y+ 3+ 1 t = z+ 2+ t d/Sửdụng tính chia hết Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + x( y − ) + − y = 0(1) Giải: x + 2x + (1) ⇒ y = = x +1+ ⇒ | (x + 1) ⇒ x + ∈ {− 1,1,−2,2} x +1 x +1 ⇒ x ∈ {− 2,0,−3,1} ⇒ ( x, y ) = (−2,−3), (0,3), (−3,−3), (1,3) Ví dụ:Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x + y = z a + Giải: X ét theo modulo z z z ≡ (− 1) (mod 3) ⇒ y ≡ (− 1) (mod 3) ⇒ z ch ẵn , đ ặt z= 2h Suy h − y h + y = x Do h − y ,5 h + y không đồng thời chia h ết cho ( )( ) 5 + = n ên h 5 − y = h y h y Ta có: h + y ≡ (− 1) + (− 1) ≡ 0(mod 3) h − y ≡ (− 1) + (− 1) ≡ 1(mod 3) ⇒ h lẻ ,y chẵn Nếu y>2 h + y ≡ 1(mod 4) ⇒ x ≡ 1(mod 4) ⇒ x chẵn ⇒ x ≡ 1(mod 8) Ta có :5 ≡ h + y (mod 8) h lẻ ⇒ ≡ x (mod 8) ⇒ ≡ 1(mod 8) ⇒ vô lí Do y=2 ⇒ x = 2, y = h y x Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y = 21xy + (1) Giải: (1) ⇒ (x + y ) = xy(x + y ) + 21xy + Đặt a=x+y b=xy ta c ó 3b = Bạn đọc tự giải tiếp e/Sử dụng tính số nguyên t ố a3 − 349 = a − a + 49 − ⇒ 349 a + a+7 a+7 x p Định lí 1: x + y p = 4k + ngu ên tố y p Chứng minh : Theo định lí Fermat ta có: Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + = y Nhận xét 1: x, y khác tính chẵn lẻ Nhận xét 2: x lẻ x − 18 Thực ta có x = 2k + 1, k ∈ Z ⇒ x − = 4k (k + 1)8 ( k (k + 1) ) Nhận xét 3: y − / 8, ∀y Ta quay lại toán Nếu x lẻ x − 18 ⇒ y − 68 ⇒ vô lí Nếu x chẵn y lẻ ⇒ x + = ( y − 1)( y + y + 1) Ta thấy x + ướcnguyên tố dạng 4k + theo định lý Suy y − có dạng 4k + , nghĩa y + y + − 3 ⇒ y + y + = 4t + ⇒ y + y + có ước nguyên tố 4k + Từ ta có điều mâu thuẫn Như phương trình cho vô nghiệm Bài tập tương tự: Giải phương trình nghiệm nguyên: x = y + 2/Sử dụng bất đẳng thức để thu hẹp miền giá trị tập nghiệm, sau giá trị Ví dụ :Giải phương trình nghiệm nguyên dương: a + b + c = abc Ta thấy bậc vế phải lớn bậc vế trái nên a,b,c đủ lớn abc lớn a+b+c Điều hướng cho ta đến việc sử dụng bất đẳng thức Nhận xét thêm a,b,c có vai trò nên ta giả sử a ≥ b ≥ c Nếu c ≥ , suy a + b = c (ab − 1) ≥ 2ab − ( c ≥ 2, ab ≥ c > ) ⇔ a = b(2a − 1) − ≥ 2(2a − 1) − = 4a − ⇒ ≥ a ≥ c ≥ ⇒ vô lí a + b + = ab ⇒ (a − 1)(b − 1) = b − = b = ⇒ ⇒ a − = a = Vậy (a, b, c ) = (3, 2,1) hoán vị Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: y = x ( x + x + 1) + ( x + 1)2 Giải: Do c = Suy x 1 x 3 Nhận xét x + + < y < x + + 2 2 Nếu x lẻ, rõ ràng không tồn ( x, y ) nguyên thoả phương trình x Nếu x chẵn, suy y = x + + Đến bạn tự giải dễ dàng J Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x + xy + y = x y Giải: Từ phương trình ta có: ( x + y ) = xy ( xy + 1) ⇒ x y < ( x + y ) < ( xy + 1) Từ ta có điều mâu thuẫn ( x + y ) nằm hai số phương liên tiếp Như phương trình vô nghiệm 21 x y Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: + + + = y + 21 27 x + y x + z Do z nguyên dương nên ≤ (1) z Vế trái áp dụng bất đẳng thức: a b c d + + + ≥ với a = x, b = y , c = 21, d = ta thu được: b+c c+d d +a a+b x y 21 + + + = > (2)( dấu x = y = 21 = không y + 21 27 x + y x + z thể xảy ra) Từ (1) (2) ta suy phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương y z + ( y − xy ) z + x( x − y ) = Coi phương trình phương trình bậc hai theo x Ta có: y2 ∆ ≥ ⇔ ( z + 1)(1 − y ) y z + ≥0 y2 ⇒ ≥ ( z + 1)( y − 1) y z Điều xảy y = Từ bạn dễ dàng tìm x = z hay −1 z−x= (loại x,z nguyên dương) 3)Phương pháp lùi vô hạn Phương pháp náy FERMAT sáng tạo giải phương trình x + y = z Ý tưởng phương pháp giả sử tìm đ ược nghiệm nhỏ nhất, ta lý luận cho tìm nghiệm nhỏ Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + y = z Giải: Gọi ( x, y, z ) nghiệm nhỏ x + y + z đạt giá trị nhỏ Nhận xét: Nếu x x − 1 x,y x + y ≡ 2(mod 3) ⇒ z ≡ 2(mod 3) ⇒ vô lý Như x, y phải có số chia hết cho 3, suy hai số chia hết cho Đặt x = x0 ; y = y0 Thay vào phương trình ta được: 3x0 + y0 = z ⇒ z ⇒ z Đặt z = z0 ,ta thu được: x0 + y02 = z02 Mà rõ ràng x0 + y0 + z0 < x + y + z ta thu điều mấu thuẫn Như phương trình vô nghiệm Ví dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên x + y = z Để giải phương trình này, bạn xem lại phần phương trình Pitago viết phía Trước hết ta giả sử ( x0 , y0 , z0 ) đôi nguyên tố nhau(*).Gọi ( x0 , y0 ) nghiệm nhỏ x04 + y04 Theo phương trình Pitago x02 = m − n ; y02 = 2mn; z0 = m + n Ta lại xét phương trình Pitago n + xo = m Ta có: x0 = a − b , n = 2ab, m = a + b (1) Suy ra: y0 = 4abm ⇒ y0 Đặt y1 = y0 ⇒ y12 = abm Bạn đọc dễ dàng chứng minh từ giả thiết (*) Suy ra: a = a12 , b = b12 , m = m12 Thay vào (1) m12 = a14 + b14 Mà m12 < z0 = x04 + y04 ⇒ (a, b) < ( x0 , y0 ) ⇒ vô lý Vậy phương trình vô nghiệm Bài tập luyện tập Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên dương 38 x + 117 y = 109 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên dương 123 x − 216 y = 1988 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + 21 y + 88 xy = 123 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên dương 12 x + y + 88 xy = 621 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + y + xy = 100 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + y + z = 2336 Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x − y = 12 xy + Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + 2y = 2 x +y 20 Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên dương 2x + = x2 y Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên dương (1 + xy )(1 + yz )(1 + xz ) = xyzt Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + py = z với p số nguyên tố Hướng dẫn: dùng định lý giải tương tự phương trình Pitago Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x + y + z = nx y z Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên dương ( x + 1) + a = ( x + 2) + b = ( x + 3)2 + c = ( x + 4) + d Hướng dẫn: Xét modulo Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên dương y = x + x3 + x + x + Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên dương x3 − y − z =