mot so pp giai pt nghiem nguyen

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC Một ñiều quan trọng giải phương trình nghiệm nguyên biết ñược nghiệm thuộc tập ℤ tập rời rạc, có nghĩa x ∈ [ a; b ] ta hoàn toàn liệt kê tất giá trị x Vậy ñi tìm nghiệm phương trình nghiệm nguyên ñi ñánh giá miền nghiệm ñánh giá nghiệm với Dạng 1: ðánh giá trực tiếp ñược miền nghiệm Trong phương trình nghiệm nguyên mà vai trò biến nhau, ta thứ tự biến, từ ñó ñánh giá ñược cận giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, từ ñó biết ñược giá trị biến ñó, ta có sở ñể ñánh giá biến lại Ví dụ 1: Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: x3 + y3 = ( x + y ) Giải Phương trình tương ñương: ( x + y ) ( x + y − x − y − xy ) = Thấy ñược cặp ( k , − k ) , k ∈ ℤ ñều nghiệm phương trình Nếu x + y ≠ , phương trình tương ñương: x + y − x − y − xy = ⇔ ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) = 2 2 Suy ( x − 1) ≤ ( y − 1) ≤ , suy x, y số nguyên nhận giá trị ñoạn: 2 [0,2] Từ ñó ñược nghiệm là: ( 0,1) , (1,0 ) , (1, ) , ( 2,1) , ( 2, ) Ví dụ 2: (Romanian Mathematical Olympiad): Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 1 + + = x y z Giải - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Nhận thấy số x, y, z lớn Do vai trò x, y, z nhau, không tổng quát giả sử: ≤ x ≤ y ≤ z Suy 1 = + + ≤ ⇒ x≤5 x y z x • Với x = suy Suy ra: z = 10 + 1 + = ⇒ y ∈ {11,12, , 20} y z 10 100 ⇒ 100⋮( y − 10 ) ⇒ y = {11,12,14,15, 20} y − 10 Hay nghiệm là: ( 2,11,110 ) , ( 2,12,60 ) , ( 2,14,35 ) , ( 2,15,30 ) , ( 2, 20, 20 ) • Với x = suy 1 + = ⇒ y ∈ {3,4,5,6,7} y z 15 Thay vào phương trình ta ñược nghiệm: ( 3,4,60 ) , ( 3,5,15 ) , ( 3,6,10 ) • Với x = suy 1 + = ⇒ y ∈ {4,5} y z 20 Thay vào phương trình ta ñược nghiệm: • Với x = suy ( 4,4,10 ) 1 + = ⇒ y = z = , suy nghiệm ( 5,5,5 ) y z Ví dụ 3: (United Kingdom Mathematical Olympiad): Tìm tất số nguyên dương ( x, y , z ) cho:     1 +  1 +  1 +  = x  y  z  Ví dụ (Putnam MO): Tìm tất số nguyên dương n, k1; k2 ; ; kn thỏa mãn:  n  ∑ ki = n −  i =1  n  =1 ∑ i =1 ki - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Ví dụ 5:Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: ( xy + yz + zx ) = xyz Ví dụ 6: Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: xy + yz + zx − xyz = Ví dụ 7: Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: x y + y z + z x = xyz Ví dụ (Polish MO): Tìm tất các số nguyên ( a, b, c, x, y, z ) thỏa mãn: a + b + c = xyz   x + y + z = abc Với a ≥ b ≥ c ≥ 1, x ≥ y ≥ z ≥ Ví dụ 9: Cho x, y, z , u, v số nguyên dương thỏa mãn: xyzuv = x + y + z + u + v Tìm giá trị lớn max { x, y , z , u , v} Tổng quát ví dụ 9: Tìm max { x1 , x2 , , xn } với x1 , x2 , , xn ∈ ℕ* thỏa mãn: n n i =1 i =1 ∏ xi = ∑ xi Ví dụ 10: Tìm số nguyên dương phân biệt x, y, z , t thỏa mãn: x + y + z = t = 3( x + y + z + t ) Ví dụ 11: Tìm số nguyên dương x, y, z , t thỏa mãn:  x n + y = z n , n≥2  n n + = x y t  Ví dụ 12: Tìm tất cặp só nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn: x y = y x Ví dụ 13: Tìm tất cặp só nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn: x y + y = y x + x - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Hướng dẫn, lời giải, ñáp số       Ví dụ 3: Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ , ta có: = 1 +  1 +  1 +  ≤ 1 +  , x  y  z  z  suy ra: z ≤ Ví dụ 4: Áp dụng BDT Cauchy – Schwarz: 1 1 + + +  ≥ n kn   k1 k2 ( k1 + k2 + + kn )  Suy 5n − ≥ n ⇒ n ≤ Ví dụ 5: Phương trình tương ñương: 1 + + = x y z Tương tự ví dụ Ví dụ 6: ðể ñưa dạng trên, ta ñặt u = x − 1; v = y − 1; t = z − Ví dụ 7: Tương tự trên, chia hai vế cho xyz Ví dụ ðánh giá ñược bc yz có số nhỏ Ví dụ 9: Giả sử x ≤ y ≤ z ≤ u ≤ v , ta tính giá trị lớn z ðánh giá ñược: v < x + y + z + u + v < 5v - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Dạng 2: ðánh giá ẩn với Ví dụ (Titu Andreescu): Tìm tất số nguyên dương ( x, y, z , t ) thỏa mãn: x + y + z + xy + x ( z − 1) + y ( z + 1) = t Giải Do vế phải bình phương, ta ñánh giá vế trái cách chặn bới hai số phương, gần tốt Ta có: x + y + z + xy + x ( z − 1) + y ( z + 1) = x + y + z + xy + xz − x + yz + y = ( x + y + z ) − x + y > ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + + z − > ( x + y + z − 1) 2 Tương tự: x + y + z + xy + x ( z − 1) + y ( z + 1) < ( x + y + z + 1) Vậy ta có: ( x + y + z − 1) < t < ( x + y + z + 1) 2 2 Suy ra: t = x + y + z Thay vào hai ñiều kiện ta ñược x = y , suy t = x + z Vậy nghiệm phương trình là: ( k , k , n, 2k + n ) , k , n ∈ ℕ* Một số ví dụ áp dụng Ví dụ (Hungari MO): Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: x + ( x + 1) + ( x + ) + + ( x + ) = y 3 3 Ví dụ (Rumania MO): Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: ( x + y) + 3x + y + = z Ví dụ (Australian MO): Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: ( x + 1) − ( x − 1) 4 - Trang - = y3 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Ví dụ 5: Chứng minh phương trình: x + ax + bx + c = y Với a ∈ {3, 4,5} , b ∈ {4,5, ,12} , c ∈ {1, 2, ,8} , nghiệm nguyên dương Ví dụ (Russian MO): Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x − y ) = + 16 y Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên a thỏa mãn phương trình: a + a + a = 20092010 Ví dụ 8: Chứng minh tích số nguyên dương liên tiếp số phương - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ðỒNG DƯ Thường sử dụng với toán chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên: ðánh giá ñồng dư hai vế, thấy không Bài (Hungari MO): Chứng minh phương trình: ( x + 1) + ( x + ) + + ( x + 99 ) = y z 2 Không có nghiệm nguyên x, y, z với z > Giải 99 Chú ý: ∑( x + i) i =1 = 33 ( x + 300 x + 50.199 ) Suy y⋮3 ⇒ y z ⋮32 Mà vế phải không chia hết cho 9, nên phương trình vô nghiệm nguyên Bài (Titu): Tìm tất cặp số nguyên dương: ( x; y ) thỏa mãn: x − y ! = 2001 Hướng dẫn: Ta có: x − y ! = 2001 ⇔ x = y !+ 2001 Nếu y > ⇒ y !⋮9 ⇒ 2001 + y ! ≡ ( mod ) , hay 2001 + y ! không số phương, suy phương trình vô nghiệm Vậy y ≤ , xét trường hợp, suy nghiệm phương trình Bài (Bulgaria MO): Tìm ba số nguyên không âm thỏa mãn: x.7 y + = 3z Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y = Xét ñồng dư mod13, với ý: x + y ≡ ( mod13) Bài 5: Tìm tất các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: 3x − y = Với y ≥ , xét mod8 thấy vô lí, y < Bài 6: Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x − xy + y = −1 - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Cách 1: Sử dụng ñẳng thức: a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) Phương trình tương ñương: 27 x3 + 27 y + 43 − 4.27 xy = 37 = −1 x + y = S , ñưa phương trình ẩn S, P Cách 2: ðặt  xy P =  S3 +1 Tính ñược: P = , tìm ñiều kiện S ñể P nguyên 3S + Bài (IMO 37th): Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn: x y = y x Bài 8: Chứng minh phương trình: 4xy − x − y = z nghiệm nguyên dương Bài 9: Chứng minh tồn cặp số nguyên dương ( a; n ) thỏa mãn: a n+1 − ( a + 1) = 2001 n  x + y = z nghiệm nguyên Bài 10: Chứng minh hệ phương trình:  2 x + y = t  - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG QUY NẠP TOÁN HỌC Phương pháp quy nạp toán học Chứng minh mệnh ñề Pn ñúng với n ≥ n0 Có loại quy nạp bản: Loại 1: Chứng minh Pn0 ñúng Giả sử Pk , chứng minh Pk +1 Loại 2: Chứng minh Pn0 ; Pn0 +1; ; Pn0 + m ñúng Giả sử Pk ñúng, chứng minh Pk + m+1 ñúng Loại 3: Quy nạp kiểu Cosi Bài (Bulgarian MO): Chứng minh với số nguyên n ≥ , tồn số nguyên dương lẻ x, y thỏa mãn: x + y = 2n Giải Ta chứng minh tồn số nguyên dương lẻ xn ; yn thỏa mãn: xn2 + yn2 = 2n , ∀n ≥ Với n = , ta có: x3 = y3 = thỏa mãn Giải sử với n ≥ tồn số nguyên dương lẻ xn ; yn thỏa mãn: xn2 + yn2 = 2n Ta cần chứng minh tồn số nguyên dương lẻ xn+1; yn+1 thỏa mãn: xn2+1 + yn2+1 = 2n+1 2  x ± yn   xn ∓ yn  2 n +1 Ta có:  n  +  = ( xn + yn ) = 2     Do hai số xn + yn xn − yn ; lẻ, ta xét hai trường hợp: 2 - Trang - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Nếu xn + yn x − yn x − yn lẻ n = xn + n số lẻ 2 Ta chọn xn+1 = Nếu xn + yn x − yn ; yn+1 = n 2 xn − yn x + yn x + yn lẻ n = xn + n số lẻ 2 Ta chọn xn+1 = xn − yn x + yn ; yn+1 = n 2 Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình: x + y + z = 59n có nghiệm nguyên dương Với n = , phương trình có nghiệm là: ( x1; y1; z1 ) = (1;3;7 ) Với n = , phương trình có nghiệm là: ( x2 ; y2 ; z2 ) = (14;39;42 ) Giả sử với n ∈ ℕ* , phương trình có nghiệm ( xn ; yn ; zn ) Xét ( xn+ ; yn+ ; zn+ ) với: xn+ = 59 xn ; yn+ = 59 yn ; zn+ = 59 zn Ta thấy: xn2+ + yn2+ + zn2+ = 59n+ , hay ( xn+ ; yn+ ; zn+ ) nghiệm n + Theo quy nạp ta có ñiều phải chứng minh Bài 3: Chứng minh với n ≥ 3; n ∈ ℕ , phương trình: 1 + + + = x1 x2 xn Có nghiệm nguyên phân biệt Giải Với n = , ta có nghiệm: ( x1; x2 ; x3 ) = ( 2;3;6 ) Giả sử ñúng với n = k , nghĩa tồn số nguyên dương phân biệt: ( x1; x2 ; ; xk ) thỏa mãn: 1 + + + = x1 x2 xk - Trang 10 - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Suy ra: 1 1 1 1 + + + = ⇔ + + + + =1 x1 x2 xk 2 x1 x2 xk Chọn k + số: 2;2 x1;2 x2 ; ;2 xk số nguyên dương phân biệt thỏa mãn phương trình Vậy toán ñược chứng minh Bài (Mathematical Reflections): Chứng minh phương trình: 1 n +1 + + + = 2 x1 x2 xn xn+1 Có nghiệm nguyên dương n ≥ Hướng dẫn Với n = 1;2 , dễ dàng thấy ñược phương trình vô nghiệm nguyên dương Với n = phương trình có nghiệm ( 3;4;5 ) Dễ dàng chứng minh ñược quy nạp với n ≥ phương trình có nghiệm nguyên n +1 n + dương, với ý: = − xn+1 xn+1 xn+1 Bài 5: Chứng minh với n ≥ 412 tồn số nguyên dương x1; x2 ; ; xn thỏa mãn: 1 + + + = x1 x2 xn Bài (Titu): Chứng minh với số nguyên n ≥ tồn số nguyên lẻ x; y thỏa mãn: x − 17 y = 4n Bài (Dorin Andrica): Chứng minh với số nguyên dương n tồn số nguyên x; y thỏa mãn: x + xy + y = n Bài (Titu): Chứng minh với số nguyên dương n tồn số nguyên x; y; u; v; w thỏa mãn: ( x + y )( u + v + w2 ) = 2009n - Trang 11 - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – manhsang12.1@gmail.com Bài (Romanian MO): Nếu a1; a2 ; dãy số nguyên dương phân biệt với tất cá số n ≥ ta có bất ñẳng thức: a12 + a22 + + an2 ≥ 2n + ( a1 + a2 + + an ) Bài 10: Tìm tất nghiệm nguyên dương phân biệt phương trình: x12 + x22 + + x2002 = 1335 ( x1 + x2 + + x2002 ) - Trang 12 -