pp vecto giai pt vo ti

Phương pháp vecto giải phương trình I Lí thuyết Sử dụng số bất ñẳng thức ñơn giản: u1 + u2 + + un ≤ u1 + u2 + + un " = " ⇔ ui ↑↑ u ↑↓ v u +v ≥ u − v "="⇔  v = u.v ≤ u v " = " ⇔ u / / v (u ) ≥0 II Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình: x − x + + x + x + 10 = 29  x − x + ≥ ñúng ðiều kiện:   x + x + 10 ≥ Nhận xét ñược: 29 = + 25 = 22 + 52 Vì ta chọn hai vecto u; v cho: u = x − x + , v = x + x + 10 u + v = 29 ñây việc chọn hai vecto u v có chứa x, tổng hai vecto không x, hệ số x hai vecto ñối Từ nhận xét ñó, ta có cách chọn vecto: u = (1 − x;2 ) v = ( x + 1;3) ta có: u = x − x + ; v = x + x + 10 ; u + v = ( 2;5) Phương trình trở thành: u + v = u + v ⇔ u ↑↑ v ⇔ Vậy phương tình có nghiệm nhất: x = 1− x = >0⇔ x= x +1 Qua tập thứ nhất, thấy cách sáng tác tập thuộc dạng ñơn giản Chúng ta cần lấy hai vecto ban ñầu thỏa mãn tổng hai vecto không chứa x, ñưa phương trình dựa vào ñộ dài vecto ñó Một số ví dụ: x − x + + x − 12 x + 13 = 13 x + 12 x + + x − 12 x + = 29 Bài 2: Giải phương trình: 2x2 − x + + 2x2 − ( ) − x + + x2 + ( ) +1 x +1 = Ta thấy ñộ khó ñã tăng lên nhiều so với Trước hết, muốn dùng cách phải chọn tới vecto, ñiều ñó không quan trọng, vấn ñề chọn vecto nào? Do sử dụng ñến ñẳng thức: ( a + b ) = a + 2ab + b , cần có hệ số cho − 1; + việc thêm bớt ñể ñẳng thức khó khăn hạng tử a.b, ñể hệ số là: Vì tư tưởng ñơn giản nhân hai vế với Phương trình tương ñương: 4x2 − 4x + + x2 − ( ) − x + + x2 + ( ) +1 x + = ⇔ ( x − 1) + + x − 3x + + x + x + + x + 3x + + x + x + = ⇔ (1 − x ) +1 + (1 − ) x + ( x + 1) + (1 + ) 3x + ( x + 1) = 2 ðến ñây ñã nhận thấy việc ñặt vecto: ( ) ( ) u = (1;1 − x ) ; v = − 3x; x + ; w = + x; x + 1 − 3x x + = ≥ 1 − 3x x +  u ↑↑ v = ≥0   − 2x ⇔ ⇔ ⇔ x=0 Phương trình tương ñương:  − 2x x x + + u ↑↑ w  1 − 3x = + x  = − x ≥  Vậy phương trình có nghiệm nhất: x = Một toán với cách ñặt vecto tương ñối phức tạp Chúng ta ñến với tập tiếp theo: Bài 3: Giải phương trình: x − 18 x + 36 x − x = + x 9 x3 − 18 x ≥ 9 x − 18 ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ [ 2;4]   ðiều kiện:  x x − ≥ ≤ 36  36 x − x ≥  Với tập này, hai vế ñều chứa x, ñó vế phải x không căn, vế phải thấy ñược ñộ dài vecto Ta quan tâm ñến vế trái phương trình: Nếu bình phương cộng với ta ñược: 18 x , ñó ñộ dài vecto, vecto ñó là: u = ( ) x − 18 x ; 36 x − x , nhận thấy vecto lại là: v = (1;1) Khi ñó ta có: u.v = x − 18 x + 36 x − x u v = 18 x = x Từ phương trình có: + x = u.v ≤ u v = x ⇔ ( x − 3) ≤ ⇔ x = Thử lại thấy x = nghiệm phương trình Ví dụ 4: Tìm m ñể phương trình có nghiệm x2 + x + − x2 − x + = m ñiều kiện: x Dạng tập này, cần tìm khoảng giá trị vế trái, từ ñó pt có nghiệm m thuộc khoảng ñó Nhận thấy dạng phương trình tương tự tập 3, có khác vế trái có hiệu hai căn, nghĩ ñến bất ñẳng thức: u + v ≥ u − v Biến ñổi phương trình tương ñương: 1 1   x+  + − x−  + =m 2 2    1 3 3 ðặt: u =  x + ;  ; v =  − x; −  2    2 (chú ý ñến ñiều kiện xảy dấu = bất ñẳng thức hai vecto ngược hướng, cần chọn tung ñộ mang dấu ñối nhau) Từ phương trình ta có: m = x2 + x + − x2 − x + = u − v ≤ u + v = + = Dấu xảy khi: có vecto , hai vecto ngược hướng Do u.v = − x − = − x − < nên hai vecto ngược hướng 4 Nếu hai vecto ngược hướng, có nghĩa: x + 1 1  = −  − x  ⇔ = − (vô lí), hay hai vecto không 2 2  ngược hướng Vậy phương trình có nghiệm khi: m ∈ ( −1;1) Qua số ví dụ trên, ñã có số tập vận dụng bất ñẳng thức ñã nêu phần ñầu Việc nhận dạng ñược bất ñẳng thức cần dùng chủ yếu dựa vào dạng phương trình ñã cho, ñây công việc then chốt ñể tìm lời giải cho toán Một số tập vận dụng x − x + + x − 3x + = 2 10 − x − x + 18 − x − x = 77 x x + + − x ≥ x + x + x + x − ≥ 3x + x +