PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH Bài 1: Cho tam giác ABC vuơng tại A khơng phải tam giác cân, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho BM = CN..
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG QUA ðIỂM CỐ ðỊNH Bài 1: Cho tam giác ABC vuơng tại A khơng phải tam giác cân, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho BM = CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luơn qua một điểm cố định
Với các bài tốn chứng minh đường thẳng đi qua
điểm cố định, nếu làm theo phương pháp tổng hợp
thì trước hết phải dự đốn được điểm cố định, sau đĩ
chứng minh đường thẳng luơn đi qua điểm đĩ
Với bài tốn này, chúng ta cĩ thể gắn tọa độ và
làm theo phương pháp tìm điểm cố định của họ
đường thẳng
Vấn đề gắn trục tọa độ vào điểm nào để việc tính
tốn khơng phức tạp, tạo ra ít tham số nhất cĩ thể
Nhận thấy tại điểm A cĩ AB và AC vuơng gĩc, vì
vậy ta chọn gốc tọa độ là điểm A với hai trục trùng
với AB và AC
Chọn trục Axy sao cho tia Ax trùng tia AB, tia Ay trùng tia AC Khi đĩ ta cĩ: A(0;0); B(b;0); C(0;c) Gọi tọa độ điểm M(m;0) trong đĩ 0 ≤ m ≤ b, ta đi tìm tọa độ điểm N theo m
Gọi N(0;yN) (0 ≤ yN ≤ c), suy ra: CN2 = BM2 ⇔ yN = c + m – b
Suy ra trung điểm của MN là P ;
m c+ −m b
, MN = −( m c; + −m b)
2 2
0
m
2
x
y
M
C(0;c)
N
Trang 2( ) ( ) ( )
2
0 2
Nhận thấy hồnh độ và tung độ của I đối nhau, vì vậy I thuộc đường phân giác thứ hai, đồng thời
IB = IC, vậy I là giao điểm của đường phân giác thứ hai và trung trực của BC
Nếu làm theo phương pháp tổng hợp, ta phải dự đốn được điểm cố định, sau đĩ chứng minh đường thẳng luơn qua điểm đĩ Với một số bài, việc dự đốn điểm cố định là khơng đơn giản, vì vậy phương pháp tọa độ tỏ ra hiệu quả và đơn giản
Ví dụ 2 (Ba lan - 1992): Trong mặt phẳng, cho trước điểm A, B Xét điểm C thay đổi trên một nửa mặt phẳng bờ AB Dựng ra phía ngồi tam giác các hình vuơng ACED và BCFG Chứng minh rằng DG luơn đi qua một điểm cố định khi C thay đổi
Giải
Chọn hệ trục tọa độ với cơ sở là
hai điểm cố định A và B Do vai
trị A, B như nhau, ta chọn A làm
gốc tọa độ
Chọn hệ trục Axy, tia Ax trùng
tia AB, tia Ay nằm phía chứa
điểm C
Suy ra: A(0;0); B(b;0); C(x0;y0)
(y0 > 0)
Các điểm cịn lại do 3 điểm trên
sinh ra, vì vậy ta sẽ tính được tọa độ của điểm D và điểm G theo tọa độ của A, B, C
Cĩ D(-y0;x0); G(b + y0; b - x0)
=
x
y
F
E
G
D
C
Trang 3(b 2x x) 0 (b 2y y) 0 b x( y) 0
Suy ra ñiểm cố ñịnh mà DG ñi qua là I ;
2 2
b b
Nhận thấy ñiểm I là ñiểm nhìn AB dưới một tam giác vuông cân ñỉnh C
Trang 4Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho ñường tròn ñường kính AB, ñường thẳng (d) vuông góc với AB tại ñiểm C cố ñịnh
H là ñiểm thay ñổi trên (d) AH và BH cắt ñường tròn tại D và E Chứng minh rằng DE luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
Bài 2: Cho góc Axy vuông ñiểm A ðiểm B cố ñịnh thuộc Ax, C thay ñổi thuộc Ay ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với Ay và BC lần lượt tại D và E Chứng minh rằng ñường thẳng
DE luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A Xét ñiểm D trên cạnh AB và ñiểm E trên cạnh BC sao cho hình chiếu của DE trên BC có ñộ dài bằng nửa BC Chứng minh rằng ñường thẳng vuông góc với DE tại E luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn (O) M là một ñiểm thay ñổi trên BC không chứa
A Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên MB và MC
a) Chứng minh rằng KH luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi M thay ñổi
b) Gọi P, Q là ñiểm ñối xứng của M qua AB, AC Chứng minh rằng PQ luôn ñi qua một ñiểm
cố ñịnh
Bài 5: Cho ñường tròn (O) và ñiểm I cố ñịnh nằm trong ñường tròn Hai dây cung AB và CD thay ñổi qua nhưng luôn vuông góc nhau tại I Gọi M, N là trung ñiểm của AC và BD Chứng minh rằng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh
Bài 6: Cho ñường tròn tâm O ñường kính AB T là một ñiểm cố ñịnh trên ñoạn OB và một ñường thẳng (d) qua T vuông góc với AB M là một ñiểm di chuyển trên (O) sao cho MA < MB
MA và MB lần lượt cắt ñường thẳng (d) tại P và Q BP cắt (O) tại N Chứng minh MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh