Trần Mạnh Sang Số 04-2009 Dãy số Trần Mạnh Sang1 Nếu (xn ) dãy có phương trình hồi quy: xn+2 = uxn+1 + vxn ta có phương trình đặc trưng dãy hồi quy : x2 − ux − v = với hai nghiệm a, b Chú ý xn = an xn = bn thỏa mãn phương trình hồi quy a2 = ua + v, b2 = ub + v u Nếu a = b a = b = xn = nan thỏa mãn phương trình hồi quy Nếu a = b ta tìm c1 , c2 ∈ R cho x1 = c1 a + c2 b, x2 = c1 a2 + c2 b2 Khi ta có :xn = c1 an + c2 bn hoàn toàn thỏa mãn phương trình hồi quy Ta có x1 , x2 xác định c1 , c2 dãy xn Hơn dãy thỏa mãn phương trình hồi quy : xn = c1 an + c2 bn với c1 , c2 xác định Tương tự với a = b dãy thỏa mãn :xn = c1 an + c2 nbn c1 , c2 xác định qua :x1 = c1 a + c2 b x2 = c1 a2 + c2 b2 Ta có bổ đề sau: √ Nếu d ∈ Z (thỏa mãn: s ∈ Z : s2 |d d = )và x ∈ Q dsao cho :x2 ∈ Z Khi : x ∈ Z Chứng minh: √ √ Đặt x = p + q d với p, q ∈ Q Khi x2 = p2 + dq + 2pq d ∈ Z Vì : x2 ∈ Z nên pq = Nếu p = dq ∈ Z điều có nghĩa mẫu q chia hết d Nhưng d square-free nên xảy điều mẫu q 1, tức q ∈ Z Tương tự ta giả sử q = p ∈ Z Do x ∈ Z Bài tập: 1, (RMO2002)Giả sử dãy (an ) định nghĩa sau:a0 = a1 = an+1 = 14an − an−1 với n ≥ Chứng minh 2an − 1là perfect square Giải: Ta có kết sau: Với n ∈ N định nghĩa cn sau: c0 = −1; c1 = cn = 4cn−1 − cn−2 , n ≥ Khi cn = √ 1+ 2+ √ n với n ∈ N Bình phương vế ta có : √ √ c2n + = 1− 7+4 2 Ta cần chứng minh : + √ 1− √ n + 1+ 2− √ n √ 7−4 n c2n + = an điều ta dễ dàng làm cách tìm an theo tính chất nêu 2, (Shortlist 1988)Cho dãy nguyên an định nghĩa sau: a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 2an+1 + an , n ≥ Chứng minh 2k |a − n 2k |n Giải: Sử dụng tính chất ta tìm được: √ √ 1 an = √ (1 + 2)n − √ (1 − 2)n 2 2 Khi ta có cách: Cách 1: Chứng minh quy nạp an lẻ n lẻ xây dựng dãy bn với b0 = b1 = bn = 2bn−1 + bn−2 Chứng minh bn chia hết cho không chia hết cho với n quy nạp Từ công thức tường minh an bn a2n = an bn Email: Trần Mạnh Sang Số 04-2009 Cách 2: Chứng minh quy nạpa2n+1 = (an )2 + (an+1 )2 a2n = 2an (an + an−1 ) 3, (RMO1999)Chứng minh với số nguyên dương n : n 2k C2n+1 22n−2k 3k k=0 tổng bình phương Giải: √ √ √ √ α2 β2 = 2+ = 2− Đặt α = 1+ 3, β = 1− Tn = (α2n+1 +β 2n+1 ) Ta có : αβ = −2, 2 n √ √ 2k Áp dụng khai triển nhị thức (1 + 3)n (1 − 3)n , ta tìm được: Tn = C2n+1 3k k=0 số nguyên với n √ √ Áp dụng khai triển nhị thức với (2 + 3)2n+1 (2 − 3)2n+1 , ta có : α2 2n+1 β2 ) + ( )2n+1 Sn = ( α4n+2 + β 4n+2 22n+3 α4n+2 + 2(αβ)2n+1 + β 4n+2 = + 22n+3 (α2n+1 + β 2n+1 )2 = + 22n+3 Tn2 + 2n+1 2 Do : 22n+1 Sn = Tn2 + 22n Khi 22n |Tn2 Tn2 22n+1 Tn ≡ 2n (mod22n+1 ) Hơn nữa: 2 Tn − 2n Tn2 Tn + 2n + = Sn = 2n+1 + 2 2n+1 2n+1 = Đây điều phải chứng minh 4,(BMO2002) Cho dãy a1 = 20, a2 = 30, an+1 = 3an −an−1 , n ≥ Tìm tất n cho 1+5an an+1 bình phương an−1 + an+1 5, Cho a0 = a1 = an = 98 an + Chứng minh : bình phương 6, Cho a1 = với n ≥ ta có : an+1 = 2an + 3a2n − Chứng minh a3n+1 = an+1 (a2n+1 + 1) 7, Cho dãy :a0 = 1, a1 = an+1 = 4an + an−1 Chứng minh a6n lập phương a2n số hữu tỷ 8,(MOSP2001) Cho a0 = 4, a1 = 22 an+1 = 6an − an−1 Chứng minh biểu diễn an sau: y2 + an = n yn − xn với xn , yn ∈ N 9,(Shortlist 1984) Cho c ∈ N∗ Cho x1 = 1, x2 = c xn+1 = 2xn − xn−1 + 2với n ≥ Chứng minh với k tồn r cho xk xk+1 = xr 10, (VMO1998)Cho a, b ∈ Z Định nghĩa dãy (an ) sau: a0 = a, a1 = b, a2 = 2b − a + an+3 = 3an+2 − 3an+1 + an Tìm Trần Mạnh Sang Số 04-2009 a, b cho an bình phương với n ≥ 1998 11, (Bulgaria 2000) Cho dãy (an ) cho a1 = 43, a2 = 142, an+1 = 3an + an−1 Chứng minh (an , an+1 ) = Chứng minh với bất kỳm ∈ N tồn vô hạn số n cho m|U CLN (an − 1, an+1 − 1)