1 số phương pháp giải PT nghiệm nguyên

I, Các công thức về chia hết đáng chú ý:II, Các tính chất tiêu biểu của số chính phương.. Số chính phương chia hết cho thì chia hết Tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1

I, Các công thức về chia hết đáng chú ý:

II, Các tính chất tiêu biểu của số chính phương.

Số chính phương có tận cùng là

Số chính phương chia hết cho thì chia hết

Tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số nguyên đó bằng 0

Nếu 2 số nguyên có UCLN là 1 và có tích là 1 số chính phương thì mỗi số đó đều chính phương

Số chính phương chia 3 dư 0,1 Số chính phương lẻ chia 4 hay 8 đều dư 1

III, Các phương pháp giải PTNN:

1, Đưa về PT ước số:

Lưu ý, nếu ta đưa được về dạng thì để rút bớt các TH, người ta thường đưa

cùng tính chẵn lẻ, ta sẽ rút bớt TH xảy ra

2,Tách giá trị nguyên :

Lời giải:

3,Sử dụng biệt thức Delta ( ).

Lời giải:

PT có nghiệm khi

Phương pháp 1 Phân tích

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

*Phân tích thành tổng các bình phương, lập phương :

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Phương pháp 2 Nhận xét về ẩn số

1,Nếu các ẩn x,y,z,t có vai trò như nhau thì ta có thể giả sử

hoặc ngược lại

2, Nếu các ẩn có cấu trúc giống nhau như lũy thừa cùng bậc, các số nguyên liên tiếp thì ta

sẽ khử ẩn để đưa về dạng quen thuộc hoặc PT ít ẩn hơn

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên các phương trình :

a,x+y+z=xyz

b, 5(xy+yz+xz)=4xyz

Phương pháp 3 "Kẹp" giữa 2 số bình phương, lập phương, các tích các số nguyên liên

tiếp

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình sau:

Ta thấy

Phương pháp 4 Sử dụng phép chia hết và phép chia có dư

(còn nữa)

Bài tập (Phương pháp 4) : Tìm x,y Z

Z+)

Phương pháp 5 Phương pháp xuống thang :

Ví dụ : Tìm x,y,z Z thỏa mãn

Ta thấy chỉ có x=y=z=0 thỏa mãn

*Với phương pháp này thường cho ta bộ nghiệm bằng 0

Phương pháp 6 Phương pháp thế

Ví dụ như bài toán cho dữ kiện a+b+c=0 thì ta có thể viết a=-(b+c) ; b=-(a+c) ; c-(a+b) rồi áp dụng vào bài toán

Phương Pháp 7 : Tích 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số có 1

số bằng 0

=> hoặc là hoặc là

Bài tập áp dụng :

)

Trong nhiều TH ta lại ko xét mà ta xét : PT có nghiệm nguyên khi là số chính phương.Rồi đưa về PT ước số

Lời giải:

nguyên khi là số chính phương.Hay:

Đây ;là PT ước số, ta dễ tìm đựoc GT của rồi tìm

4,Đưa về tổng các bình phương.

Lời giải:

Xét các TH rồi tìm ra x,y

5,Sử dụng tính chất về chẵn lẻ, chia hết.

Lời giải :

lẻ, nên Thay vào:

chẵn nên Lại thay vào:

( vô lí vì VT là số chẵn, VP là số lẻ)

Vậy PT vô nghiệm nguyên

6,Sử dụng dạng phân tích của liên phân số:

Lời giải:

Vì đây là dạng phân tích duy nhất của nên

Phương pháp 8 : Sử dụng tính chẵn lẻ: (Phương pháp này ko chắc ko cần VD )

Phương pháp 9 : Dùng cách viết dưới dạng liên phân số

VD :Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

=

(x+y)+

=5 +

(x+y)+

=5+

Vì sự phân tích trên là duy nhất nên

Bài tập : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

b,

c,

-Vận dụng tính chất của tập số nguyên

-Vận dụng tính chất số nguyên tố, số vô tỉ để tìm nghiệm

Sử dụng 1 số mệnh đề sau

Với mọi số nguyên a thì +1 có ước số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên)

Cho P là số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên dương) a, b là số nguyên Khi đó nếu

chia hết cho P