Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

wWw.VipLam.Net CHƢƠNG I: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Khơng có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm ngun để giải người ta thường áp dụng số phương pháp sau kết hợp phương pháp tuỳ theo cụ thể Sau số phương pháp thường dùng I- Phƣơng pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn y2 – 2x2 = Hƣớng dẫn: Ta có y2 – 2x2 = y2 = 2x2 +1 y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + x2 = k2 + 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình (2x + 5y + 1)( + y + x2 + x) = 105 x Hƣớng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( Ta thấy 105 lẻ x + y + x2 + x = x + y + x2 + x) = 105 2x + 5y + lẻ x 5y chẵn y chẵn + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn x lẻ x =1 x=0 Thay x = vào phương trình ta (5y + 1) ( y + 1) = 105 y = y = 26 5y2 + 6y – 104 = ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = nghiệm phương trình II Phƣơng pháp : Phƣơng pháp phân tích Thực chất biến đổi phƣơng trình dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình wWw.VipLam.Net x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Hƣớng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 (x+1)4 – y2 = x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= (x+1)2 – y = 1 + y = 1- y (x+1)2 + y = (x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y (x+1)2 + y = -1 (x+1)2 = y=0 x = x = -2 x+1 = Vậy ( x, y ) = ( 0, ); ( - 2, ) III Phƣơng pháp : Phƣơng pháp cực hạn Sử dụng số tốn vai trị ẩn bình đẳng nhau: Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun dƣơng phƣơng trình: ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt Hƣớng dẫn: Ta giả sử x y z t Ta có: ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt 2= + 5 + xzt yzt xyt * Với t = ta có 2= yz + + xz + + xyz 30 10 xyzt t t = t = 15 (x+ y + z + 1) + 10 = xyz xy + 15 30 xyz z Nếu z = có (x+ y ) + 20 = 2xy 35 x = y=3 t3 z 15 z= 1; ; (2x – 5) (2y - 5) = 65 x=9 y=5 Ta nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị chúng Với z = 2; z = phương trình khơng có nghiệm nguyên * Với t = (x+ y + z ) + 20 = xyz 4= xy z 35 z = (vì z t 2) + yz + xz + 20 35 xyz z (8x – 5) (8y – 5) = 265 wWw.VipLam.Net nên 8x – Do x y z 8y – 11 (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm nghiệm phương trình (x, y, z) = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị IV- Phƣơng pháp loại trừ(phƣơng pháp 4) Khẳng định nghiệm loại trừ giá trị lại ẩn Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun dương phương trình 1! + 2! + … + x! = y Hƣớng dẫn: Với x x! có tận 1! + 2! + 3! + 4! Có tận 1! + 2! + … + x! có tận 3, khơng số phương (loại) Vậy x < mà x nguyên dương nên: x= 1; ;3 ; Thử vào phương trình ta (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) thoả mãn Ví dụ 6: Tìm tất nghiệm ngun phƣơng trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Hƣớng dẫn: Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x y2+4y+1=4 x4 + x3 + 4x2 + 4x+1 (2x2 + x ) - (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1) hay (2x2 + x + 1) - (2y+ 1)2 = x(x-2) Ta thấy: Nếu x> x< - (3x + 1) (x +1) > Nếu x > x < -1 x (x-2) > Nếu x>2 x< (2x2 + x) x2 + y y  x2 = 3025 3, x2 chia cho dư chia cho dư mà 3026 chia cho dư (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) VI Phƣơng pháp : Sử dụng tính chất số ngun tố Ví dụ 9: Tìm x, y, z ngun tố thoả mãn xy + = z Hƣớng dẫn: wWw.VipLam.Net Ta có x, y nguyên tố xy + = z Mà z nguyên tố z>3 xy chẵn z lẻ x chẵn Xét y = 22 + = nguyên tố Xét y> y = 2k + (k Có chia cho dư x=2 z = (thoả mãn) 22k+1 + = z N) (2.4k+1)  4k + = z z không thỏa mãn (loại) Vậy x = 2, y = 2, z = thoả mãn VII Phƣơng pháp 7: Đƣa dạng tổng Ví dụ 10: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình x2 + y2 – x – y = Hƣớng dẫn: Ta có x2 + y2 –x – y = x2 + y2 – x –4y = 32 (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phương 32 52 Do ta có 2x 2y =3 =5 2x =5 =3 2y Giải ta (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hoán vị Ví dụ 11: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình x2 – 4xy + 5y2 = 169 Hƣớng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 =0 x 2y y =13 x 2y y =12 x y 2y =13 =0 =5 x y 2y =12 =5 Giải ta (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) VIII Phƣơng pháp 8: Lùi vơ hạn Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm phƣơng trình wWw.VipLam.Net x2 – 5y2 = Hƣớng dẫn: Giả sử x0, y0 nghiệm phương trình x2 – 5y2 = x0  đặt x0 = x1 ta có x - 5y = 2 0 Ta có (5x1) – 5y = 5x - y = y0  đặt y0 = 5y1 x - 5y = 2 2 1 Vây (x0,,y0) nghiệm phương trình cho ( x0 , y0 ) nghiệm phương trình cho Cứ tiếp tục lập luận ( x0 , k y0 ) với k nguyên dương nghiệm k phương trình Điều xảy x0 = y0 = Vậy phương trình có nghiệm x = y = Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình x2 + y2 + z2 = x2 y2 Hƣớng dẫn: x2 , y2 chia cho dư Nếu x, y số lẻ x2y2 chia cho dư z2 chia cho dư (loại) x2 + y2 chia cho dư mà x2 + y2 + z2 = x2 y2 x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn x2 , x2y2 chẵn x2  x2 y2  (y2 + z2)  y z phải đồng thời chẵn Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 Ta cóx + y +z = x y 2 2 1 1 wWw.VipLam.Net lập luận tương tự ta có x + y + z = 16 x y 2 2 2 2 2 Quá trình tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) nghiệm phương trình ( x1 , k y1 k , z1 k ) nghiệm phương trình với k nguyên dương x1 = y1 = z1 = Vậy pt có nghiệm (0, 0, 0) IX Phƣơng pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm phƣơng trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 14: Giải phƣơng trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Hƣớng dẫn: Ta có pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = y2 + (4x + 2)y + x2 + 4x + = ) (*) coi x tham số giải phương trình bậc pt (*) ẩn y ta có y = -(2x + 1) Do y nguyên, x nguyên Mà ' x ' x ' x nguyên = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – (x- n) (x+ n) = x–n=x+n= x2 – = n2 (n º Z) x= Vậy phương trình có nghiệm ngun (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Ví dụ 15: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình x2 – (y+5)x + 5y + = Hƣớng dẫn: Ta có x2 – (y+5)x + 5y + = coi y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1, x2 x1+x2=y+5 Ta có x x =5y+2 5x1+5x2=5y+25 x1x2=5y+2 x1 + 5x2 – x1x2 = 23 (x1 -5) (x2 -5) = Mà = 1.2 = (-1)(-2) x1 + x2 = 13 x1 + x2 = y = y = wWw.VipLam.Net thay vào phương trình ta tìm cặp số (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); nghiệm phương trình X- Phƣơng pháp 10 : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 16: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình x2 –xy + y2 = Hƣớng dẫn: 2 Ta có x –xy + y = y (x- ) =3- 3y y Ta thấy (x- )2 3- 3y 2 -2 y 2; 1; thay vào phương trình tìm x y= Ta nghiệm nguyên phương trình : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) CHƢƠNG II: BÀI TẬP RÈN TƢ DUY SÁNG TẠO Bài 1:Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình 2x + 3y = 11 Hƣớng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = Vì 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 2(x-4) + 3(y-1) = 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = Đặt x – = 3k y – = 2k với ( k Vậy nghiệm tổng quát pt : Z) x = – 3k y = 1+ 2k (k Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm ngun đặc biệt (x0, y0) phương trình vơ định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chất chia hết Ta có 2x + 3y = 11 x= 11 3y = 5- y- Do x, y nguyên y y nguyên đặt y =k y = 2k +1 x = 4- 3k (k Z Vậy nghiệm tổng quát y=2k+1 x=4-3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên dƣơng (x,y) thoả mãn phƣơng trình 6x2 + 5y2 = 74 wWw.VipLam.Net Hƣớng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 6x2 –24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) 6(x2 – 4)  x2 = 5t + (6, 5) = x2 –  (t N) Thay x2 – = 5t vào phương trình y2 = 10 – 6t t x2>0 lại có y2>0 t = t = t với t = ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) Với t = ta có mà x, y x2 = x= y2 = y= x = 3, y = thoả mãn Z Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74 y chẵn < y2 < 14 y2 = x2 = Cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 5x2 + 5y2 + x2 + = 75 mà < x2 x2 +  x2 = x2 = 12 Với x2 = y2 = 10 loại Với x2 = y2 = thoả mãn cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Bà i 3: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình:x2 + y2 = 2x2y2 Hƣớng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b a b a b Ta có a + b = ab 2a = 2a2 Nếu a = b b2 = Nếu a = - b a a= a2 = b a= a= 0, a= a=b=0 b (a,b) = (0, 0); (1, 1) (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 Ta giả sử x2 y2 x2 + y2 y2 2x2 y2 2y2 wWw.VipLam.Net Nếu y = phương trình có nghiệm (0;0) Nếu y x2 x2= x2 = 1 y2 = (loại) y2 = (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1); (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 = x2y2 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= Mà = 1.1 = (-1)(-1) x2y2 –2x2 – 2y2 + = (2x2 – 1) (2y2 - 1) = (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên phƣơng trình x2 –3xy + 2y2+ = Hƣớng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) nghiệm phương trình Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + = ẩn x ta tính Phương trình có nghiệm tự nhiên y2 – 24 = k2 y (y – k)(y + k) = 24 y = y2 – 24 số phương (k N) mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k y – k chẵn y+k=6 k=12 y = y+ y=7 y-k=4 y-k=2 Thay vào ta tìm (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = Hƣớng dẫn: Cách 1: 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = Ta có phương trình cho Coi x ẩn y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Xét y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên y Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 (2y + 1) = 28 - k số phương k2 + 3(2y + 1) = 84 28; (2y + 1)2 lẻ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 y = 0, 1, -2, 2, -3 Thử trực tiếp vào phương trình ta tìm cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn 10 wWw.VipLam.Net Cách 2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y Z a, b Z phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 2a2 – 4b + a – 10 = 4a2 – 8b + 2a – 20 = (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = lại có (x+ y)2 xy a2 2a2 + 21 8b + 21 (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 4b (a+ 1)2 + 3a2 mà (a+ 1)2 số phương a 2a2 + 21 (a+ 1)2 (a+ 1)2 21 {1, 4, 9, 16} {0, 1, 2, 3} Với a = 12 + = 8b + 21 Với a = (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 loại Với a = (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = 8b = 20 loại b=0 (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loại xy=0 Vậy a = 2, b = x+y=2 (x, y )= (0, 2); (2, 0) thoả mãn Với a = Bài 6: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ hai đội biết số đấu thủ đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ Hƣớng dẫn: Gọi x, y số đấu thủ đội đội (x, y nguyên dương ) Theo ta có xy = (x + y) Đây phương trình nghiệm ngun ta giải cách sau  Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy – 4x – 4y + 16 = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có đội có số đấu thủ lẻ x–4=1 x=5 y-4=16 y=20 (x-4) (y - 4) = 16 x=20 y=5 Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Khơng tính tổng quát ta giả sử x y Ta có x, y nguyên dương xy = (x + y) + x lại có Mà 4 4 x y x + 8 y x x x =1 y x= {5, 6, 7, 8} x>4 x Thử trực tiếp ta x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy đội có đấu thủ cịn đội có 20 đấu thủ 11 wWw.VipLam.Net Bài 7: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đƣờng cứu nƣớc tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hƣớng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) loại Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy (x, y nguyên dương, x, y 9) Theo ta có 1911 - 18 xy = + + x + y = 2y  11 mà (2, 11) = Nên y = 11x + 2y = 99 y  11 mà y x=9 Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Bài 8: Hãy dựng tam giác vng có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đƣợc đơn vị Hƣớng dẫn: Giả sử cạnh đo đơn vị cạnh huyền (a = 7) b2 + c2 = 72 b2 + c2  b  7; c  (vì số phương chia hết cho dư 0, 1, 4, 2) lại có < b, c < loại Ta có a2 – c2 = 49 Cạnh đo cạnh góc vng giả sử b = a+c=49 a=25 (a+c)(a-c) = 49 a-c=1 c=24 Vậy tam giác cần dựng có số đo cạnh 7, 25, 24 12 ... nghiệm phƣơng trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 14: Giải phƣơng trình nghiệm. .. nghiệm phương trình cho Cứ tiếp tục lập luận ( x0 , k y0 ) với k nguyên dương nghiệm k phương trình Điều xảy x0 = y0 = Vậy phương trình có nghiệm x = y = Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình x2... 2 2 2 Quá trình tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) nghiệm phương trình ( x1 , k y1 k , z1 k ) nghiệm phương trình với k nguyên dương x1 = y1 = z1 = Vậy pt có nghiệm (0, 0, 0) IX Phƣơng pháp 9: Sử