PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c Phương trình có nghiệm (a,b) | c Để giải phương trình ta tìm nghiệm riêng (x0,y0) từ suy tất x = x + bt nghiệm phương trình (t ∈ Z) y = y − at Ví dụ Giải phương trình 12x + 37y = 2008 Giải Từ phương trình ta suy y ≡ mod 12, ta chọn y0 = ⇒ x0 = 155.Vậy nghiệm x = 155 + 37t phương trình (t ∈ Z) y = − 12t Phương trình bậc ba ẩn ax + by + cz = d Để giải phương trình ta đưa dạng ax + by = d – cz với (a,b) = chọn z = a tùy ý Ví dụ Giải phương trình 13x + 25y – 41z = 2009 Giải Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*) phương trình 13x + 25y = có nghiệm (2;–1) nên nghiệm (*) x = 2(2009 + 41a) + 25b (t ∈ Z) ⇒ Nghiệm phương trình ban đầu y = −(2009 + 41a) − 13b x = 2(2009 + 41a) + 25b y = −(2009 + 41a) − 13b (t ∈ Z) z = a Phương trình ax + by + cxy = d b ab Ta đưa dạng tích x(a + cy) + (a + cy) = d + ⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd c c Từ ta có cx + b, cy + a ước ab + cd Ví dụ Giải phương trình 2x + 5y – 3xy = Giải x(2 – 3y) – 5/3 (2 – 3y) = – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = từ ta có nghiệm (4,1) (2,3) nguyên Một vài phương pháp thường sử dụng giải phương trình nghiệm 4.1 Đưa tổng bình phương Ví dụ Giải phương trình x2 – 6xy + 14y2 – 10y – 16 = Giải phương trình ⇔ (x – 3y)2 + 5(y – 1)2 = 21 ⇒ 5(y – 1)2 ≤ 21 ⇒ (y – 1)2 = 0, 1, (y – 1)2 = ⇒ (x – 3y)2 = 21 (loại) (y – 1)2 = ⇒ (x – 3y)2 = 16 ta có nghiệm (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2) (y – 1)2 = ⇒ ( x – 3y)2 = ta có nghiệm (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1) 4.2 Đưa tích số Ví dụ Giải phương trình 6x2 – 10xy + 4y2 + 3x – 2y – 32 = Giải Phương trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32 Do 2x – 2y + số lẻ nên 2x – 2y + ± từ ta có nghiệm (32,32), ( – 30, – 29) 4.3 Dùng tính chất chia hết, đồng dư Ví dụ Giải phương trình 3x2 – 2008y2 = 2009 Giải Nhận xét x chẵn x ≡ mod x lẻ x2 ≡ mod , tức số phương đồng dư với modulo Ta thấy vế trái phương trình đồng dư với mod vế phải đồng dư với mod phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình x3 + 21y2 + = Giải 3 x ≡ 0, 1, – mod ⇒ x + 21y + ≡ 5, 6, mod ⇒ phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình 5x2 + 6x + 11 = y2 + 4y Giải Phương trình ⇔ 4x2 + (x + 3)2 + = (y + 2)2 Vế trái đồng dư 2, mod 4, vế phải đồng dư 0, mod ⇒ phương trìnhvô nghiệm Ví dụ Giải phương trình 6x = y2 + y – Giải 6x ≡ mod y2 + y – = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod ⇒ phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình x2 = 2y2 – 8y + Giải Từ phương trình ta thấy x phải lẻ ⇒ x = 2k + ⇒ (2k + 1)2 = 2y2 – 8y + ⇒ 4k2 + 4k + = 2y2 – 8y + ⇒ 2k2 + 2k = y2 – 4y + 2k2 + 2k = 2k(k + 1) ⇒ y2 + (vô lý) ⇒ phương trình vô nghiệm 4.4 Dùng tính chất A n < Xn < (A + 2)n ⇒ Xn = (A + 1)n Ví dụ Giải phương trình x3 + x2 + x + = y3 Giải Với x < – hay x > ta có x < y < (x + 1)3 ⇒ phương trình vô nghiệm Với x = ta có nghiệm (0,1) Với x = –1 ta có nghiệm ( –1, 0) 3 Ví dụ Giải phương trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 Giải phương trình ⇔ (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2 Đặt m = x2 + 8x ta có m2 + 7m = y2 Nếu m > (m + 3)2 < y2 < (m + 4)2 ⇒ vô nghiệm Nếu m ≤ – ≤ x ≤ Bằng cách thử trực tiếp ta có nghiệm ( −9, ±12),( −8,0),( −7,0),( −4, ±12),( −1,0),(0,0),(1, ±12) 4.5 Dùng tính chất bị chặn Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 + + =1 x y z Giải Giả sử x ≤ y ≤ z ⇒ ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x = 1,2,3 x * x = (loại) 1 1 + = ⇒ ≤ ⇒ y ≤ ⇒ y = 2,3,4 y z 2 y y = 2( loại) 1 y=3⇒ = ⇒z=6 z 1 y=4⇒ = ⇒z=4 z 1 2 *x=3⇒ + = ⇒ ≤ ⇒y≤3⇒y=3⇒z=3 y z 3 y Vậy nghiệm phương trình (2;3;6), (2,4,4), (3,3,3) hoán vị chúng *x=2⇒ 4.6 Phương pháp xuống thang Ví dụ Giải phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz Giải 2 2xyz chẵn ⇒ x + y + z chẵn ⇒ số x2, y2, z2 có chẵn, lẻ chẵn Giả sử x2 chẵn, y2 z2 lẻ ⇒ x2 + y2 + z2 ≡ mod 2xyz ≡ mod (vô lý) ⇒ x2 , y2 , z2 chẵn ⇒ x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ⇒ x12 + y12 + z12 = 4x1y1z1 Bằng cách lý luận tương tự ta có x = 2kxk , y = 2kyk , z = 2k zk xk2 + yk2 + zk2 = 2k+1xkykzk Nếu x khác đến lúc xk lẻ (vô lý) Vậy x = 0, y = 0, z = 4.7 Phương pháp xây dựng nghiệm (chỉ họ nghiệm phương trình) Ví dụ Chứng tỏ phương trình x2 + y2 = z2 có vô số nghiệm Họ nghiệm phương trình x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2 Ví dụ Chứng tỏ phương trình x2 + y2 = z2 + có vô số nghiệm Giải Thay z = y + ta có x2 = 2y + Chọn x = 2k ⇒ y = 2k2 – Vậy họ nghiệm phương trình (2k, 2k2 – 2,2k2 – 1) Ví dụ Chứng tỏ phương trình x2 + y3 = z5 có vô số nghiệm Giải m m x = 2 ,y = ,z = ⇒ m = 6(5k + 4) m +1 Chọn m cho m 2, m m + Phương trình Pytagore x2 + y2 = z2 Gọi d = (x,y) ⇒ x = da, y = db (a,b) = ⇒ a2 + b2 = (z/d)2 Đặt z = dc (c ∈ Q) ⇒ c2 ∈ N ⇒ c ∈ Z Nếu a, b lẻ a2 + b2 ≡ mod ⇒ c2 ≡ mod (vô lý) Vậy a, b khác tính chẵn lẻ Giả sử a lẻ, b chẵn ⇒ c lẻ c +a c −a b c +a c −a vớ i b =c –a ⇒ = , =1 2 2 c+a c −a ⇒ = m2 , = n2 ⇒ c = m2 + n2, a = m2 – n2, b = 2mn 2 Vậy nghiệm phương trình x = (m2 − n2 )d x = 2mnd y = (m2 − n2 )d với (m,n) = y = 2mnd z = (m2 + n2 )d z = (m2 + n2 )d 2 Phương trình Pell x2 – dy2 = ( d số không phương) (1) Trong phần ta xét nghiệm nguyên dương Định nghĩa Giả sử (x,y) (x’,y’) nghiệm (1) Ta thấy x < x’ y < y’ ngược lại Như tập nghiệm phương trình ta xây dựng quan hệ thứ tự (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’ Định lý Phương trình (1) có vô số nghiệm Định lý ( Nếu (a,b) nghiệm nhỏ củA (1) a + b d n ) = x n + y n d (*) với n số nguyên dương (xn,yn) nghiệm (1) Chứng minh (a + b d) = C a + C a (b d) + Cn2ann−2 (b d)2 + = x n + y n d n n n n −1 n (a − b d)n = C0nan − C1nan−1(b d) + Cn2ann−2 (b d)2 − = xn − y n d (**) Từ (**) ⇒ (xn + yn d)(xn − y n d) = (a2 − db2 )n = ⇒ x n2 − dy n2 = ⇒ (x n , yn ) nghiệm (1) Ta chứng minh điều ngược lại: (u, v) nghiệm (1) u + v d có dạng (*) Giả sử u + v d ≠ (a + b d)n với n nguyên dương Ta có < a + b d < u + v d ( ) ( ) Do dãy số a + b d, a + b d , a + b d , không bị chặn nên tồn số nguyên dương N cho (a + b d)N < u + v d < (a + b d)N+1 ⇒ 1< u+v d (a + b d)N < a+b d ⇒ < (u + v d)(xN − yN d) < a + b d (xN,yN) nghiệm (1) ⇒ < uxN − vyNd + (vxN − uyN ) d < a + b d ⇒ < U + V d < a + b d với U = uxN − vyNd, V = vxN − uyN ⇒ U2 – dV2 = (uxN − vyN )2 − d(vxN − uyN )2 = (xN2 − dyN2 )(u2 − dv ) = ⇒ (U,V) thỏa (1) U + V d U − V d = ( )( ) Từ U + V d > ⇒ < U − V d < ⇒ U > V > ⇒ U + V d < a + b d ( mâu thuẩn với (a,b) nghiệm nhỏ (1)) Định lý chứng minh Ta biểu diễn nghiệm (1) công thức n xn (a + b d ) + (a − b d ) = n yn = Hoặc n n (a + b d ) − (a − b d ) với n số nguyên d xn + = 2ax n+1 − x n yn + = 2ay n+1 − y n với (xo,yo) = (1,0) (x1,y1) = (a.b) Ví dụ Giải phương trình x2 – 5y2 = Giải Ta có nghiệm nhỏ (9,4) Nghiệm phương trình tính công thức xn+2 = 18xn+1 – xn, yn+2 = 18yn+1 – yn với (xo,yo) = (1,0) (x1,y1) = (9,4) Phương trình x2 – dy2 = n ( n số tự nhiên ) (2) Ta gọi phương trình x2 – dy2 = phương trình liên kết với (2) có (a,b) nhiệm nhỏ Định lý Phương trình (2) vô nghiệm vô số nghiệm Định lý Nếu (αi , βi ) , i = 1,2, , m nghiệm (2) thỏa mãn −na2 βi2 ≤ max nb2 , cặp (x n,i ,y n,i ) sau vét hết nghiệm (2): d xn +1,i = ax n,i + dby n,i , x o,i = αi (i = 1,2,…,m) yn +1,i = bx n,i + ay n,i , y o,i = βi Ví dụ Giải phương trình x2 – 5y2 = – Nghiệm nhỏ phương trình liên kết x2 – 5y2 = (9,4) y2 ≤ –(–4)92/5 = 64,8 ⇒ y ≤ ⇒ cặp nghiệm ban đầu (1,1), (4,2), (11,5) Vậy nghiệm phương trình xn+1 = 9xn + 20yn, yn+1 = 4xn + 9yn với (x0,y0) = (1,1), (4,2) ,( 11,5) Phương trình Ax2 – By2 = n ( A > 1, AB không phương ) (3) Ta gọi phương trình x2 – ABy2 = phương trình liên kết với (3) có (a,b) nghiệm nhỏ Định lý Phương trình (3) vô nghiệm vô số nghiệm Định lý −na2 Nếu ( αi , βi ) , i = 1,2, , m nghiệm (3) thỏa mãn βi2 ≤ max Anb2 , B cặp (xn,i , y n,i ) sau vét hết nghiệm (3): xn +1,i = ax n,i + Bby n,i , x o,i = αi yn +1,i = Abxn,i + ayn,i , y o,i = βi (i = 1,2,…,m) Ta biểu diễn công thức dạng truy hồi xn + = 2ax n+1 − x n yn + = 2ay n+1 − y n vớ i x = α,x1 = aα + Bbβ y = β,y1 = aβ + Abα Ví dụ Giải phương trình 3x2 – 2y2 = Giải phương trình liên kết x2 – 6y2 = có nghiệm nhỏ (a,b) = (5,2) y2 < 3.1.22 = 12 ⇒ y ≤ Ta có nghiệm ban đầu (1,1) Vậy nghiệm phương trình xn+2 = 10xn+1 – xn , yn+2 = 10yn+1 – yn với (x0,y0) = (1,1) ,(x1,y1) = (9,11) BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên phương trình a) 2x + 3y = 156 b) 3xy + x – y = c) 2x2 + 3xy – 2y2 = d) x3 – y3 = 91 e) x2 – xy = 6x – 5y – 2) Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1).f(2) = 35.Chứng minh f(x) nghiệm nguyên 3) Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên: a) 3x2 – 4y2 = 13 b) 19x2 + 28y2 = 2001 c) x2 = 2y2 – 8y + d) x5 – 5x3 + 4x = 24(5y + 1) e) 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 4) Tìm số nguyên dương cho tích chúng gấp đôi tổng chúng 5) Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng 6) Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) x2 + xy + y2 = 2x + y b) x2 + xy + y2 = x + y c) x2 – 3xy + 3y2 = 3y d) x2 – 2xy + 5y2 = y + 7) Tìm số tự nhiên cho 2x + 3x = 35 8) Tìm số nguyên x,y cho x3 + x2 + x + = y3 9) Tìm nghiệm nguyên dương : x! + y! = (x + y)! 10) Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x2 + 4y2 = 6x + 13 11) Có tồn hay không hai số nguyên dương x , y cho x2 + y y2 + x số phương 12) Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1) b) x4 + x3 + x2 + x = y2 + y c) x4 – 2y2 = d) x3 – 3y3 = 9z3 e) x2 + y2 = 3z2 f) x2 + y2 = 6(z2 + t2) g) x2 + y2 + z2 = 2xyz 13) a) Giải phương trình x2 + y2 = 7z2 b) Chứng minh số không viết dạng tổng bình phương số hữu tỉ 14) Tìm nghiệm nguyên : a) xy – 2y – = 3x – x2 b) 2x2 + 3xy – 2y2 = c) x2 + y2 – x – y = d) 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y) e) 3(x2 –xy + y2) = 7(x + y) f) 5(x2 + xy + y2)= 7(x + 2y) g) 8y2 – 25 = 3xy + 5z h) 7x2 – 5y2 = 1)