Phương pháp trình nghiệm nguyên

1 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (a,b) | c Để giải phương trình ta tìm một nghiệm riêng (x 0 ,y 0 ) từ đó suy ra tất cả các nghiệm của phương trình = +  ∈  = −  0 0 x x bt (t Z) y y at Ví dụ. Giải phương trình 12x + 37y = 2008 Giải Từ phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta chọn y 0 = 4 ⇒ x 0 = 155.Vậy nghiệm của phương trình là = +  ∈  = −  x 155 37t (t Z) y 4 12t 2. Phương trình bậc nhất ba ẩn ax + by + cz = d Để giải phương trình ta đưa về dạng ax + by = d – cz với (a,b) = 1 rồi chọn z = a tùy ý. Ví dụ. Giải phương trình 13x + 25y – 41z = 2009 Giải. Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*) phương trình 13x + 25y = 1 có một nghiệm là (2;–1) nên nghiệm của (*) là = + +  ∈  = − + −  x 2(2009 41a) 25b (t Z) y (2009 41a) 13b ⇒ Nghiệm của phương trình ban đầu là = + +   = − + − ∈   =  x 2(2009 41a) 25b y (2009 41a) 13b (t Z) z a 3. Ph ươ ng trình ax + by + cxy = d Ta đư a v ề d ạ ng tích + + + = + b ab x(a cy) (a cy) d c c ⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd T ừ đ ây ta có cx + b, cy + a là các ướ c c ủ a ab + cd Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình 2x + 5y – 3xy = 1 Gi ả i x(2 – 3y) – 5/3. (2 – 3y) = 1 – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = 7 t ừ đ ây ta có các nghi ệ m là (4,1) và (2,3). 4. M ộ t vài ph ươ ng pháp th ườ ng s ử d ụ ng khi gi ả i ph ươ ng trình nghi ệ m nguyên 4.1. Đư a v ề t ổ ng các bình ph ươ ng Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x 2 – 6xy + 14y 2 – 10y – 16 = 0 Gi ả i. ph ươ ng trình ⇔ (x – 3y) 2 + 5(y – 1) 2 = 21 2 ⇒ 5(y – 1) 2 ≤ 21 ⇒ (y – 1) 2 = 0, 1, 4 (y – 1) 2 = 0 ⇒ (x – 3y) 2 = 21 (lo ạ i) (y – 1) 2 = 1 ⇒ (x – 3y) 2 = 16 ta có các nghi ệ m (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2) (y – 1) 2 = 4 ⇒ ( x – 3y) 2 = 1 ta có các nghi ệ m (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1) 4.2. Đư a v ề tích s ố b ằ ng 0. Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình 6x 2 – 10xy + 4y 2 + 3x – 2y – 32 = 0 Gi ả i. Ph ươ ng trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32 Do 2x – 2y + 1 là s ố l ẻ nên 2x – 2y + 1 b ằ ng ± 1 t ừ đ ây ta có các nghi ệ m (32,32), ( – 30, – 29) 4.3. Dùng các tính ch ấ t chia h ế t, đồ ng d ư . Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình 3x 2 – 2008y 2 = 2009 Gi ả i. Nh ậ n xét n ế u x ch ẵ n thì x 2 ≡ 0 mod 4 còn n ế u x l ẻ thì x 2 ≡ 1 mod 4 , t ứ c là m ộ t s ố chính ph ươ ng đồ ng d ư v ớ i 0 ho ặ c 1 modulo 4. Ta th ấ y v ế trái c ủ a ph ươ ng trình luôn đồ ng d ư v ớ i 0 ho ặ c 3 mod 4 còn v ế ph ả i đồ ng d ư v ớ i 1 mod 4 nh ư v ậ y ph ươ ng trình vô nghi ệ m. Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x 3 + 21y 2 + 5 = 0 Gi ả i. x 3 ≡ 0, 1, – 1 mod 7 ⇒ x 3 + 21y 2 + 5 ≡ 5, 6, 4 mod 7 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình 5x 2 + 6x + 11 = y 2 + 4y Gi ả i. Ph ươ ng trình ⇔ 4x 2 + (x + 3) 2 + 6 = (y + 2) 2 V ế trái đồ ng d ư 2, 3 mod 4, v ế ph ả i đồ ng d ư 0, 1 mod 4 ⇒ ph ươ ng trìnhvô nghi ệ m Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình 6 x = y 2 + y – 2 Gi ả i. 6 x ≡ 1 mod 5 y 2 + y – 2 = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod 5 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x 2 = 2y 2 – 8y + 3 Gi ả i. T ừ ph ươ ng trình ta th ấ y x ph ả i l ẻ ⇒ x = 2k + 1 ⇒ (2k + 1) 2 = 2y 2 – 8y + 3 ⇒ 4k 2 + 4k + 1 = 2y 2 – 8y + 3 ⇒ 2k 2 + 2k = y 2 – 4y + 1 2k 2 + 2k = 2k(k + 1)  4 ⇒ y 2 + 1  4 (vô lý) ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. 4.4. Dùng tính ch ấ t < < + ⇒ = + n n n n n A X (A 2) X (A 1) Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x 3 + x 2 + x + 1 = y 3 3 Gi ả i V ớ i x < – 1 hay x > 0 ta có x 3 < y 3 < (x + 1) 3 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m V ớ i x = 0 ta có nghi ệ m (0,1) V ớ i x = –1 ta có nghi ệ m ( –1, 0) Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y 2 Gi ả i. ph ươ ng trình ⇔ (x 2 + 8x)(x 2 + 8x + 7) = y 2 Đặ t m = x 2 + 8x ta có m 2 + 7m = y 2 N ế u m > 9 thì (m + 3) 2 < y 2 < (m + 4) 2 ⇒ vô nghi ệ m N ế u m ≤ 9 thì – 9 ≤ x ≤ 1. B ằ ng cách th ử tr ự c ti ế p ta có các nghi ệ m − ± − − − ± − ±( 9, 12),( 8,0),( 7,0),( 4, 12),( 1,0),(0,0),(1, 12) 4.5. Dùng tính ch ấ t b ị ch ặ n Ví d ụ . Tìm nghi ệ m nguyên d ươ ng c ủ a ph ươ ng trình + + = 1 1 1 1 x y z Gi ả i. Gi ả s ử x ≤ y ≤ z ⇒ ≤ 3 1 x ⇒ x ≤ 3 ⇒ x = 1,2,3 * x = 1 (lo ạ i) * x = 2 ⇒ + = ⇒ ≤ 1 1 1 1 2 y z 2 2 y ⇒ y ≤ 4 ⇒ y = 2,3,4 y = 2( lo ạ i) y = 3 ⇒ = 1 1 z 6 ⇒ z = 6 y = 4 ⇒ = 1 1 z 4 ⇒ z = 4 * x = 3 ⇒ + = 1 1 2 y z 3 ⇒ ≤ 2 2 3 y ⇒ y ≤ 3 ⇒ y = 3 ⇒ z = 3 V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là (2;3;6), (2,4,4), (3,3,3) và các hoán v ị c ủ a chúng. 4.6. Ph ươ ng pháp xu ố ng thang Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz Gi ả i 2xyz ch ẵ n ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ch ẵ n ⇒ trong 3 s ố x 2 , y 2 , z 2 có 1 ch ẵ n, 2 l ẻ ho ặ c 3 ch ẵ n Gi ả s ử x 2 ch ẵ n, y 2 và z 2 l ẻ ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≡ 2 mod 4 trong khi đ ó 2xyz ≡ 0 mod 4 (vô lý) ⇒ x 2 , y 2 , z 2 đề u ch ẵ n ⇒ x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 ⇒ x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 = 4x 1 y 1 z 1 B ằ ng cách lý lu ậ n t ươ ng t ự ta có x = 2 k x k , y = 2 k y k , z = 2 k z k và x k 2 + y k 2 + z k 2 = 2 k+1 x k y k z k N ế u x khác 0 thì đế n m ộ t lúc nào đ ó x k l ẻ (vô lý) V ậ y x = 0, y = 0, z = 0 4 4.7. Ph ươ ng pháp xây d ự ng nghi ệ m (ch ỉ ra m ộ t h ọ nghi ệ m nào đ ó c ủ a ph ươ ng trình) Ví d ụ . Ch ứ ng t ỏ ph ươ ng trình x 2 + y 2 = z 2 có vô s ố nghi ệ m H ọ nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x = m 2 – n 2 , y = 2mn, z = m 2 + n 2 Ví d ụ . Ch ứ ng t ỏ ph ươ ng trình x 2 + y 2 = z 2 + 3 có vô s ố nghi ệ m Gi ả i. Thay z = y + 1 ta có x 2 = 2y + 4 Ch ọ n x = 2k ⇒ y = 2k 2 – 2 V ậ y h ọ nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là (2k, 2k 2 – 2,2k 2 – 1) Ví d ụ . Ch ứ ng t ỏ ph ươ ng trình x 2 + y 3 = z 5 có vô s ố nghi ệ m Gi ả i. + = = = m m 1 m 3 5 2 x 2 ,y 2 ,z 2 . Ch ọ n m sao cho m  2, m  3 và m + 1  5 ⇒ m = 6(5k + 4) 5. Ph ươ ng trình Pytagore x 2 + y 2 = z 2 G ọ i d = (x,y) ⇒ x = da, y = db và (a,b) = 1 ⇒ a 2 + b 2 = (z/d) 2 Đặ t z = dc (c ∈ Q) ⇒ c 2 ∈ N ⇒ c ∈ Z N ế u a, b cùng l ẻ thì a 2 + b 2 ≡ 2 mod 4 ⇒ c 2 ≡ 2 mod 4 (vô lý) V ậ y a, b khác tính ch ẵ n l ẻ . Gi ả s ử a l ẻ , b ch ẵ n ⇒ c l ẻ . b 2 = c 2 – a 2 ⇒ + −   =     2 b c a c a . 2 2 2 v ớ i + −   =     c a c a , 1 2 2 ⇒ + − = = 2 2 c a c a m , n 2 2 ⇒ c = m 2 + n 2 , a = m 2 – n 2 , b = 2mn V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là  = −  =   = +  2 2 2 2 x (m n )d y 2mnd z (m n )d hoặc =   = −   = +  2 2 2 2 x 2mnd y (m n )d z (m n )d với (m,n) = 1 6. Phương trình Pell x 2 – dy 2 = 1 ( d là số không chính phương) (1) Trong phần này ta chỉ xét nghiệm nguyên dương. Định nghĩa. Giả sử (x,y) và (x’,y’) là 2 nghiệm của (1). Ta thấy rằng nếu x < x’ thì y < y’ hoặc ngược lại. Như vậy trên tập các nghiệm của phương trình ta xây dựng được quan hệ thứ tự (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’ Định lý 1. Phương trình (1) có vô số nghiệm Định lý 2. Nếu (a,b) là nghiệm nhỏ nhất củA (1) và ( ) + = + n n n a b d x y d (*) với n là số nguyên dương thì (x n ,y n ) là nghiệm của (1). 5 Chứng minh. − − − − + = + + + = + − = − + − = − n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n n n n n n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n n n n n (a b d) C a C a (b d) C a (b d) . x y d (a b d) C a C a (b d) C a (b d) . x y d (**) Từ (**) ⇒ + − = − = ⇒ − = ⇒ 2 2 n 2 2 n n n n n n n n (x y d)(x y d) (a db ) 1 x dy 1 (x ,y ) là nghiệm của (1). Ta chứng minh điều ngược lại: nếu (u, v) là một nghiệm của (1) thì +u v d có dạng (*) Giả sử + ≠ + n u v d (a b d) với mọi n nguyên dương. Ta có 1 < + < +a b d u v d Do dãy số ( ) ( ) + + + 2 3 a b d, a b d , a b d , . không b ị ch ặ n trên nên t ồ n t ạ i s ố nguyên d ươ ng N sao cho + + < + < + N N 1 (a b d) u v d (a b d) ⇒ + < < + + N u v d 1 a b d (a b d) ⇒ 1 < + − < + N N (u v d)(x y d) a b d (x N, y N ) là nghi ệ m c ủ a (1) ⇒ 1 < − + − < + N N N N ux vy d (vx uy ) d a b d ⇒ 1 < + < +U V d a b d v ớ i U = − = − N N N N ux vy d, V vx uy ⇒ U 2 – dV 2 = − − − = − − = 2 2 2 2 2 2 N N N N N N (ux vy ) d(vx uy ) (x dy )(u dv ) 1 ⇒ (U,V) th ỏ a (1) và ( )( ) + − =U V d U V d 1 T ừ + > ⇒ < − <U V d 1 0 U V d 1 ⇒ U > 0 và V > 0 ⇒ + < +U V d a b d ( mâu thu ẩ n v ớ i (a,b) là nghi ệ m nh ỏ nh ấ t c ủ a (1)) Đị nh lý đ ã đượ c ch ứ ng minh. Ta c ũ ng có th ể bi ể u di ễ n các nghi ệ m c ủ a (1) b ở i công th ứ c ( ) ( ) ( ) ( ) + + − = + − − = n n n n n n a b d a b d x 2 a b d a b d y 2 d v ớ i n là s ố nguyên b ấ t k ỳ Ho ặ c + + + + = − = − n 2 n 1 n n 2 n 1 n x 2ax x y 2ay y v ớ i (x o ,y o ) = (1,0) và (x 1 ,y 1 ) = (a.b) Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x 2 – 5y 2 = 1 Gi ả i. Ta có nghi ệ m nh ỏ nh ấ t là (9,4). Nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đượ c tính b ở i công th ứ c x n+2 = 18x n+1 – x n , y n+2 = 18y n+1 – y n v ớ i (x o ,y o ) = (1,0) và (x 1 ,y 1 ) = (9,4) 6 7. Ph ươ ng trình x 2 – dy 2 = n ( n là s ố t ự nhiên ) (2) Ta g ọ i ph ươ ng trình x 2 – dy 2 = 1 là ph ươ ng trình liên k ế t v ớ i (2) có (a,b) là nhi ệ m nh ỏ nh ấ t Đị nh lý 3. Ph ươ ng trình (2) ho ặ c vô nghi ệ m ho ặ c vô s ố nghi ệ m Đị nh lý 4. N ế u α β i i ( , ) , i = 1,2, , m là các nghi ệ m c ủ a (2) th ỏ a mãn   − β ≤     2 2 2 i na max nb , d thì các c ặ p n,i n,i (x ,y ) sau đ ây s ẽ vét h ế t các nghi ệ m c ủ a (2): + + = + = α = + = β n 1,i n,i n,i o,i i n 1,i n,i n,i o,i i x ax dby , x y bx ay , y (i = 1,2,…,m) Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình x 2 – 5y 2 = – 4 Nghi ệ m nh ỏ nh ấ t c ủ a ph ươ ng trình liên k ế t x 2 – 5y 2 = 1 là (9,4) y 2 ≤ –(–4)9 2 /5 = 64,8 ⇒ y ≤ 8 ⇒ các c ặ p nghi ệ m ban đầ u là (1,1), (4,2), (11,5) V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x n+1 = 9x n + 20y n , y n+1 = 4x n + 9y n v ớ i (x 0 ,y 0 ) = (1,1), (4,2) ,( 11,5) 8. Ph ươ ng trình Ax 2 – By 2 = n ( A > 1, AB không chính ph ươ ng ) (3) Ta g ọ i ph ươ ng trình x 2 – ABy 2 = 1 là ph ươ ng trình liên k ế t v ớ i (3) có (a,b) là nghi ệ m nh ỏ nh ấ t. Đị nh lý 5. Ph ươ ng trình (3) ho ặ c vô nghi ệ m ho ặ c vô s ố nghi ệ m Đị nh lý 6. N ế u α β i i ( , ) , i = 1,2, , m là các nghi ệ m c ủ a (3) th ỏ a mãn   − β ≤     2 2 2 i na max Anb , B thì các c ặ p n,i n,i (x ,y ) sau đ ây s ẽ vét h ế t các nghi ệ m c ủ a (3): + + = + = α = + = β n 1,i n,i n,i o,i i n 1,i n,i n,i o,i i x ax Bby , x y Abx ay , y (i = 1,2,…,m) Ta có th ể bi ể u di ễ n công th ứ c trên d ướ i d ạ ng truy h ồ i + + + + = − = − n 2 n 1 n n 2 n 1 n x 2ax x y 2ay y v ớ i = α = α + β = β = β + α 0 1 0 1 x ,x a Bb y ,y a Ab Ví d ụ . Gi ả i ph ươ ng trình 3x 2 – 2y 2 = 1 Gi ả i. ph ươ ng trình liên k ế t x 2 – 6y 2 = 1 có nghi ệ m nh ỏ nh ấ t là (a,b) = (5,2) y 2 < 3.1.2 2 = 12 ⇒ y ≤ 3 . Ta có nghi ệ m ban đầ u là (1,1) V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x n+2 = 10x n+1 – x n , y n+2 = 10y n+1 – y n v ớ i (x 0 ,y 0 ) = (1,1) ,(x 1 ,y 1 ) = (9,11) 7 BÀI TẬP 1) Tìm nghi ệ m nguyên c ủ a các ph ươ ng trình a) 2x + 3y = 156 b) 3xy + x – y = 1 c) 2x 2 + 3xy – 2y 2 = 7 d) x 3 – y 3 = 91 e) x 2 – xy = 6x – 5y – 8 2) Cho đ a th ứ c f(x) có các h ệ s ố nguyên .Bi ế t r ằ ng f(1).f(2) = 35.Ch ứ ng minh r ằ ng f(x) không có nghi ệ m nguyên. 3) Ch ứ ng minh r ằ ng các ph ươ ng trình sau không có nghi ệ m nguyên: a) 3x 2 – 4y 2 = 13 b) 19x 2 + 28y 2 = 2001 c) x 2 = 2y 2 – 8y + 3 d) x 5 – 5x 3 + 4x = 24(5y + 1) e) 3x 5 – x 3 + 6x 2 – 18x = 2001 4) Tìm 3 s ố nguyên d ươ ng sao cho tích c ủ a chúng g ấ p đ ôi t ổ ng c ủ a chúng 5) Tìm 4 s ố nguyên d ươ ng sao cho t ổ ng c ủ a chúng b ằ ng tích c ủ a chúng 6) Tìm các nghi ệ m nguyên c ủ a các ph ươ ng trình : a) x 2 + xy + y 2 = 2x + y b) x 2 + xy + y 2 = x + y c) x 2 – 3xy + 3y 2 = 3y d) x 2 – 2xy + 5y 2 = y + 1 7) Tìm các s ố t ự nhiên sao cho 2 x + 3 x = 35 8) Tìm các s ố nguyên x,y sao cho x 3 + x 2 + x + 1 = y 3 9) Tìm các nghi ệ m nguyên d ươ ng : x! + y! = (x + y)! 10) Tìm các nghi ệ m nguyên c ủ a ph ươ ng trình 3x 2 + 4y 2 = 6x + 13 11) Có t ồ n t ạ i hay không hai s ố nguyên d ươ ng x , y sao cho x 2 + y và y 2 + x đề u là s ố chính ph ươ ng 12) Tìm các nghi ệ m nguyên c ủ a các ph ươ ng trình : a) x(x 2 + x + 1) = 4y(y + 1) b) x 4 + x 3 + x 2 + x = y 2 + y c) x 4 – 2y 2 = 1 d) x 3 – 3y 3 = 9z 3 e) x 2 + y 2 = 3z 2 f) x 2 + y 2 = 6(z 2 + t 2 ) g) x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz 13) a) Gi ả i ph ươ ng trình x 2 + y 2 = 7z 2 b) Ch ứ ng minh r ằ ng s ố 7 không vi ế t đượ c d ướ i d ạ ng t ổ ng các bình ph ươ ng c ủ a 2 s ố h ữ u t ỉ 14) Tìm các nghi ệ m nguyên : a) xy – 2y – 3 = 3x – x 2 b) 2x 2 + 3xy – 2y 2 = 7 c) x 2 + y 2 – x – y = 8 d) 7(x 2 + xy + y 2 ) = 39(x + y) e) 3(x 2 –xy + y 2 ) = 7(x + y) f) 5(x 2 + xy + y 2 )= 7(x + 2y) g) 8y 2 – 25 = 3xy + 5z h) 7x 2 – 5y 2 = 3 8 15) Ch ứ ng minh r ằ ng ph ươ ng trình sau có vô s ố nghi ệ m nguyên (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 16) Tìm nghi ệ m nguyên d ươ ng : a) + + = 1 1 1 1 x y 6xy 6 b) + + = 1 1 1 1 x y 2xy 2 17) Tìm nghi ệ m nguyên + + = xy xz yz 3 z y x 18) Tìm 3 s ố nguyên d ươ ng x,y,z sao cho xy + 1  z, xz + 1  y , yz + 1  x 19) Tìm đ i ề u ki ệ n c ủ a a để các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đề u là s ố nguyên : a) x 2 – ax + a + 2 = 0 b) x 2 + ax + 6a = 0 c) x 2 + a 2 x + a – 1 = 0 20) Tìm các s ố nguyên a và b sao cho a + b = 25 và các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình x 2 + ax + b = 0 là s ố nguyên.Tìm các nghi ệ m đ ó. 21) Gi ả i ph ươ ng trình a) x 2 – 7y 2 = 1 b) x 2 –15y 2 = 1 c) 3x 2 – 5y 2 = 7 22) Hãy ch ứ ng minh các tính ch ấ t c ủ a b ộ ba s ố Pitagore : a) T ồ n t ạ i 1 s ố là b ộ i c ủ a 3 b) T ồ n t ạ i 1 s ố là b ộ i c ủ a 4 c) T ồ n t ạ i 1 s ố là b ộ i c ủ a 5 . 1 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (a,b) | c Để giải phương trình ta. Từ phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta chọn y 0 = 4 ⇒ x 0 = 155.Vậy nghiệm của phương trình là = +  ∈  = −  x 155 37t (t Z) y 4 12t 2. Phương trình