Kiến thức và phương pháp giải phương trình ( đầy đủ)

NGUYỄN ðỨC TUẤN TỰ ÔN LUYỆN THI MÔN TOÁN Hà nội, - 2005 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 1: Phương trình bất phương trình Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I Cách giải 1) Phương trình bậc nhất: • ax + b = 0, a,b ∈ IR Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x = - b a • Nếu a = 0, b ≠ phương trình vô nghiệm • Nếu a = b = phương trình nghiệm ñúng với x ∈ IR ax2 + bx + c = 0, a ≠ 2) Phương trình bậc hai: • Nếu ∆ = b – 4ac < phương trình vô nghiệm b • Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép x1 = x = 2a −b± ∆ • Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, = 2a II ðịnh lí Viét hệ dấu nghiệm 1) ðịnh lí Viét : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ có hai nghiệm x1 , x b c P = x1.x = S = x1 + x = a a 2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ có hai nghiệm: ∆ ≥ c  Trái dấu ⇔  ∆ ≥  c Cùng dương ⇔  > a  b − a >  ∆ ≥  c Cùng âm ⇔  > a  b − a < III ðịnh lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ ta có ðịnh lí thuận: • Nếu ∆ = b2 – 4ac < a.f(x) > với ∀ x b • Nếu ∆ = a.f(x) > với ∀ x ≠ 2a • Nếu ∆ > ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 a.f(x) > với x [ x1 ; x ] a.f(x) < với x1 < x < x ðịnh lí ñảo: Nếu tồn số α cho a.f( α ) < tam thức có hai nghiệm phân biệt số α nằm khoảng hai nghiệm ñó: x1 < α < x Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán IV Ứng dụng ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c không ñổi dấu với x a = b = a = b =   c > c ≥  f(x) ≥ với ∀ x ⇔  f(x) > với ∀ x ⇔ a > a >   ∆ < ∆ ≤ a = b = a = b =   c < c ≤  f(x) ≤ với ∀ x ⇔  f(x) < với ∀ x ⇔ a < a <   ∆ < ∆ ≤ So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α • • ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < α < x là: a.f( α ) < ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt α nằm khoảng hai ∆ > nghiệm:  a.f (α) > - Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: x1 < x < α •  ∆ >  ⇒ a.f (α ) > S b  =−  - Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: α < x1 < x ⇒ a.f (α ) > S b  =− >a 2a 2 ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt nghiệm nằm trong, nghiệm nằm ñoạn [ α; β ] là: f( α ).f( β ) < ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x > α : • Trường hợp 1: f(x) có nghiệm x1 < α < x ⇔ a.f( α ) <  ∆ ≥  • Trường hợp 2: f(x) có nghiệm α < x1 < x ⇔ a.f (α) >  S α <  f (α ) =  • Trường hợp 3: f(x) có nghiệm α = x1 < x ⇔  S α < ( Làm tương tự với trường hợp x < α xảy dấu bằng) Ngoài ta ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục Khi ñó ñiều kiện ñể phương trình f(x) = m có nghiệm minf(x) ≤ m ≤ maxf(x) Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận dấu tam thức bậc hai Nếu ∆ < N ếu ∆ = a.f(x) > với ∀ x a.f(x) > với ∀ x ≠ - Nếu ∆ > a.f(x) > với x [ x1 ; x ] a.f(x) < với x1 < x < x b 2a Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt α nằm khoảng hai nghiệm x1 < α < x α nằm khoảng hai nghiệm ∆ >  a.f (α ) > a.f( α ) < x1 < x < α x1 < x < α  ∆ >  a.f (α ) > S b  =−  a.f (α ) > S b  =− >a 2a 2 Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 2( m + 4) x + m + = có nghiệm dương Ví dụ Xác ñịnh a ñể biểu thức (a + 1) x − 2(a − 1) x + 3a − dương Ví dụ Tìm m ñể bất phương trình x + x − ≥ m nghiệm ñúng với x Ví dụ Tìm m ñể phương trình x + mx + 2m = có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn -1< x1 < x 2 Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 2mx + 2m − = có nghiệm thỏa mãn − ≤ x1 ≤ x ≤ Ví dụ Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − =0 Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 2mx + m + = có nghiệm lớn Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 6mx + 9m − 2m + = có nghiệm x1 ≤ x ≤ Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI I Phương trình trùng phương (1) ax + bx + c = 0, a ≠ 2 ðặt t = x ≥ phương trình (1) trở thành: at + bt + c = (2) • PT (1) có nghiệm (2) có nghiệm không âm • PT (1) có ñúng hai nghiệm phân biệt (2) có ñúng nghiệm dương • PT (1) có ñúng nghiệm phân biệt (2) có nghiệm nghiệm dương • PT (1) có ñúng nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – = a)Tìm giá trị m ñể phương trình vô nghiệm b)Tìm giá trị m ñể phương trrình có nghiệm phân biệt Ví dụ Tìm m cho ñồ thị hàm số y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + cắt trục hoành ñiểm phân biệt A, B, C, D với AB = BC = CD II Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối 1) Các dạng bản: b ≥ |a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b a = ± b |a| ≤ b b ≥ ⇔ 2 a ≤ b b <  | a | ≥ b ⇔  b ≥ a ≥ b  | a | ≥ | b | ⇔ a ≥ b2 Ví dụ Giải phương trình | x2 – 3x + | - 2x = Ví dụ Giải bất phương trình x2 - | 4x – | < Ví dụ Giải biện luận phương trình | 2x – m | = x Ví dụ Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = Ví dụ Giải biện luận bất phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m | 2)Phương pháp ñồ thị: a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x) - Chia ñồ thị hàm số f(x) phần: phần ñồ thị nằm phía trục hoành (1) phần ñồ thị nằm phía trục hoành (2) - Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị (3) - ðồ thị hàm số y = | f(x) | ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) phần ñồ thị (3) vừa vẽ b) ðịnh lí: Số nghiệm phương trình g(x) = h(m) số giao ñiểm ñường thẳng nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x) Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng vế phương trình vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) ñường thẳng y = h(m) áp dụng ñịnh lí ñể biện luận Ví dụ Tìm m ñể phương trình | x2 – | = m4 – m2 +1 có nghiệm phân biệt Ví dụ Biện luận theo m số nghiệm phương trình | x – | + | x + | = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Các dạng Dạng 1: Dạng 2: n +1 2n f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1 ϕ( x ) ≥ f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔  2n f ( x ) = [ϕ( x )] Dạng 3: f ( x ) ≥  , f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > f ( x ) < [ϕ( x )]2  f ( x ) ≥  f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2  f ( x ) ≥  ϕ( x ) < , f ( x ) > ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥  f ( x ) > [ϕ( x )]2 f ( x ) <  ϕ( x ) ≥ f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥  f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2 Dạng 4: Ví dụ Giải phương trình x − 2x + = 2x + Ví dụ Giải bất phương trình x − x − 12 < x Ví dụ Giải bất phương trình x + 5x − > − x Ví dụ Tìm m ñể phương trình có nghiệm x − m = x + mx − II Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không 1) Phương pháp lũy thừa hai vế: - ðặt ñiều kiện trước biến ñổi - Chỉ ñược bình phương hai vế phương trình ñể ñược phương trình tương ñương (hay bình phương hai vế bất phương trình giữ nguyên chiều) hai vế chúng không âm - Chú ý phép biến ñổi thức A2 = A Ví dụ Giải phương trình x +1 = − x + Ví dụ Giải bất phương trình x + ≥ 2x − + − x Ví dụ Giải bất phương trình x − 5x + > Ví dụ Giải bất phương trình x + − x +1 ≤ x Ví dụ 9.Giải phương trình x + 8x + + x − = x + Ví dụ 10.Giải bất phương trình x − 4x + − x − 3x + ≥ x − 2)Phương pháp ñặt ẩn phụ: - Những toán có tham số ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh ẩn - Chú ý ñẳng thức (a ± b) = a ± 2ab + b , a − b = (a + b)(a − b) , … 5x + 10 x + ≥ − x − x Ví dụ 11.Giải bất phương trình Ví dụ 12.iải phương trình x + + x + + x +1− x + = Ví dụ 13.Giải phương trình x + + x − = x − 15 + x − Ví dụ 14.Giải phương trình 9x + Ví dụ 15.Giải bất phương trình 3x + x − = x2 x 5 x+ < 2x + +4 2x x Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG I Hệ phương trình ñối xứng loại 1)Khái niệm: Là hệ mà phương trình không ñổi ta thay x y thay y x 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) nghiệm hệ (yo, xo) nghiệm hệ 3)Cách giải: x + y = S Biến ñổi hệ phương trình dạng: Hệ ñã cho ⇔  (1) x.y = P Khi ñó x, y nghiệm phương trình: t − St + P = (2) Nếu ∆ = S – 4P > phương trình (2) có hai nghiệm t1 ≠ t2 nên hệ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (t1, t2), (t2, t1) Nếu ∆ = phương trình (2) có nghiệm kép t1 = t2 nên hệ (1) có nghiệm (t1, t2) ðiều kiện ñể hệ (1) có cặp nghiệm (x, y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ ∆ = S − P ≥  S ≥ P ≥  x y + y x = 30 x − y − xy =   2 x x + y y = 35 x + y + xy =  x + + y − = m xy( x + 2)( y + 2) = 5m − Ví dụ 2.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm   2 x + y = m − 4m +  x + y + 2( x + y ) = m x + y = Ví dụ 1.Giải hệ phương trình  3 x + y = 26 II Hệ phương trình ñối xứng loại 1)Khái niệm: Là hệ phương trình mà hệ phương trình ta ñổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) nghiệm hệ (yo, xo) nghiệm hệ 3)Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta ñược phương trình có dạng: (x – y).f(x,y) = ⇔ x – y = f(x,y) =  2x = y + x + xy = 40 y x y − = y  y Ví dụ 3.Giải hệ phương trình    2  y + x y = 40 x xy − = x 2 y = x +  x 2 x + y − = m x = y − y + m Ví dụ 4.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm:    y = x − x + m 2 y + x − = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC I Hệ vô tỷ  x + y + xy = Ví dụ Giải hệ phương trình   x + y = x + y + xy = a Ví dụ Giải biện luận  x − y = a  x+ y + x− y =2  Ví dụ Giải hệ phương trình   y + x − y − x =  x − − y = Ví dụ Giải hệ phương trình   − x + y =  x + + y = m Ví dụ Tìm m ñể hệ có nghiệm   y + + x = II Hệ hữu tỷ 2y   x + y2 −1 + x =  Ví dụ Giải hệ phương trình  x + y + x = 22  y x − y = Ví dụ Giải hệ phương trình  xy( x − y) = 3 x + y = y + 16 x Ví dụ Giải hệ phương trình  1 + y = 5(1 + x ) x − y = a (1 + xy) Ví dụ Tìm a ñể hệ có nghiệm  xy + x + y + = 2 y( x − y ) = 3x Ví dụ 10 Giải hệ phương trình  x ( x + y ) = 10 y x + y = m Ví dụ 11.Tìm m ñể hệ có hai nghiệm phân biệt:  2 x − y + 2x = 2 x − xy − y = −11 Ví dụ 12 Giải hệ phương trình  ( x − y ) xy = 180 x − y = 19( x − y) Ví dụ 13 Giải hệ phương trình  x + y = 7( x + y) ========================================================== Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I Phương trình lượng giác Khi giải phương trình lượng giác cuối dẫn ñến phép giải phương trình lượng giác Ta cần ghi nhớ bảng sau ñây: Phương trình ðiều kiện có nghiệm ðưa dạng Nghiệm sinx = m −1 ≤ m ≤ sinx = sin α cosx = m tgx = m cotgx = m −1 ≤ m ≤ m ọi m m ọi m cosx = cos α tgx = tg α cotgx = cotg α x = α + k 2π  x = π − α + k 2π  ± α + k2 π α + kπ α + kπ Ở bảng k nhận giá trị nguyên ( k ∈ Z ) ðơn vị góc thường dùng radian ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị hàm lượng giác góc ñặc biệt ðường tròn lượng giác giúp ta nhớ cách rõ ràng Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Ví dụ Giải phương trình: ; Ví dụ Giải phương trình: π a) cos2x = cos ; a) sin3x = b) sin(2x - π ) = 1; c) sin( xπ ) = Ví dụ Giải phương trình: π π π ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ) π 8π cos ( cos x − ) = 3 cos(π sin x ) = cos(3π sin x ) Ví dụ Giải phương trình: cos x − sin ( x ) = Ví dụ Giải phương trình: b) cos(3x - II Phương trình bậc ñối với sinx cosx: asinx + bcosx = c (1) , a + b ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho a + b , ta ñược: a b c (1) ⇔ (2) sin x + cos x = 2 2 a +b a +b a + b2 a b ðặt = sin ϕ ; = cos ϕ 2 a +b a + b2 c Khi ñó phương trình lượng giác có dạng: cos(x - ϕ ) = (3) a + b2 c ≤ ⇔ a +b2 ≥ c2 Phương trình có nghiệm khi: 2 a +b c Khi ñó tồn α ∈ [0; π] cho cos α = nên ta có: a + b2 (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z Ví dụ Giải phương trình: 2sin4x + sinx = cosx Ví dụ Cho phương trình: sinx + mcosx = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m ñể phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: cos x + sin x cos x + sin x = Ví dụ Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ IR: cos x + sin( x + α) = sin 8x − cos x = (sin x + cos 8x )  π Ví dụ 11 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ 0;  :  2 cos2x – msin2x = 2m – Ví dụ 12 Giải phương trình: sin8x – cos6x = (sin6x + cos8x) Ví dụ 13 Giải phương trình: cos x − cos x cos x − sin x + = Ví dụ 10 Giải phương trình: Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội