Các phương pháp biện luận tam thức bậc hai toán lớp 9

Phần I TÓM TẮT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ TAM THỨC BẬC HAI I Định nghĩa cách giải Phương trình: ax2 + bx + c = (a ¹ 0) gọi phương trình bậc (PTBH) Đa thức: f(x) = ax2 + bx + c = gọi tam thức bậc (TTBH) * Nghiệm PTBH (nếu có) gọi nghiệm TTBH * Dạng tắc TTBH: ax2 + bx + c = a[(x + b b - 4ac ) ] 2a 4a (1) Từ dạng (1) ta đưa cách giải công thức nghiệm SGK trình bày II Sự phân tích TTBH Nếu D > f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) với x1, x2 nghiệm III Định lý Vi-ét Nếu D > phương trình f(x) = ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt và: S = x1 + x2 = - b a c a P = x1x2 = Ngược lại: Nếu x + y = S x.y = P x, y nghiệm phương trình bậc hai: t2 - St + P = IV Đồ thị hàm số bậc 2: a>0 D>0 a>0 D0 D=0 -2 -4 a0 a af(x) < " x Î(x1;x2) af(x) ³ " x Î (-¥; x1] U [x2; +¥) Đảo lại: 1) Nếu $ a cho: af(a) < f(x) có nghiệm phân biệt x1< a af(a) > D>0 D>0 Û a < x < x2 Û x1 < x2 < a; S a Hệ trực tiếp: 1') Cho a < b, f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) x1 < a < x2 < b Û f(a).f(b) < a < x < b < x2 2') a < x1 < x2 < b Û D > af(a) > af(b) > [ a< S Û m > *Nếu m > Þ pt(2) có nghiệm phân biệt m ¹ 12 * Nếu m =12 Þ pt(2) có ngh nghiệm: nghiệm đơn nghiệm kép VD3: Cho hàm số: y = (x - 2)(x2 + mx + m2 - 3) (3) có đồ thị (C) Tìm m để: a) (C) cắt Ox điểm phân biệt b) (C) tiếp xúc với Ox Giải tóm tắt: Đặt f(x) = x2 + mx + m2 - a) (C) cắt Ox điểm phân biệt Û D>0 f(2) ¹ b) (C) tiếp xúc với Ox Û f(2) = D=0 [ VD4: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = (4) vô nghiệm Thật vậy: D = (a2 + b2 - c2)2 - 4a2b2 = (a2 + b2 - c2 - 2ab)( a2 + b2 - c2 + 2ab) = [(a - b)2 - c2 ][(a + b)2 - c2] = (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c) < BÀI TẬP: 1.1 Giải phương trình: (x + 1)(½x½ - 1) = - 1.2 Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = Hãy thiết lập phương trình với nghiệm là: y1 = 1 y2 = x1 x2 1.3 Tìm tất giá trị k để phương trình: x - 2x + = k ( x - 3) x -1 có nghiệm kép không âm 1.4 Tìm tất giá trị p để parabol: y = x2 + 2px + 13 có đỉnh cách gốc toạ độ khoảng PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG CỦA HAI NGHIỆM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM PTBH Đặt Sn = x1n + x 2n , x1x2 = P Ta có S1 = x1 + x2 = S S2 = x12 + x 22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = S2 - 2P Sn tính theo công thức truy hồi sau: (*) aSn + bSn-1 + cSn-2 = Ta chứng minh (*) sau: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = (1) Þ ax12 + bx1 + c = ax22 + bx2 + c = (2) Nhân hai vế (1) (2) với x1n- x 2n - (nÎZ, n > 2) Ta có: ax1n + bx1n -1 + cx1n -2 = (3) ax2n + bx2n -1 + cx 2n - = (4) Cộng (3) (4) vế với vế ta a( x1n + x 2n ) + b( x1n -1 + x 2n -1 ) + c( x1n -2 + x 2n - ) = Ta có điều PCM VD5: Cho A = (1 + ) + (1 - ) Chứng minh A Î Z HS: A = S5 = 152 VD6: Cho f(x) = 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + Gọi x1, x2 nghiệm f(x) Tìm Max A A=| x1x2 - 2x1 - 2x2 | (*) Giải: Để $ x1, x2 D ³ Û -5 £ m £ -1 Khi đó: A = m + 8m + Xét dấu A ta có: m2 + 8m + £ "x thoả mãn (*) ÞA= - m - 8m - - ( m + 4) 9 = £ Þ MaxA = 2 2 VD7: Tìm điều kiện cần đủ để phương trình ax2 + bx + c = (a ¹ 0) có nghiệm nghiệm gấp k lần nghiệm Giải: Xét: M = (x1 - kx2)(x2 - kx1) = PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC = (k + 1)2ac - kb2 Þ Điều kiện cần: Nếu x1 = kx2 x2 = kx1 Þ M = Û (k + 1)2ac = kb2 Điều kiện đủ: Nếu (k + 1)2ac = kb2 Û M = Û x1 = kx2 x2 = kx1 2 VD8: Biết a, b, c thoả mãn: a +b +c =2 (1) ab + bc + ca = (2) [ Chứng minh: - £ a, b, c £ (3) Nhận xét: Từ (1) (2) ta thấy vai trò a, b, c bình đẳng nên ta cần chứng minh số a, b, c thoả mãn (3) Đặt: S = a + b P = ab Từ (1) (2) ta có: S - 2P = - c2 (4) P + cS = (5) Từ (5) Þ P = - cS thay vào (4) ta có S2 - 2(1 - cS) = - c2 Û S2 + 2cS + c2 - = Û S = -c + S = -c - * Nếu S = -c +2 Þ P = c2 - 2c + Þ a, b nghiệm phương trình: t2 - (2 - c)t + c2 - 2c + = Phương trình phải có nghiệm Û D ³ Û £ c £ 4/3 * Nếu S = -c - Tương tự ta có: -4/3 £ c £ [ Tóm lại: Ta có - £ a, b, c £ VD9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 - 4x + m cắt Ox điểm phân biệt A, B cho: OA = OB HD: OA = | xA | ; OB = | xB | xét trường hợp: xA= 3xB xA= - 3xB BÀI TẬP: 2.1 Tìm tất giá trị m để tổng bình phương nghiệm phương trình: x2 - mx + m - = đạt giá trị nhỏ 2.2 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phương trình: x + y = 2a - x2 + y2 = a2 + 2a - Xác định a để tích xy nhỏ PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC QUAN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA HAI PTBH 1) Hai phương trình ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c = có nghiệm chung Û Hệ ax2 + bx + c = (1) có nghiệm a'x2 + b'x + c = Ta giải hệ (1) phương pháp Tuy nhiên ta giải theo phương pháp sau đơn giản nhiều: Đặt x2 = y ta có: ay + bx = - c (2) a'y + b'x = - c' Þ Hệ (1) có nghiệm Û Hệ (2) có nghiệm y = x2 ìD ¹ ï Û í D y D x2 = ï îD D ìD ¹ ï Ûí D x2 ïD y = î D VD10: Chứng minh phương trình x2 + p1x + q1 = x2 + p2x + q2 = có nghiệm chung thì: (q1 - q2)2 + (p1 - p2)(q2p1 - q1p2) = HD: Sử dụng phương pháp trình bày 2) Hai phương trình bậc tương đương Chú ý: HS hay bỏ sót trường hợp: Nếu phương trình vô nghiệm tương đương (trên tập đó) VD11: Tìm m để hai phương trình x2 -mx + 2m - = x2 -(m2 + m - 4)x +1 = tương đương *Trường hợp 1: D1 < D2 < *Trường hợp 2: Sử dụng Vi-ét 3) Hai phương trình có nghiệm xen kẽ Chú ý rằng: Mọi phương trình ax2 + bx + c = (a ¹ 0) đưa dạng: x2 + px + q = Do ta có toán: Với điều kiện p, q, p', q' để phương trình: PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC