Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n với n z Giải: Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp n (n + 1) (n - 1) 12n Vậy n3 + 11n Ví dụ 2: Cho a, b z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 16a 17b 11 (1) 17a 16b 11 Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) 16a 17b 11 Từ (1) (2) 17a 16b 11 Vậy (16a +17b) (17a +16b) 121 Ví dụ 3: Tìm n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n Giải : Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n n2 - n 30 6n n(n - 1) (1) 30 n (2) Từ (1) n = 3k n = 3k + (k N) Từ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay giá trị n vào P ta có n {1; 3; 10; 30} thoả mãn Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} P = (n + 5)(n + 6) 6n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 23 Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24 Bài 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bài 4: Tìm n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N 23 Bài 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ n(3n + 5) ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + Nếu n + = n = -8 (thoả mãn) Nếu n + n + 8 n2 + n -n Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n {-2; 0; 2} thử lại Vậy n {-8; 0; 2}