Phương pháp 5 biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng

Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A(n)  k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n  với  n  z Giải: Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp  n (n + 1) (n - 1)  12n  Vậy n3 + 11n  Ví dụ 2: Cho a, b  z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b)  11 CMR: (16a +17b) (17a +16b)  121 Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b)  11 16a  17b 11   (1) 17a  16b 11 Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b)  11 (2) 16a  17b 11 Từ (1) (2)   17a  16b 11 Vậy (16a +17b) (17a +16b)  121 Ví dụ 3: Tìm n  N cho P = (n + 5)(n + 6)  6n Giải : Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n  6n nên để P  6n  n2 - n + 30  6n n2 - n     30  6n  n(n - 1)  (1)  30  n (2) Từ (1)  n = 3k n = 3k + (k  N) Từ (2)  n  {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2)  n  {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay giá trị n vào P ta có n  {1; 3; 10; 30} thoả mãn Vậy n  {1; 3; 10; 15; 30} P = (n + 5)(n + 6)  6n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73  23 Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24  24 Bài 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1  59 b 2n + 14  Bài 4: Tìm n  N cho n3 - 8n2 + 2n  n2 + HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N  23 Bài 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ  n(3n + 5)   ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m  59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15  Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n +  (n2 + 1)  n +  n2 + Nếu n + =  n = -8 (thoả mãn) Nếu n +   n + 8 n2 + n   -n  Víi n  8 n  n   Víi n  8    n   n  Víi n  8 n  n   Víi n  8  n  {-2; 0; 2} thử lại Vậy n  {-8; 0; 2}