Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A (n) k ta biến đổi A (n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k. Ví dụ 1: CMR: n 3 + 11n 6 với n z. Giải: Ta có n 3 + 11n = n 3 - n + 12n = n(n 2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp n (n + 1) (n - 1) 6 và 12n 6 Vậy n 3 + 11n 6 Ví dụ 2: Cho a, b z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 1116b 17a 1117b 16a (1) Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) Từ (1) và (2) 1116b 17a 1117b 16a Vậy (16a +17b) (17a +16b) 121 Ví dụ 3: Tìm n N sao cho P = (n + 5)(n + 6) 6n. Giải : Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n 2 + 11n + 30 = 12n + n 2 - n + 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n 2 - n + 30 6n (2)n30 (1)3 1) -n(n 6n30 6n - n2 Từ (1) n = 3k hoặc n = 3k + 1 (k N) Từ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay các giá trị của n vào P ta có n {1; 3; 10; 30} là thoả mãn Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} thì P = (n + 5)(n + 6) 6n. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 2 3 Bài 2: CMR: 36n 2 + 60n + 24 24 Bài 3: CMR: a. 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 59 b. 9 2n + 14 5 Bài 4: Tìm n N sao cho n 3 - 8n 2 + 2n n 2 + 1 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 = (1 3 + 7 3 ) + (3 3 + 5 3 ) = 8m + 8N 2 3 Bài 2: 36 2 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ n(3n + 5) 2 ĐPCM Bài 3: a. 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 = 5 n (25 + 26) + 8 2n+1 = 5 n (59 - 8) + 8.64 n = 5 n .59 + 8.59m 59 b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15 = (81 n - 1) + 15 = 80m + 15 5 Bài 4: Có n 3 - 8n 2 + 2n = (n 2 + 1)(n - 8) + n + 8 (n 2 + 1) n + 8 n 2 + 1 Nếu n + 8 = 0 n = -8 (thoả mãn) Nếu n + 8 0 n + 8 n 2 + 1 807n 809n 81n8n 81-n8n 2 2 2 2 nn nn n n Víi Víi Víi Víi n {-2; 0; 2} thử lại. Vậy n {-8; 0; 2} . Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A (n) k ta biến đổi A (n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều