Phép chia đa thức

PHÉP CHIA ĐA THỨC A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao phép chia đa thức * Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ vận dụng phép chia đa thức vào toán khác * Tạo hứng thú cho HS trình học tập vận dụng vào thực tiễ B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại số kiến thức: Đa thức A chia hết cho đa thức B luỹ thừa biến A chia hết cho luỹ thừa biến B Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B R = ; A không chia hết cho b R  II Xác định hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B: Phương pháp: 1.1- Cách 1: + Chia A cho B thương Q, dư R + Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng đồng thức 2.1- Cách 2: Dùng hệ số bất định Đa thức bị chia có bậc m, đa thức chia có bậc n thìo thương có bậc m – n Nếu gọi thương xm – n + C (C đa thức chưa xác định) Thì A = (xm – n + C ) B A chia hết cho B hệ số luỹ thừa hai vế phải 3.1 - Cách 3: dùng giá trị riêng (chỉ áp dụng đa thức bị chia có nghiệm) Gọi thương phép chia A cho B C A = B.C Tìm giá trị biến để C = dùng hệ số bất định để xác định hệ số III Bài tập áp dụng: Hoạt động GV Hoạt động HS III.1 - Dạng 1: Bài 1: xác định a, b để A(x) = x3 + ax + b chia HS ghi đề , tìm cách giải hết cho B(x) = x2 + x – Hãy thực phép chia A(x) cho B(x) HS thực phép chia: x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b Để A(x) chia hết cho B(x) phải có Đk Hãy dùng hệ số bất dịnh để tìm a b Để A(x)  B(x)  (a + 3)x + b - = a + = a = -   b - = b = Thử lại xem có không HS thử lại: Bài 2: Tìm a, b  Q để A = x + ax + b chia hết cho B = x2 – Gọi thương x2 + c ta có đẳng thức nào? HS ghi đề tìm cách giải Gọi thương x2 + c ta có đẳng thức x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c ) Đẳng thức xẩy với x  Q nên ta có điều gì? Hãy tìm a, b, c tương ứng 4 Đẳng thức xẩy với x  Q nên a  a    c     c  b  4c b  16   III.2 – Dạng 2: Các toán chứng minh Bài 1: Chứng minh định lí Bơ-du “ Số dư phép chia f(x) cho nhị thức HS tiếp cận yêu cầu x – a giá trị đa thức x = a” Nếu gọi thương q(x) dư r f(x) = ?  x + ax + b = x + (c – 4)x – 4c Ta có f(x) = (x – a) q(x) + r Khi x = a f(x) = ? Khi x = a f(x) = (a – a) q(x) + r  f(x) = r (số dư f(x) : (x – a)) Bài 2: chứng minh rằng: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 -  x – HS tiếp cận đề Ap dụng định lí Bơ- du ta có điều gì? Ta có: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - = (x – 1) Q(x) + r (định lí Bơ-du) f(1) = (1 + – 1)10 + (1 – + 1)10 – =  (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 -  x – Bài 3: Chứng minh Với m, n  Z thì: A = (x3m + + x3n + + 1) chia HS tiếp cận đề hết cho B = x2 + x + Để C/m : A = (x3m + + x3n + + 1) chia hết cho B = x2 + x + ta C/m A  (x3 – 1) Vì sao? Để C/m điều ta làm nào? HS phát biểu: Vì x3 – = (x – 1)(x2 + x + 1)  (x2 + x + 1) A = (x3m + – x) + (x3n + – x2) + (x2 + x + x3m – = (x3 – 1)(x3m – + x3m – + … + 1) có chia hết cho x3 – 1? 1) = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – = (x3 – 1)(x3m – + x3m – + … + 1) chia hết cho x3 – nên chia hết cho Tương tự ta có kết luận gì? x2 + x +  x(x3m – 1)  x2 + x + (1) Tương tự: x2 (x3n – 1)  x2 + x + (2) Và x2 + x +  x2 + x + (3) III 3- Dạng 3: Các toán khác Từ (1), (2), (3) suy đpcm Bài 1: Tìm số dư phép chia A(x) = x50 + x49 + + x + cho Gọi thương Q(x), dư R(x) = ax + b ta có: A(x) = B(x) Q(x) + ax + b B(x) = x – Đẳng thức với x nên x2 – = Gọi thương Q(x) , dư R(x) = ?  x = x = -1 Khi A(x) =? Đẳng thức với x nên ta có điều gì? A(1) = a + b 51  a + b  a = 25    A(-1) = - a + b  1=-a+b  b = 26 Vậy R(x) = 25x + 26 HS ghi đề Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) – dư 2; chia x + dư chia cho x2 + x – 12 thương x2 + dư * So sánh x2 + x – 12 với (x + 3)(x + 4) ? Gọi dư f(x) : (x2 + x – 12 ) ax + b Thương f(x) chia cho x + 3; x + p(x), q(x) ta có điều gì? HS phát biểu f(x) = (x - 3).p(x) + (1)  (2) f(x) = (x + 4).q(x) + f(x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) + ax + b (3)  Từ (1)  f(3) = ; từ (3)  f(3) = 3a + b  3a + b = (4) Từ (2) (3) sy : -4a + b = (5) Từ (1) (3) suy điều gì? Từ (4) (5) suy ra: a = -1; b = Vậy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + Từ (2) (3) suy điều gì? Từ (4) (5) ta có a =?; b = ? Vậy đa thức cần tìm đa thức nào? III Bài tập nhà: Bài 1: Xác định a; b để a) A = x4 + a x2 + b chia hết cho B = x2 + x + = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31 b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – có dư R = 2x – c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + dư - chia R = x – dư 21 Bài 2: Chưng minh a) mn(m2 – n2) chia hết cho với số nguyên m, n b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với số nguyên n Bài 3: a)Tìm số dư phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11 b) Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức A = x3 – 3x2 – 3x – chia hết cho giá trị biểu thức B = x2 + x +