Bất đẳng thức cauchy

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt KIẾN THỨC CƠ BẢN: A ≥ B ⇔ Định nghĩa:  A ≤ B ⇔ Tính chất: a > b, c > d ⇒ a + c a > b, c < d ⇒ a − c http//:www.maths.vn A−B ≥ A−B ≤ >b +d >b −d a > b ⇔ a n > b n , n chẵn a > b ⇔ a n > b n , n chẵn m > n > 0, a > ⇒ a n > b n a > b, c > ⇒ ac > bc a > b, c < ⇒ ac < bc a > b ≥ 0, c > d ≥ ⇒ ac > bd a = ⇒ a n = bn ; < a < ⇒ a n < bn 10 1 a > b, ab > ⇒ < a b 11 A + B ≥ A + B Đẳng thức xảy A.B > a > b > ⇒ a n > bn 12 Một số bất đẳng thức thường dùng: x −1 ≤ x 2 a a > ; a, b, c ∈ ℤ + a +b a +b +c     + ab 1+a +b < a ≤ b ≤ c ≤ ⇒ ab + ≤ ac + ≤ bc + a a ⇒ ≤ bc + ab + 4a + + 4a + = 4a + 1 ≤ = 2a + a 10 11 (a + b )  a1 + b1  ≥ ;  A − B ≤ A − B Đẳng thức xảy A.B < + b ≥ ( )  (a + b + c )  a1 + b1 + c1  ≥  (a + b )  2ab a +b ≥ 4ab ⇒ ≤ a +b 2 a + b2  a + b  a ≥ ≤ =  ; 2 2a   1+a 12 1−x 13 ( a +b ≤ a +b ) + 1−y ≥ − xy a a +b +c ≥ b +c 2a 14 a + b    ≥ ab hay a + b ≥ 4ab   15 a b + ≥ 2; a + b ≥ ab ⇔ ≥ b a ab a + b ( 1 + ≥ ; a, b ≥ a b a +b ) ≥ x y x +y ( 16 = k 17 k = ) 2 k + k k + k > < k +1 + k k + k −1 -1- www.mathvn.com =2 =2 ( ( k +1 − k k − k −1 ) ) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đẳng thức thường dùng : (A + B ) = A + 2AB + B (A + B + C ) = A + B + C + 2AB + 2AC + 2BC (A + B ) = A + 3A B + 3AB + B 2 2 2 2 Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a + b + c ≥ ab + bc + ac Giải: a + b + c ≥ ab + bc + ac ⇔ a + b + c − ab − ac − bc ≥  a2 b2   c2 a   c2 b2  ⇔  − ab +  +  − ac +  +  − bc +  ≥ 2   2   2   2 2 2 ( a −b a − 2ab + b c − 2ac + a c − 2cb + b ⇔ + + ≥0⇔ 2 2 Đẳng thức xảy a = b = c Chứng minh với số thực a, b ) + (c − a ) + (c − b ) 2 2 (a + b ) không âm ta có: + 2 ≥ a +b ≥ a b +b a Giải: (a + b ) + Xét hiệu :  a +b a +b  1 1 =  a + b +  ≥ ab  a + b +   2 2  (  1 ab  a + b +  − ab 2  (a + b ) Vậy: 2    1     a + b = ab  a + b + − a − b  = ab  a −  +  b −  ≥  2  2      ) a +b ≥ a b +b a Chứng minh với số thực a, b, c, d, e ta có: a + b + c + d + e ≥ a b + c + d + e + ( Giải: ( ) ( ) ( a + b + c + d + e ≥ a b + c + d + e ⇔ a + b + c + d + e ≥ 4a b + c + d + e ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ a − 4ab + 4b + a − 4ac + 4c + a − 4ad + 4d + a − 4ac + 4c ≥ ( ⇔ a − 2b ) + (a − 2c ) + (a − 2d ) + (a − 2c ) 2 2 ≥ -2- www.mathvn.com ) ) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Đẳng thức xảy b = c = d = e = a (a − c ) + (b − d ) Chứng minh với số thực a, b, c, d ta có: ≤ a + b2 + c2 + d Giải: (a − c ) + (b − d ) ≤ a + b + c + d ⇔ (a − c ) + (b − d ) ≤ a + b + c + d + (a + b )(c + d ) ⇔ (a − c ) − (a + c ) + (b − d ) − (b + d ) ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ −2ac − 2bd ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ ( −1)(ac + bd ) ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ (ac + bd ) ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ (ac ) + (ac )(bd ) + (bd ) ≤ (ac ) + (ad ) + (bc ) + (bd ) ⇔ (ac )(bd ) ≤ (ad ) + (bc ) ⇔ (ad ) − (ad )(bc ) + (bc ) ≥ ⇔ (ad − bc ) ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ad = bc CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH CÁC SỐ HẠNG HOẶC TÁCH CÁC THỪA SỐ MỘT VẾ Chứng minh với n ∈ N , ta có : 1 1 + + + < 1.5 5.9 (4n − 3)(4n + 1) Giải: 1  1 = = 1 −  1.5 1.5  5 1 1 1 = =  −  Ta có : 5.9 5.9   1  1  =  −  (4n − 3)(4n + 1)  4n − 4n +  1 1 1 1  + + + =  − + − + + −  1.5 5.9 (4n − 3)(4n + 1)  5 4n − 4n +  1  4n n n = 1 − = < = = 4 4n +  4n + 4n + 4n Cộng vế theo vế ta : PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI -3- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu " = " BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh không trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu " = " phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên toán quy hoạch tuyến tính, toán tối ưu, toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trò biến BĐT dấu " = " thường xảy vị trí biến Nếu toán có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu " = " xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT : " ≤, ≥ " giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Dạng tổng quát ( n số): ∀x 1, x , , x n ≥ ta có: x1 • Dạng 1: • Dạng 2: x + x + x n n ≥ + x + x n ≥ n n x x x n n x x x n n  x + x + x n  • Dạng 3:   ≥ x x x n  n   Dấu " = " xảy khi: x = x = = x n Hệ 1: Nếu: x + x + x n ( = S = const thì: max P x x x n x = x = = x n = Hệ 2: ) n S  =  n  S n ( ) Nếu: x x x n = P = const thì: S x + x + + x n = n n P x = x = = x n = ( )( n P )( ) Chứng minh số thực a, b, c ta có : a + b b + c c + a ≥ 8a 2b 2c Giải: -4- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a + b ≥ ab ≥   2 2 2 2 2 2 2 b + c ≥ bc ≥ ⇒ a + b b + c c + a ≥ a b c = 8a b c  2 c + a ≥ ca ≥ ( )( )( ) Bình luận: • Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không âm • Cần ý rằng: x + y ≥ xy x , y âm hay dương • Nói chung ta gặp toán sử dụng BĐT Cô Si toán nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cô Si Trong toán dấu " ≥ " ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số • Chứng minh a, b, c > thỏa mãn a.b.c = 1 1 + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Giải: ( ) Ta có : a + b ≥ 2ab; b + ≥ 2b ⇒ a + 2b + ≥ ab + b + ⇒ 1 ≤ a + 2b + ab + b + 1 1 1 ≤ ; ≤ 2 b + 2c + bc + c + c + 2a + ac + a +  1 1 1 Cộng vế theo vế : + + ≤  + +  2 a + 2b + b + 2c + c + 2a +  ab + b + bc + c + ac + a +  1 1 ab b Mặt khác : + + = + + ab + b + bc + c + ac + a + ab + b + ab c + abc + ab abc + ab + b ab b + ab + b = + + = = ab + b + ab + b + ab + b + ab + b + 1 1 Vậy : + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + Tương tự :  ( Lời bình : Bài toán sử dụng đến bất đẳng thức x − y ) ≥ với x , y ∈ ℝ Cho x , y số thực dương khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q=  x 10 y 10  16 16 2  +  + x + y − + x y 2 y x  ( ) ( ) Giải: 1x y  4 12 12  +  ≥ x y Đẳng thức xảy x = y 2 y x  16 x + y 16 ≥ x 8y Đẳng thức xảy x 16 = y 16 10 ( 10 ) -5- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 1 1 x y + x 4y − + x 2y = x 8y + 2x 4y + − + x 2y − = x 4y + − x 2y + − 2 2 2 2   Mặt khác : 12 + 12  x 2y + 12  ≥ x 2y + hay x 4y + ≥ x 2y + Đẳng thức xảy   2 x y = ⇒Q ≥ ( ⇒ ( )( 4 x y +1 ) ≥ ( ) 2 x y +1 ( ) ⇒Q ≥ ) ( 2 x y +1 ( ) ( ) ( ) − x 2y + − ) ( ) 1 2 5  =  x y + − 4 − ≥ − 8 2  Đẳng thức xảy x 2y = Vậy : minQ = − x = y = 2 2 x z  y x  z y   + +  + +  ≥ 12 Cho x , y, z số thực dương Chứng minh rằng:  +  y xyz   z xyz   x xyz        Giải: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân: x z xz y x yx z y zy + ≥2 ; + ≥2 ; + ≥2 y xyz y xyz z xyz z xyz x xyz x xyz 2  x z  y x  z y  xz yx zy  + +  + +  ≥ 4 ⇒ + + +  y xyz   z xyz   x xyz   y xyz z xyz x xyz        Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân:  xz yx zy  xz yx yx  ≥ 4.3 4 + + = 12 3 3  y xyz  z xyz x xyz y xyz z xyz z xyz   2 x z  y x  z y   + +  + +  ≥ 12 Vậy :  +  y xyz   z xyz   x xyz        Cho n nguyên n ≥ Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: n A= x  x x x n +1 + + + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥ n +1 n n n n x n  x n n so x n Dấu đẳng thức xảy x = n ⇔ x = n +1 n n x -6- www.mathvn.com     Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn n +1 Giá trị nhỏ A = n +1 nn Cho n nguyên n ≥ x ≥ k > n +1 n Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: Với x ≥ k > n +1 n  1  1 1  ≥ ⇔ x − k + − + + + +    ≥0 n −1 xn kn x n −2k x n −3k k n −1  x k  x   1 1  ⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 + + n −1   ≥ xk  x x k x k k    (x − k )  1  ⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 + + n −1   ≥ xk  x k x k k  x 1 1 n n n +1 Ta có: n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≤ n −1 < = n < xk n +1 n −1 x x k x k k k n f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + 1 −k − Suy f (x ) ≥ f (k ) với x ≥ k > n +1 n Giá trị nhỏ A = k + x = k kn Cách : n x   x x nx n Nháp : A = + + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  −  m m x m m m  x  n so x ,m > m x = k  n +1 Ta chọn m cho:  x = k n +1 ⇒m =x m = n  x Bài giải: A = x k n +1 + + n x k n +1  x   nx n  + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  − n +1  x k k  k  x  x n so k n +1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥  (n + 1) n  + k  − n +1  = k + n = f (k ) n k k  k  ( ) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x + y3 Đề thi Đại học khối A năm 2006 -7- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Giải: Xét x + y xy = x + y − xy * Chia hai vế cho x 2y ( ) () Đặt u = 1 ,v = x y Ta 1 1 + = + − ⇒ u + v = u + v − uv ⇒ u + v x y x xy y ( ( ⇒ u +v ) ) − (u + v ) = 3uv ≤ − 4(u + v ) ≤ ⇒ ≤ u + v ≤ Khi : A = x + y3 (x + y )(x + y − xy ) = x 3y x 3y 1 ⇒A= + + = (u + v )2 ≤ 16 xy x y = (x + y )(x + y )xy Dấu đẳng thức xảy u = v = hay x = y = x 3y = x + y + 2xy x 2y Cho số thực dương x , y, z thoả : x + y + z ≥ Tìm GTNN A = x2 x + yz Giải: (x + y + z ) x2 x + yz + y2 y + zx + z2 z + xy ≥ x + y + z + yz + zx + xy Ta có : yz + zx + xy ≤ x + y + z Suy : x2 x + yz + y2 y + zx + z2 z + xy ≥ (x + y + z ) x +y +z +x +y +z = x +y +z ≥ 2   x + y + z =  Đẳng thức xảy khi: x = y = z ⇔x =y =z =1  x y z  = =  x + yz y + zx z + xy Cho x , y, z > thoả mãn điều kiện x + y + z ≥ T = 3(u + v )2 Tìm giá trị nhỏ của: x3 y3 z3 + + 2x + 3y + 5z 5x + 2y + 3z 3x + 5y + 2z -8- www.mathvn.com + y2 y + zx + z2 z + xy Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Giải: T = T ≥ x4 ( x 2x + 3y + 5z (x ( ) + y4 ( y 5x + 2y + 3z + y2 + z ) ( ) ) + z4 ( z 3x + 5y + 2z ≥ 2 ( + y2 + z2 ) ( ) 2 x + y + z + xy + yz + zx (x + y + z ) ≥ x ≥ ) 10 (x + y + z ) 2 x + y2 + z + x + y2 + z ) (x ) 2 2 + y2 + z ≥ 10 30 Đẳng thức xảy :  x4 y4 z4 = =  y 5x + 2y + 3z z 3x + 5y + 2z  x 2x + 3y + 5z  ⇔x =y =z = x = y = z  2 x + y + z =  ( ) ( ) ( ) Cho x , y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x2 y + z ) y y + 2z z + ( y2 z + x ) z z + 2x x + ( z2 x + y ) x x + 2y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Cách 1: P ≥ 2x x xyz y y + 2z z + 2y y xyz z z + 2x x + 2z z xyz x x + 2y y ≥ 2x x y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z x x + 2y y  x x = (−2a + 4b + c) a = y y + 2z z    Đặt: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c )   c = x x + y y  z z = (4a + b − 2c)  Khi đó: P ≥ b a c   −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c   + +   ≥  −6 +  + +  + 9 a b c  9 a c b  c a b    + +   a b c   −6 + 4.3 + = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = a = b = c = Lời bình: Lời giải phức tạp , việc đặt ẩn a, b, c gặp nhiều khó khăn HSPT Cách 2: Hay P ≥ ( ) Phân tích toán: Để tiện cho việc trình bày , tạm đặt a = x , b = y , c = z -9- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Bài toán trở thành : Cho a, b, c số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( a b2 + c2 b + 2c Bài giải: Dễ thấy: b + c ≥ 2bc = Khi P ≥ 2a b3 + a2 c + 2a ) + c (a + b2 ) a + 2b ( ( ) ) ( ) ⇒ a b + c ≥ 2a Tương tự b c + a ≥ 2b ; c a + b ≥ 2c a c3 + c + 2a a + 2b  4n + p − 2m a = m = b + 2c    4n + p − 2m p + m − 2n 4m + n − 2p   p + m − 2n 3 Đặt n = c + 2a ⇒ b = ⇒P ≥  + +  9 m n p  p = a + 2b   c = 4m + n − 2p   2 n p m  p m n ⇒ P ≥ 4  + +  +  + +  −  ≥ 4.3 + − ⇒ P ≥  m n p  m n p   b + 2c + ) + b (c ( ) Cho số thực không âm x , y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( )( ) biểu thức S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy Đề thi Đại học khối D năm 2009 Giải: Nhận xét: vai trò giống (đối xứng) x , y ( ) )( ( ) S = 12 x + y + 16x 2y + 34xy = 12 x + y x + y − xy + 16x 2y + 34xy Hay S = 12 x + y  x + y  ( )( ) 2  1 191 − 3xy  + 16x 2y + 34xy =  4xy −  + 4 16   x +y  Vì x , y không âm thỏa mãn x + y = suy ≤ xy ≤   =    1  191 25 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ ≤  4xy −  + ≤ 4 4 16  25 Vậy giá trị lớn S = x = y = giá trị nhỏ S = x = 0, y = 2 ( Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn x + y ( ) ( ) + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức ) A = x + y + x 2y − x + y + Đề thi Đại học khối B năm 2009 Giải: -10- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = , ta suy < a ≤ b ≤ c < hay không? Như điều kiện a,b,c không xác dấu đẳng thức xảy 0 < a = b = c   ⇒ a , b , c ∈ 0;   2   a + b + c =  • Ta thấy mối liên hệ toán ? Dễ thấy a + b + c = b + c , c + a , a + b Gợi ý ta đưa a b c 3 toán dạng cần chứng minh : + + ≥ 2 2 1−a −b 1−c • Vì vai trò a,b,c ý phân tích gợi ý ta đưa đến cách phân tích  a ≥ a  2 a −   b a b c 3 2 + + ≥ a + b + c ) cần chứng minh  b ( 2 2 ≥ 2 1−a −b 1−c b −   c c ≥  2 1 − c • Ta thử tìm lời giải : a 3 ≥ a ⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a ) ⇔ ≥ a 2(1 − a )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a )2 2 2 27 27 1−a 1−a 3 2a 2(1 − a )2 = 2a 2(1 − a )(1 − a )  Dễ thấy  2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) = Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân = 2a + (1 − a ) + (1 − a ) ≥ 3 2a 2(1 − a )(1 − a ) ⇒ ≥ 2a 2(1 − a )(1 − a ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a )2 27 Tương tự cho trường hợp lại Giải : Cho số thực dương a,b,c Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) Phân tích toán : • Đẳng thức cần chứng minh đưa dạng : a3 b3 c3 + m (a + c ) + nb + + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) • Giả sử < a ≤ b ≤ c Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a3 Từ gợi mở hướng giải : + m (a + c ) + nb ≥ 3 mna Đẳng thức xảy b (c + a ) m =  a3 ( ) = m a + c = nb   a ⇔ = m (a + a ) = na ⇔  b (c + a ) a (a + a ) a = b = c n =  Tương tự cho trường hợp khác  Giải : a3 1 a3 1 + b + (c + a ) ≥ a Đẳng thức xảy khi: = b = (c + a ) b (c + a ) b (c + a ) 3 b 1 b 1 + c + (b + a ) ≥ b Đẳng thức xảy khi: = c = (b + a ) c (a + b ) c (a + b ) c3 1 c3 1 + a + (b + c ) ≥ c Đẳng thức xảy khi: = a = (b + c ) a (b + c ) a (b + c ) 3 a b c Cộng vế theo vế ta : + + ≥ (a + b + c ) Dấu đẳng thức xảy : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) a =b =c > Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a a a +1 + b +1 + c +1 < +b +c = Chứng minh : b a + b + b + c + c + a ≤ c a + b + b + c + c + a ≤ 18 1 d a + b + c + + + ≥ 10 a b c Giải: a +1 +1 a a + + b + + c + < ( ) ( ) ( ) a + = a + ≤ b + = b + ≤ c + = c + ≤ Đẳng thức xảy a Vậy a + + b + + ( ) ( ) ( )  a + 1 2   b +1 +1 b a +b +c = +1  ⇒ a +1 + b +1 + c +1 ≤ +3= 2 2  c +1 +1 c  = +1  2  +1 = b +1 = c +1 = ⇔ a = b = c = ⇒ a +b +c = ≠ c +1 < = b a + b + b + c + c + a ≤ Phân tích toán : www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = , dấu đẳng thức xảy 0 < a = b = c 1 ⇒ a = b = c = Hằng số cần thêm  3 a + b + c = • Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ (a + b + c ) hay 1 1 1  a + + b + b + + c + c + + a +  3+ 3+ 3 S = a +b + b +c + c +a ≤    2   • Ta thử tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 1 2  a + +b + 3  (a + b ) +  =  ≥ 2 2   Tương tự cho trường hợp lại  (a + b ) = a + b  Cách khác : Giả sử với m > , ta có : a +b = m a +b + m (a + b ) m ≤ m   Vấn   dự đoán m > phù hợp? a + b = m  Dễ thấy đẳng thức xảy  ⇔m = a = b =  Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  a + b + ( ) AM _ GM  3 (a + b ) ≤  a +b = 2    AM _GM (b + c ) + (b + c ) ≤  b +c = 2    AM _GM (c + a ) + (c + a ) ≤  c +a = 2   (a + b + c ) + 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ = = (đpcm) 2 Đẳng thức xảy a = b = c = c a + b + b + c + c + a ≤ 18 www.mathvn.com đề ta Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = , dấu đẳng thức xảy  a + b =  0 < a = b = c 2   ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = Hằng số cần thêm 3 a + b + c =   c + a =  • Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 18 (a + b + c ) hay 2 2 2 a +b) + + b + c) + + (c + a ) + + ( ( 3+ 3+ 3 T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ 3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 2  a +b + + 3 2 3  a + b = 3 a + b ≤ 3   2 b + c + +  93 2 3 b +c ≤  b +c = 3   2 c + a + + ( )  3 c + a = (c + a ) ≤  3   ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒T = a +b + b +c + c +a ≤ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = d a + b + c + (a + b + c ) + = = 18 (đpcm) 4 1 + + ≥ 10 a b b Phân tích toán : • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a 0 < a = b = c  ⇒a =b =c = a + b + c = +b +c = , dấu đẳng thức xảy • Từ điều cần chứng minh ,gợi ý ta đưa đến cách phân tích với m > , ta có : ma + ma =  a ⇔ m = Đẳng thức xảy :  a =  1 1 1 • Vì mà T = a + b + c + + + = (a + b + c ) + + + − (a + b + c ) a b b a b b www.mathvn.com ≥2 m a Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 9a + ≥  a   9b + ≥ b  9c + ≥  c 1 + + − (a + b + c ) ≥ 3.6 − (a + b + c ) = 10 (đpcm) a b b Đẳng thức xảy : a = b = c = ⇒ T = (a + b + c ) + Bài tập tương tự Cho số thực dương x , y, z thỏa mãn mx + ny + pz ≥ d m, n, p, d ∈ » Tìm giá trị lớn biểu thức A = ax + by + cz 2 Hướng dẫn : Thực việc chọn điểm rơi : ax = by = cz = 2 β Chứng minh xy + yz + zx = 3x + 3y + z ≥ 10 Phân tích toán : • Trước hết ta để ý mối liên hệ 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta điều ?, phải đẳng 2 thức có dạng : (ax − by ) ≥ ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ? • Phân tích : ax + ay ≥ 2axy Đẳng thức xảy x = y by + cz ≥ bcyz Đẳng thức xảy by = cz cz + bx ≥ cbzx Đẳng thức xảy cz = bx  a + b = a =     Bây ta chọn a,b,c cho : 2c = ⇔ b =   a = bc c =  Giải : x + y ≥ 2xy Đẳng thức xảy x = y 1 2y + z ≥ 2yz Đẳng thức xảy 2y = z 2 2 z + 2x ≥ 2zx Đẳng thức xảy z = 2x 2 www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Cộng vế theo vế ta : 3x + 3y + z ≥ (xy + yz + zx ) ⇒ 3x + 3y + z ≥ 10 (đpcm) x = y  2y = z  x = y = ⇔ Đẳng thức xảy :  z =2  z = 2x  2 xy + yz + zx =  Cho số thực dương x , y, z thoả mãn x +y +z = 47 235 Chứng minh : 3x + 4y + 5z ≥ 12 12 Phân tích toán : • Trước hết ta để ý mối liên hệ 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta điều ?, gợi ý : 3x + 4y + 5z ≥ biến đổi dạng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( < m ≤ n ≤ p ≤ k = const ) • Phân tích : 3x + m ≥ 3mx, m > Đẳng thức xảy 3x = m 2 4y + n ≥ 4ny, n > Đẳng thức xảy 4y = n 5z + p ≥ 5pz, p > Đẳng thức xảy 5z = p  x =   3x = m y =   4y = n z =  Bây ta chọn x , y, z cho : 5z = p ⇔   m = 25  3m = 4n = 5p    25 x + y + z = 47 n =  12  p =  Giải : 25 25 25 ≥ x Đẳng thức xảy 3x = 3 25 25 25 4y + ≥ y Đẳng thức xảy 4y = 4 5z + ≥ 5.5z Đẳng thức xảy 5z = 3x + Cộng vế theo vế ta 3x + 4y + 5z ≥ 10 ( x + y + z ) − 235 12 = 235 12 www.mathvn.com (đpcm) 235 12 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn  x =   Đẳng thức xảy y =  z =  Cho số thực không âm a,b,c Chứng minh : + abc ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Giải : + abc ≤ ⇔ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 1.1.1 + (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Đặt : T = 3 1.1.1 + abc ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) abc ≤1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1.1.1 abc +3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 1  1 a b c  + + +  + +   1 + a + b + c  1 + a + b + c  a + b + c +  T≤  + + = =  + a + b + c  Dấu đẳng thức xảy a = b = c ≥ T≤ Tổng quát : ( ) Chứng minh với ,bi > i = 1, n ta có : n a1a2 .an + n b1b2 .bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) (an + bn )   1 1 1  Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh :  −   −   −  ≥ a  b c  Giải : 1 1 1  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b VT =  −   − 1  −  =  . = a b c . a  b c   a   b   c  AM_GM VT ≥ bc ca ab = (đpcm) a b c Tổng quát : x 1, x , x , ., x n > Cho  x + x + x + + x n = www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn 1      n Chứng minh :  −   − −  −     ≥ (n − 1) x x x   xn      Cho số thực dương a,b,c,d thoả mãn abcd ≤ 1 1 + + + ≥ Chứng minh : 1+a +b 1+c +d 81 Giải :  1      b c d ≥ 1 + +  + 1 −  + 1 − = 1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d AM _GM bcd ≥ 33 1+a (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )   1 + a   1 + b  Vậy:   1 + c    1 + d  ⇒ bcd (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) ≥3 ≥ 33 cda (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) ≥3 ≥ 33 dca (1 + d ) (1 + c )(1 + a ) abc (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) ≥ 81 abcd ⇒ abcd ≤ 81 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) Tổng quát : x 1, x , x , , x n >  Cho :  1 1 1 + x + + x + + x + + + x ≥ n − n  Chứng minh : x 1x 2x x n ≤ (n − 1)n Bài tương tự Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a a b c + + ≥ 2 2 1+b 1+c 1+a www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a b c + + ≥ a + b2 b + c2 c + a 2 a2 b2 c2 c + + ≥ a + 2b b + 2c c + 2a b Hướng dẫn : a + b + c = a  3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤  a a(1 + b ) − ab2 ab = = a −  a ab + b2 + b2 ⇒ ≥a − 1 + b 2 1+b 1 + b ≥ 2b  b bc bc c ca ca = b − ≥ b − , = c − ≥c − 2 2 1+a 1+c 1+c 1+a a b c ab + bc + ca 3 Cộng vế theo vế : + + ≥ a +b +c − ≥3− = 2 2 2 1+b 1+c 1+a Tương tự : Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a.b.c = Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 1 b + + ≤1 +a +b +c a Hướng dẫn : a Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥ b +c c +a a +b Giải : a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c) b +c c +a a +b b +c c +a a +b www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) + + ≥ +1 b +c c +a a +b a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b a b c ⇔ + + ≥ a + b + c = b +c c +a a +b ⇔ Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a ab bc ca + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Hướng dẫn : a Dùng bất đẳng thức 1 + ≥ a b a +b Cho số thực dương a,b,c Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b + c ) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) a3 b3 c3 b + + ≥ (a + b + c) b(c + a ) c(a + b) a(b + c) a Hướng dẫn :  a3 a +b b +c + + ≥ a  8  (a + b)(b + c)  b3 b +c c +a a Cách :  + + ≥ b ( b + c )( c + a ) 8   c3 c +a a +b  + + ≥ c 8  (c + a )(a + b)  4a + 2b + (c + a ) ≥ 6a  b ( c + a )   4b b Cách 1:  + 2c + (a + b) ≥ 6b c(a + b)  4c  + 2a + (b + c) ≥ 6c a(b + c)  8a + (a + b) + (b + c) ≥ 6a   (a + b)(b + c)  8b Cách 2:  + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b ( b + c )( c + a )   8c  + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c  (c + a )(a + b)  a3 b c +a + + ≥ a  b ( c + a )   b c a +b Cách 2:  + + ≥ b c(a + b)  c3 a b +c  + + ≥ c a(b + c) www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Cho số thực dương x , y, z thoả : x + y + z ≥ Tìm GTNN A= x2 y2 z2 + + x + yz y + zx z + xy (x + y + z ) x2 y2 z2 + + ≥ x + yz y + zx z + xy x + y + z + yz + zx + xy Ta có : yz + zx + xy ≤ x + y + z (x + y + z ) x2 y2 z2 x +y +z Suy : + + ≥ = ≥ 2 x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z   x + y + z =  Đẳng thức xảy khi: x = y = z ⇔x =y =z =1  x y z  = =  x + yz y + zx z + xy Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x5 y5 z5 S = + + + x + y4 + z4 3 y +z z +x x +y Áp dụng BĐT Côsi cho số ta có : x5 y3 + z2 x 3 + + ≥ x 2 y3 + z2 tương tự y5 z3 + x2 y4 3 z5 x + y2 z 3 + + ≥ y , + + ≥ z 2 2 z3 + x2 x + y2 x4 y4 z4 + ≥ x tương tự + ≥ y2 , + ≥ z 2 2 2 Cộng vế với vế BĐT ta x5 y5 z5 3 S = + + + x + y4 + z ≥ x + y3 + z + x + y2 + z − 3 4 y +z z +x x +y ( ) ( ) Mà x + x + ≥ 3x hay 2x + ≥ 3x tương tự 2y + ≥ 3y , 2z + ≥ 3z ( ) ( ) Do , x + y + z ≥ x + y + z − = ⇒ x + y + z ≥ ⇒ S ≥ Dấu xảy ⇔ x = y = z = www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Cho số thực dương x , y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x2 y2 z2 + + (2y + 3z )(2z + 3y ) (2z + 3x )(2x + 3z ) (2x + 3y)(2y + 3x ) Giải : (2y + 3z )(2z + 3y ) = (y + z ) + 13yz ≤ (y + z ) + 13 25 y + z ) = (y + z ) ( 2 x2 2x ≥ (2y + 3z )(2z + 3y) 25(y + z ) y2 2y z2 2z ≥ , ≥ Tương tự : (2z + 3x )(2x + 3z ) 25(z + x ) (2x + 3y )(2y + 3x ) 25(x + y ) 2x 2y 2z 1 M≥ + + ⇒ f ( x ; y; z ) ≥ ⇒ M = 2 2 2 25 25 25(y + z ) 25(z + x ) 25(x + y ) ⇒ x Với x , y, z số dương x y.z ≥ Chứng minh rằng: y + x + yz z + y + zx z + xy Hướng dẫn Đặt a = x , b = y , c = z Bài toán trở thành : a, b, c số dương a.b.c ≥ Chứng minh rằng: a2 a + bc + b2 b + ac + a2 c2 c + ab b2 ≥ (a + b + c ) c2 + + ≥ a + bc b + ac c + ab a + bc + b + ac + c + ab Bình phương hai vế bất đẳng thức: Dễ thấy : VT ≥ ( *)   a + b + c a + b + c  = * ≥   2 2 a + bc + b + ac + c + ab   a + bc + b + ac + c + ab     ( () (a + b + c ) 3(a + b + c ) ( ) (a + b + c ) (a + b + c ) ≥ ≥ + ab + bc + ac)  a + b + c − ab + bc + ac   a + b + c −  ) ( ) ( )  ( 4 ( ) ( Vì ab + bc + ac ≥ 3 abc ≥3⇒t = (a + b + c ) ≥ 9) t2 3t + 15 t − 3 3.9 + 15 t −3 9 = + + ≥ +2 = ⇒ VT * ≥ 3(t − 3) 12 12 t −3 12 12 t − 2 Dấu xảy x = y = z = ⇒ điều phải chứng minh () Ta có: ( ) Tổng quát : ta có toán sau: với x 1, x 2, , x n n ≥ số dương x 1.x x n ≤ www.mathvn.com ≥ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cmr: x1 x + x x x n + http//:www.maths.vn x2 xn + + x + x x x n ≥ n x n + x 1.x x n −1 Cho số thực dương a,b,c Chứng minh : 1 1 1 + + ≤ + + a + 3b b + 3c c + 3a 4a 4b 4c 1 1 1 b + + ≤ + + a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4a 4b 4c 1 1 1 1 c + + ≤  + +  (c + a ) (c + b )  a b c  (a + b ) (a + c ) (b + c )(b + a ) a d a −d b −b b −c c −a + + + ≥0 d +b b +c c +a a +d 1  81  Cho x ; y; z ∈ [ 0;1] Chứng minh : ( 2x + 2y + 2z )  x + y + z  < 2  2 Giải : Đặt a = 2x ,b = 2y ,c = 2z ⇒ a,b,c ∈ [1;2]  1  81 Bài toán trở thành : Cho a,b,c ∈ [1;2] Chứng minh : (a + b + c )  + +  < a b c  Thật : 1 81 2 81 2 (a + b + c )  a + b + c  < ⇔ (a + b + c )  a + b + c  < ⇔ (a + b + c )  a + b + c  <       ≤ a ≤ ⇔ (a − 1)(a − ) ≤ ⇔ a − 3a + ≤ ⇔ a + ≤ 3a ⇔ a + ≤3 a 2 ≤ 3,c + ≤ b c 2 ⇒ (a + b + c ) +  + +  ≤ (1) a b c  Tương tự : b + Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân : 2 2 2 ⇒ (a + b + c ) +  + +  ≥ (a + b + c )  + +  (2 ) a b c  a b c  2 2  2  81 Từ (1) (2 ) suy (a + b + c )  + +  ≤ ⇔ (a + b + c )  + +  ≤ a b c  a b c   1  81 Đẳng thức không xảy ( ) ⇔ (a + b + c )  + +  < (đpcm) a b c  www.mathvn.com ( 3) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Cho a,b,c số dương thoả mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ 2 2 2 a +b +a c +b c b +c +b a +c a c +a +c b +a b 3 Trích http://www.maths.vn Giải : ab + bc + ca = 3abc ⇔ 1 + + =3 a b c Với a,b > ta có a + b ≥ ab (a + b ) , 1  1 ≤  +  a +b a b  với a,b ta có a + b ≥ 2ab  ab ab ab  1 ≤  + 2  2 ≤ 2 a + b + a c + b c ab(a + b) + (a + b )c  ab(a + b) (a + b )c   1 ab 1 ab ⇒ ≤ + ≤  +   2 2  ab(a + b ) + (a + b )c  a + b (a + b )c   a + b 2c  ab 1 1 1 (1 )  + + 3 2 ≤ a + b + a c + b c 16  a b  c 3 Tương tự : bc 1 1 1 (2 )  + + 2 ≤ b + c + b a + c a 16  b c  a ca 1 1 1 ≤  +  + ( 3) 3 2 c + a + c b + a b 16  c a  b Cộng vế theo vế đẳng thức (1) , (2 ) ( ) ta đpcm Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 3 Cho tam giác ABC có cạnh : AB = c, BC = a, AC = b thoả mãn a = b + c Chứng minh : A góc nhọn thoả : 600 < A < 900 Giải : b  a,b,c > 0 < a 0 < b < a ⇒ ⇒  3 < c < a a = b + c  0 < c  a   b b     2 <  a  <  a  c 3  b   c  b       ⇒ ⇒  +  ⇒ A < 900 2bc a3 a2 a2 a = b + c = (b + c ) (b − bc + c ) > a (b − bc + c ) ⇒ a > b − bc + c ⇒ ⇒ b2 + c2 − a < ⇒ cos A = bc Vậy 600 < A < 900 b2 + c2 − a 2bc < ⇒ A > 600 www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn 1  1 1 1  Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : 15  + +  = 10  + +  + 2007 b c  a  ab bc ca  1 Tìm giá trị lớn P = + + 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Áp dụng đẳng thức : 1 + + ≥ Đẳng thức xảy x = y = z x y z x +y +z 5a + 2ab + 2b = (2a + b)2 + (a − b)2 ≥ (2a + b)2 ⇒ 5a + 2ab + 2b ≤ 1  1 1 ≤  + +  2a + b  a a b  Đẳng thức xảy a = b  1 1 1 ≤ ≤  + +   2 2b + c  b b c   Tương tự :  5b + 2bc + 2c 1 11 1  ≤ ≤  + +  2 2c + a  c c a   5c + 2ca + 2a  1 1 Do P ≤  + +  a b c  1 1  1 1  + + ≥  + +  a b c  a b c  Mặt khác :  1 1 1 1 ab + bc + ca ≤  a + b + c     1  1 1 1  +  + 2007 Mà giả thiết : 15  + +  = 10  + b c  a  ab bc ca  6021  a =b =c 6021  Đẳng thức xảy :  1 6021 ⇔ a = b = c =  + + = a b c Do : 1 + + ≤ a b c Vậy max P = 6021 6021 , a = b = c = 5 www.mathvn.com [...]... http//:www.maths.vn 1 + a 2 + b 2 = 3ab  1 ⇔a =b = Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b 2 a + b = 1  1 1 4 Tại sao + ≥ a b a +b 1 1 1 trong cùng một bài toán mà có đến hai đáp số ? Do đâu mà lời giải 2 tại sao lại tách ? Đó = + 2ab 6ab 3ab chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Lời bình: lời giải 1 và lời giải 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông... x2 y2 Đẳng thức xảy ra khi : = y −1 x −1 x −1+1 x Mặt khác x − 1 = x − 1 1 ≤ = Đẳng thức xảy ra khi : x − 1 = 1 ⇔ x = 2 2 2 y −1+1 y y − 1 = y − 1 1 ≤ = Đẳng thức xảy ra khi : y − 1 = 1 ⇔ y = 2 2 2 2xy ⇒P ≥ = 8 Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2 x y 2 2 Vậy min P = 8 khi x = y = 2 ( ( ) ) Tương tự : Cho a, b, c là hai số thực dương và thỏa mãn b 2 + c 2 ≤ a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. .. c 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 Hướng phân tích khác : a2 + 1 1 1 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ a b c 2 Lời bình : Nếu a, b, c > 0 , thì (a + b + c ) 2 2 1 1 1 + + +  ≥ a b c  (a + b + c ) 2 2   9 +  a + b + c  1 1 1 9 + + ≥ a b c a +b +c ( ) 2 a +b +c a 2 b2 c2 Tổng quát : Cho x , y, z > 0 và ba số a, b, c bất kỳ, ta luôn có : (Bất đẳng thức s+ + ≥ x y z x +y +z a b c vac) Đẳng thức. .. ≥ a Đẳng thức xảy ra khi: = b = c +a 2 4 2 2 4 b c +a b c +a ( a 3 ( ) ( ( ) ) 1 1 3 b3 1 1 + c + b + a ≥ b Đẳng thức xảy ra khi: = c = b +a 2 4 2 4 2 c a +b c a +b ( b3 ) ( ) ( ( ) ) 1 1 3 c3 1 1 + a + b + c ≥ c Đẳng thức xảy ra khi: = a = b +c 2 4 2 4 2 a b +c a b +c ( c3 ) ) ( ) Cộng vế theo vế ta được : ( ( a3 b c +a ) + ( b3 c a +b ) + ( c3 a b +c ) ≥ ( ) ( ) ) 1 a + b + c Dấu đẳng thức. .. giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  2 a +b +  3 3≥  2 2      Tương tự cho các trường hợp còn lại 3 2 a+ 1 1 +b + 3 3 = 2 ( ) ( ) 3 2 a +b = a +b 2 3 Cách khác : Giả sử với mọi m > 0 , ta luôn có : a + b = 1 (a + b ) m ≤ m đoán m > 0 bao nhiêu là phù hợp? a + b = m 2  Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi  1 ⇔m = 3 a = b = 3  Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình... 2 , z 2 , xy, yz, zx cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng thức ( có dạng : ax − by ) 2 ( ) + (by ) ≥ 0 ⇔ ax 2 2 ≥ 2axby ? • Phân tích : -31- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2 http//:www.maths.vn 2 ax + ay ≥ 2axy Đẳng thức xảy ra khi x = y 2 2 2 2 2 by + cz ≥ 2 bcyz Đẳng thức xảy ra khi by = cz 2 2 cz + bx ≥ 2 cbzx Đẳng thức xảy ra khi cz = bx 2  a + b = 3 a = 1   Bây giờ ta... = 1 ⇔ b = 2 a = bc  1  c =  2 Giải : 2 2 x + y ≥ 2xy Đẳng thức xảy ra khi x = y 2 2y + 1 2 1 2 2 2 z ≥ 2yz Đẳng thức xảy ra khi 2y = 2 z + 2x ≥ 2zx Đẳng thức xảy ra khi 1 2 1 2 z 2 z = 2x 2 2 2 2 2 2 Cộng vế theo vế ta được : 3x + 3y + z ≥ 2 xy + yz + zx ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 (đpcm) ( ) x = y  2y 2 = 1 z 2  x = y = 1 2 Đẳng thức xảy ra khi :  ⇔  z = 2  1 z 2 = 2x 2 2 xy + yz... 4n = 5p  3  25 47 = n = 4 12  p = 5  Giải : 3x 2 + 25 25 25 ≥ 2 3 x Đẳng thức xảy ra khi 3x 2 = 3 3 3 4y 2 + 25 25 25 ≥ 2 4 y Đẳng thức xảy ra khi 4y 2 = 4 4 4 5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z Đẳng thức xảy ra khi 5z 2 = 5 ( ) Cộng vế theo vế ta được 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 x + y + z − 235 235 (đpcm) = 12 12  5 x = 3  5  Đẳng thức xảy ra khi y = 4  = 1 z   Cho 3 số thực không âm a, b, c Chứng... Đẳng thức xảy ra khi t = 1  2  2  16 t∈ ;+∞  () 2  ĐIỂM RƠI TRONG BẤT DẲNG THỨC COSI Bài toán mở đầu : Cho a, b > 0 và thỏa mãn a + b ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 + a 2 + b2 + 1 2ab Lời giải 1 Ta có: P = 1 1+a +b 2 2 + Giải: 4 1 4 4 ≥ 2 = ≥ =2 2 2 2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2 1 + a 2 + b 2 = 2ab (a − b )2 + 1 = 0 ⇔ Hệ vô nghiệm Vậy không tồn tại min P Đẳng thức. .. 3 3 abc + 3 ≥6 3 a b c abc Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 nhưng khi đó a + b + c = 3 > 3 abc 1 3 =6 abc 3 ( trái giả thiết ) 2 Phân tích bài toán : 3 , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 2 3 1 1 bình nhân ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ Đặt: x = 3 abc ≤ 2 2 2  1 1 1 1 1 1 Khi đó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = 3 a b c x