Nội dung chính của tài liệu này là trình bày một số ví dụ về chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Cauchy.. Muốn xem phần lý thuyết cơ bản của bất đẳng thức bạn hãy nhấn vào mấy
Trang 1,23Hoàng Phước LợiHoàng Phước Lợi,,23Bất đẳng thứcBất đẳng thức,
Trang 2Giới thiệu
Tài liệu này được soạn bằng pdfLATEX Muốn xem tài liệu hướng dẫn sử dụng AL TEX bạn hãy nhấn vào mấy chữ xanh xanh này , lúc đó bạn sẽ mở
được tập tin Bai giang LaTeX.pdf
Nội dung chính của tài liệu này là trình bày một số ví dụ về chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Cauchy Muốn xem phần lý thuyết cơ bản của bất đẳng thức bạn hãy nhấn vào mấy chữ xanh xanh vừa rồi, hoặc nhấn vào đây cũng được.
www.vietmaths.com
Trang 4sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
www.vietmaths.com
Trang 5sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
www.vietmaths.com
Trang 6sử dụng bất đẳng thức Cauchy
để chứng minh một số bất đẳng
thức
www.vietmaths.com
Trang 7sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Trang 8sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Trang 9sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Trang 10sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Trang 11Chú ý Ta còn có bất đẳng thức Cauchy suy rộng nh− sau:
www.vietmaths.com
Trang 17áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1, a2, , an, ta có
a1 + a2 + ã ã ã + an ≥ √n
a1a2 ã ã ã an (1.1)
www.vietmaths.com
Trang 18áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1, a2, , an, ta có
Trang 19áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1, a2, , an, ta có
Trang 20áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a1, a2, , an, ta có
Trang 212.2 VÝ dô 2
www.vietmaths.com
Trang 26áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm là
a4, a4, b4, c4, ta có
2a4 + b4 + c4 ≥ 4a2bc (3.1)
www.vietmaths.com
Trang 27áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm là
Trang 28áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm là
www.vietmaths.com
Trang 29Đối với một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không phảilúc nào cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy một cáchtrực tiếp, mà nhiều khi nó được mở rộng từ các bất đẳng
thức trung gian như các bất đẳng thức (??), (??) hay (??).Dưới đây là một số ví dụ
www.vietmaths.com
Trang 30Đối với một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không phảilúc nào cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy một cáchtrực tiếp, mà nhiều khi nó được mở rộng từ các bất đẳng
thức trung gian như các bất đẳng thức (??), (??) hay (??).Dưới đây là một số ví dụ
2.4 Ví dụ 4
www.vietmaths.com
Trang 31Đối với một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không phảilúc nào cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy một cáchtrực tiếp, mà nhiều khi nó được mở rộng từ các bất đẳng
thức trung gian như các bất đẳng thức (??), (??) hay (??).Dưới đây là một số ví dụ
2.4 Ví dụ 4
Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng
1 4a +
1 4b +
Trang 32Đối với một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không phảilúc nào cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy một cáchtrực tiếp, mà nhiều khi nó được mở rộng từ các bất đẳng
thức trung gian như các bất đẳng thức (??), (??) hay (??).Dưới đây là một số ví dụ
2.4 Ví dụ 4
Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng
1 4a +
1 4b +
Trang 341 4b +
Trang 352.5 VÝ dô 5
www.vietmaths.com
Trang 38(5.1)
www.vietmaths.com
Trang 40Cã thÓ thÊy ngay r»ng dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi
x = y = z = 3
4 .
www.vietmaths.com
Trang 41Cã thÓ thÊy ngay r»ng dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi
x = y = z = 3
4 .
2.6 VÝ dô 6
www.vietmaths.com
Trang 42Cã thÓ thÊy ngay r»ng dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi
Trang 43Cã thÓ thÊy ngay r»ng dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi
Trang 44Cã thÓ thÊy ngay r»ng dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi
Trang 45Tõ ®©y suy ra b < 0 nh−ng nh− vËy lµ tr¸i víi gi¶ thiÕt.
www.vietmaths.com
Trang 46Từ đây suy ra b < 0 nhưng như vậy là trái với giả thiết.
Bây giờ xét trường hợp cả ba thừa số của vế trái đều dương
Trang 47Từ đây suy ra b < 0 nhưng như vậy là trái với giả thiết.
Bây giờ xét trường hợp cả ba thừa số của vế trái đều dương
Trang 48DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c.
www.vietmaths.com
Trang 49DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c.
2.7 VÝ dô 7
www.vietmaths.com
Trang 50DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c.
Trang 51DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c.
Trang 52DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c.
Trang 53DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c.
Trang 54Tõ (??) vµ (??) ta suy ra
ab + bc + ca − 2abc ≥ abc ≥ 0 (7.3)
www.vietmaths.com
Trang 55a + b + c = 1.
§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi cã hai sè b»ng 0 vµ mét sèb»ng 1
www.vietmaths.com
Trang 57Theo bất đẳng thức (6) ở ví dụ 6 thì
(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ≤ abc (7.4)
www.vietmaths.com
Trang 58Theo bất đẳng thức (6) ở ví dụ 6 thì
Trang 59Theo bất đẳng thức (6) ở ví dụ 6 thì
Trang 60Tõ (7.5) vµ (7.6) suy ra
ab + bc + ca − 2abc ≤ 7
www.vietmaths.com
Trang 61Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab + bc + ca − 2abc ≤ 7
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
www.vietmaths.com
Trang 62Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab + bc + ca − 2abc ≤ 7
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
2.8 Ví dụ 8
www.vietmaths.com
Trang 63Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab + bc + ca − 2abc ≤ 7
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
Trang 64Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab + bc + ca − 2abc ≤ 7
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
Trang 65áp dụng bất đẳng thức (3) ở (ví dụ 3), ta có
x +
1
y +
1 z
(8.1)
www.vietmaths.com
Trang 66áp dụng bất đẳng thức (3) ở (ví dụ 3), ta có
x +
1
y +
1 z
x +
1
y +
1 z
≥ 3(a + 3b) (8.2)
www.vietmaths.com
Trang 67+ b
www.vietmaths.com
Trang 68+ b
Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
3
√ xyz ≤ x + y + z
1 xyz ≥ 27
www.vietmaths.com
Trang 71Tõ (8.1), (8.2) vµ (8.3) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1
3 .
www.vietmaths.com
Trang 72Tõ (8.1), (8.2) vµ (8.3) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1
3 .
www.vietmaths.com
Trang 73Tõ (8.1), (8.2) vµ (8.3) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1
Trang 74Tõ (8.1), (8.2) vµ (8.3) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1
Trang 752 Cho a, b, c > vµ abc = 1 Chøng minh r»ng
Trang 762 Cho a, b, c > vµ abc = 1 Chøng minh r»ng
Trang 772 Cho a, b, c > vµ abc = 1 Chøng minh r»ng
Trang 782 Cho a, b, c > vµ abc = 1 Chøng minh r»ng