Hàm số full

TRN S TNG & TI LIU ễN THI I HC CAO NG Nm 2012 Trn S Tựng Kho sỏt hm s KSHS 01: TNH N IU CA HM S A Kin thc c bn Gi s hm s y = f ( x ) cú xỏc nh D ã Hm s f ng bin trờn D y 0, "x ẻ D v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc D ã Hm s f nghch bin trờn D yÂ Ê 0, "x ẻ D v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc D ã Nu y ' = ax + bx + c (a 0) thỡ: + y ' 0, "x ẻ R a > ỡ ợD Ê + y ' Ê 0, "x ẻ R a < ỡ ợD Ê ã nh lớ v du ca tam thc bc hai g( x ) = ax + bx + c (a 0) : + Nu D < thỡ g( x ) luụn cựng du vi a + Nu D = thỡ g( x ) luụn cựng du vi a (tr x = - b ) 2a + Nu D > thỡ g( x ) cú hai nghim x1, x2 v khong hai nghim thỡ g( x ) khỏc du vi a, ngoi khong hai nghim thỡ g( x ) cựng du vi a ã So sỏnh cỏc nghim x1, x2 ca tam thc bc hai g( x ) = ax + bx + c vi s 0: ỡD ỡD ù ù + x1 Ê x2 < P > + < x1 Ê x2 P > + x1 < < x2 P < ùợS < ùợS > ã g( x ) Ê m, "x ẻ (a; b) max g( x ) Ê m ; ( a;b ) g( x ) m, "x ẻ (a; b) g( x ) m ( a;b ) B Mt s dng cõu hi thng gp Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) n iu trờn xỏc nh (hoc trờn tng khong xỏc nh) ã Hm s f ng bin trờn D y 0, "x ẻ D v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc D ã Hm s f nghch bin trờn D yÂ Ê 0, "x ẻ D v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc D ã Nu y ' = ax + bx + c (a 0) thỡ: + y ' 0, "x ẻ R a > ỡ ợD Ê + y ' Ê 0, "x ẻ R a < ỡ ợD Ê Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) = ax + bx + cx + d n iu trờn khong (a ; b ) Ta cú: y = f Â( x ) = 3ax + 2bx + c a) Hm s f ng bin trờn (a ; b ) y 0, "x ẻ (a ; b ) v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc (a ; b ) Trng hp 1: ã Nu bt phng trỡnh f Â( x ) h(m) g( x ) (*) thỡ f ng bin trờn (a ; b ) h(m) max g( x ) (a ; b ) Trang Kho sỏt hm s Trn S Tựng ã Nu bt phng trỡnh f Â( x ) h(m) Ê g( x ) (**) thỡ f ng bin trờn (a ; b ) h(m) Ê g( x ) (a ; b ) Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f Â( x ) khụng a c v dng (*) thỡ t t = x - a Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ỡa > ùùD > ỡa > Hm s f ng bin trờn khong (-Ơ; a) g(t ) 0, "t < ợD Ê ùS > ùợ P ỡa > ùùD > ỡa > Hm s f ng bin trờn khong (a; +Ơ) g(t ) 0, "t > ợD Ê ùS < ùợ P b) Hm s f nghch bin trờn (a ; b ) y 0, "x ẻ (a ; b ) v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc (a ; b ) Trng hp 1: ã Nu bt phng trỡnh f Â( x ) Ê h(m) g( x ) (*) thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) max g( x ) (a ; b ) ã Nu bt phng trỡnh f Â( x ) h(m) Ê g( x ) (**) thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) Ê g( x ) (a ; b ) Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f Â( x ) Ê khụng a c v dng (*) thỡ t t = x - a Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ỡa < ùù ỡ Hm s f nghch bin trờn khong (-Ơ; a) g(t ) Ê 0, "t < ớa < ớD > ợD Ê ùS > ùợ P ỡa < ùùD > ỡa < Hm s f nghch bin trờn khong (a; +Ơ) g(t ) Ê 0, "t > ợD Ê ùS < ùợ P Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) = ax + bx + cx + d n iu trờn khong cú di bng k cho trc ỡ ã f n iu trờn khong ( x1; x2 ) y = cú nghim phõn bit x1, x2 a (1) ợD > ã Bin i x1 - x2 = d thnh ( x1 + x2 )2 - x1x2 = d ã S dng nh lớ Viet a (2) thnh phng trỡnh theo m ã Gii phng trỡnh, so vi iu kin (1) chn nghim Tỡm iu kin hm s y = ax + bx + c (2), (a, d 0) dx + e a) ng bin trờn (-Ơ;a ) b) ng bin trờn (a ; +Ơ) Trang (2) Trn S Tựng Kho sỏt hm s c) ng bin trờn (a ; b ) ỡ -e ỹ adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ợd ỵ ( dx + e ) ( dx + e ) Tp xỏc nh: D = R \ Trng hp Nu: f ( x ) g( x ) h(m) (i) Trng hp Nu bpt: f ( x ) khụng a c v dng (i) thỡ ta t: t = x - a Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) , vi: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) ng bin trờn khong (-Ơ;a ) ỡ -e ù d a ùợ g( x ) h(m), "x < a a) (2) ng bin trờn khong (-Ơ;a ) ỡ -e ù d a ùợ g(t ) 0, "t < (ii) ỡa > ùùD > ỡa > (ii) ợD Ê ùS > ùợ P ỡ -e ù a ớd ùh(m) Ê g( x ) ( -Ơ;a ] ợ b) (2) ng bin trờn khong (a ; +Ơ) ỡ -e ù d Êa ùợ g( x ) h(m), "x > a ỡ -e ù Êa ớd ùh(m) Ê g( x ) [a ; +Ơ ) ợ b) (2) ng bin trờn khong (a ; +Ơ) ỡ -e ù d Êa ùợ g(t ) 0, "t > (iii) ỡa > ùùD > ỡa > (iii) ợD Ê ùS < ùợ P c) (2) ng bin trờn khong (a ; b ) ỡ -e ù d ẽ (a ; b ) ùợ g( x ) h(m), "x ẻ (a ; b ) ỡ -e ù ẽ (a ; b ) ớd ùh(m) Ê g( x ) [a ; b ] ợ Tỡm iu kin hm s y = ax + bx + c (2), (a, d 0) dx + e a) Nghch bin trờn (-Ơ;a ) b) Nghch bin trờn (a ; +Ơ) c) Nghch bin trờn (a ; b ) ỡ -e ỹ adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ợd ỵ ( dx + e ) ( dx + e ) Tp xỏc nh: D = R \ Trang Kho sỏt hm s Trng hp Nu f ( x ) Ê g( x ) h(m) (i) Trn S Tựng Trng hp Nu bpt: f ( x ) khụng a c v dng (i) thỡ ta t: t = x - a Khi ú bpt: f ( x ) Ê tr thnh: g(t ) Ê , vi: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) nghch bin trờn khong (-Ơ;a ) ỡ -e ù d a ùợ g( x ) h(m), "x < a ỡ -e ù a ớd ùh(m) Ê g( x ) ( -Ơ;a ] ợ b) (2) nghch bin trờn khong (a ; +Ơ) ỡ -e ù d Êa ùợ g( x ) h(m), "x > a ỡ -e ù Êa ớd ùh(m) Ê g( x ) [a ; +Ơ ) ợ a) (2) ng bin trờn khong (-Ơ;a ) ỡ -e ù d a ùợ g(t ) Ê 0, "t < (ii) ỡa < ùùD > ỡa < (ii) ợD Ê ùS > ùợ P b) (2) ng bin trờn khong (a ; +Ơ) ỡ -e ù d Êa ùợ g(t ) Ê 0, "t > (iii) ỡa < ùùD > ỡa < (iii) ợD Ê ùS < ùợ P c) (2) ng bin khong (a ; b ) ỡ -e ù d ẽ (a ; b ) ùợ g( x ) h(m), "x ẻ (a ; b ) ỡ -e ù ẽ (a ; b ) ớd ùh(m) Ê g( x ) [a ; b ] ợ Trang Trn S Tựng Cõu Kho sỏt hm s Cho hm s y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) m = 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn xỏc nh ca nú ã Tp xỏc nh: D = R y Â= (m - 1) x + 2mx + 3m - (1) ng bin trờn R y  0, "x m Cho hm s y = x + x - mx - (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong (-Ơ;0) Cõu ã Tp xỏc nh: D = R y Â= x + x - m y cú D = 3(m + 3) + Nu m Ê -3 thỡ DÂ Ê ị y 0, "x ị hm s ng bin trờn R ị m Ê -3 tho YCBT + Nu m > -3 thỡ D > ị PT y = cú nghim phõn bit x1, x2 ( x1 < x2 ) Khi ú hm s ng bin trờn cỏc khong (-Ơ; x1 ),( x2 ; +Ơ) ỡD > ỡm > -3 ù ù Do ú hm s ng bin trờn khong (-Ơ;0) Ê x1 < x2 P ớ-m (VN) ùợS > ùợ-2 > Vy: m Ê -3 Cho hm s y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + cú th (Cm) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2; +Ơ) Cõu ã Tp xỏc nh: D = R y ' = x - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) cú D = (2m + 1)2 - 4(m + m) = > ộx = m y' = Hm s ng bin trờn cỏc khong (-Ơ; m), (m + 1; +Ơ) ởx = m +1 Do ú: hm s ng bin trờn (2; +Ơ) m + Ê m Ê Cho hm s y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K = (0; +Ơ) Cõu ã Hm ng bin trờn (0; +Ơ) y Â= x + 2(1 - 2m) x + (2 - m) vi "x ẻ (0; +Ơ) f ( x) = 3x + x + m vi "x ẻ (0; +Ơ) 4x + 1 6(2 x + x - 1) Ta cú: f Â( x ) = = x + x - = x = -1; x = 2 (4 x + 1) ổ1ử Lp BBT ca hm f ( x ) trờn (0; +Ơ) , t ú ta i n kt lun: f ỗ ữ m m ố2ứ Cõu hi tng t: b) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m -1) , K = (1; +Ơ) c) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m -1) , K = (-1;1) a) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m -1) , K = (-Ơ; -1) Trang S: m 11 S: m S: m Kho sỏt hm s Cõu Trn S Tựng Cho hm s y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m 1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (-Ơ;2) ã Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - t t = x ta c: y = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hm s (1) nghch bin khong (-Ơ;2) g(t ) Ê 0, "t < ùỡ ỡ TH1: a < ớm 2- < ợD Ê Vy: Vi Cõu ợù3m - 2m - Ê ỡm2 - < ỡa < ù ùùD > ùù3m - 2m - > TH2: ớ4m2 + 4m - 10 Ê ùS > ù -2m - ùợ P ù >0 ợù m + -1 Ê m < thỡ hm s (1) nghch bin khong (-Ơ;2) 3 Cho hm s y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m 1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (2; +Ơ) ã Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - t t = x ta c: y = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hm s (1) nghch bin khong (2; +Ơ) g(t ) Ê 0, "t > ỡm2 - < ỡa < ù ùùD > ỡùm - < ùù3m - 2m - > ỡa < TH1: ớ TH2: ớ4m2 + 4m - 10 Ê ợD Ê ùợ3m - 2m - Ê ùS < ù -2m - ùợ P ù ỡ ợ g(t ) Ê 0, "t < (i) ộm = ộD ' = ỡm ỡD ' > ộm = (i) ù ờù 4m - > ớS > ởm + ùợm2 - 4m + ờở ùợ P Vy: Vi m + thỡ hm s (2) nghch bin trờn (-Ơ;1) Cõu 15 Cho hm s y = x - 2mx + 3m2 (2) 2m - x Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (1; +Ơ) ã Tp xỏc nh: D = R \ { 2m} y ' = - x + 4mx - m ( x - 2m)2 = f (x) ( x - 2m)2 t t = x - Khi ú bpt: f ( x ) Ê tr thnh: g(t ) = -t - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - Ê Hm s (2) nghch bin trờn (1; +Ơ) y ' Ê 0, "x ẻ (1; +Ơ) ớ2m < ỡ ợ g(t ) Ê 0, "t > (ii ) ộm = ộD ' = ỡm ỡD ' > (ii) ù m Ê2- ờù 4m - < ớS < ùợm2 - 4m + ờở ùợ P Vy: Vi m Ê - thỡ hm s (2) nghch bin trờn (1; +Ơ) Trang Trn S Tựng Kho sỏt hm s KSHS 02: CC TR CA HM S Dng 1: Cc tr ca hm s bc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kin thc c bn ã Hm s cú cc i, cc tiu phng trỡnh y = cú nghim phõn bit ã Honh x1, x2 ca cỏc im cc tr l cỏc nghim ca phng trỡnh y = ã vit phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu, ta cú th s dng phng phỏp tỏch o hm Phõn tớch y = f Â( x ).q( x ) + h( x ) Suy y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do ú phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu l: y = h( x ) ã Gi a l gúc gia hai ng thng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thỡ tan a = k1 - k2 + k1k2 B Mt s dng cõu hi thng gp Gi k l h s gúc ca ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu Tỡm iu kin ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu song song (vuụng gúc) vi ng thng d : y = px + q Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu Vit phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu p Gii iu kin: k = p (hoc k = - ) Tỡm iu kin ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu to vi ng thng d : y = px + q mt gúc a Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu Vit phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu Gii iu kin: k-p = tan a (c bit nu d Ox, thỡ gii iu kin: k = tan a ) + kp Tỡm iu kin ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu ct hai trc Ox, Oy ti hai im A, B cho DIAB cú din tớch S cho trc (vi I l im cho trc) Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu Vit phng trỡnh ng thng D i qua cỏc im cc i, cc tiu Tỡm giao im A, B ca D vi cỏc trc Ox, Oy Gii iu kin SDIAB = S Tỡm iu kin th hm s cú hai im cc tr A, B cho DIAB cú din tớch S cho trc (vi I l im cho trc) Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu Vit phng trỡnh ng thng D i qua cỏc im cc i, cc tiu Gii iu kin SDIAB = S Tỡm iu kin th hm s cú hai im cc tr A, B i xng qua ng thng d cho trc Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu Vit phng trỡnh ng thng D i qua cỏc im cc i, cc tiu Gi I l trung im ca AB ỡ Gii iu kin: D ^ d ợI ẻ d Tỡm iu kin th hm s cú hai im cc tr A, B cỏch u ng thng d cho trc Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu Trang Kho sỏt hm s Trn S Tựng 2x - x -2 Cõu 31 Cho hm s y = 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Gi M l im bt kỡ trờn (C) Tip tuyn ca (C) ti M ct cỏc ng tim cn ca (C) ti A v B Gi I l giao im ca cỏc ng tim cn Tỡm to im M cho ng trũn ngoi tip tam giỏc IAB cú din tớch nh nht ổ 2x - -1 ã Gi s M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C ) x0 , y '( x0 ) = x0 - ứ ố ( x0 - ) Phng trỡnh tip tuyn (D) vi ( C) ti M: y = -1 ( x0 - ) ổ ( x - x0 ) + x0 - x0 - 2x - To giao im A, B ca (D) vi hai tim cn l: A ỗỗ 2; ữữ ; B ( x0 - 2;2 ) ố x0 - ứ Ta thy y + yB x - x A + x B + x0 - = = yM ị M l trung im ca AB = = x0 = x M , A x0 - 2 Mt khỏc I(2; 2) v DIAB vuụng ti I nờn ng trũn ngoi tip tam giỏc IAB cú din tớch ộ ộ ự ựỳ ổ x0 - ỳ 2p S = p IM = p ( x0 - 2) + ỗỗ - ữ = p ờ( x0 - 2)2 + ữ ỳ x0 - ờở ( x0 - 2)2 ỳỷ ố ứ ỷ ộx = 1 Du = xy ( x0 - 2)2 = ( x - 2) x0 = Do ú im M cn tỡm l M(1; 1) hoc M(3; 3) Cõu hi tng t: a) Vi y = 3x + S: M (0;1), M (-4;5) x+2 2mx + x-m Cõu 32 Cho hm s y = 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 2) Gi I l giao im ca hai tim cn ca (C) Tỡm m tip tuyn ti mt dim bt kỡ ca (C) ct hai tim cn ti A v B cho DIAB cú din tớch S = 64 ã (C) cú tim cn ng x = m , tim cn ngang y = 2m Giao im tim cn l I (m;2m) ổ 2m2 + 2mx + 2mx + 0 Gi M ỗỗ x0 ; ( x - x0 ) + ữữ ẻ (C ) PTTT D ca (C) ti M: y = x m x ( x0 - m ) m ố ứ ổ D ct TC ti A ỗỗ m; ố Ta cú: IA = 2mx0 + 2m + ữ , ct TCN ti B(2 x0 - m;2m) ữ x0 - m ứ 4m + 58 ; IB = x0 - m ị SIAB = IA.IB = 4m2 + = 64 m = x0 + m 2 Cõu 33 Cho hm s y = x x -1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn to vi ng tim cn ca (C) mt tam giỏc cú chu vi P = ( + ) ã (C) cú tim cn ng x = , tim cn ngang y = Giao im tim cn l I(1;1) Trang 70 Trn S Tựng ổ Kho sỏt hm s x x Gi M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C ) ( x0 1) PTTT D ca (C) ti M: y = ( x - x0 ) + x x0 - ( x0 - 1) ố ứ ổ x0 + ữữ , ct TCN ti B(2 x0 - 1;1) x ố ứ D ct TC ti A ỗỗ 1; Ta cú: PIAB = IA + IB + AB = + x0 - + ( x0 - 1)2 + 4+2 x0 - ( x0 - 1)2 ộ x0 = x0 = Du "=" xy x0 - = + Vi x0 = ị PTTT D: y = - x ; Cõu 34 Cho hm s y = + Vi x0 = ị PTTT D: y = - x + 2x + cú th (C) x -1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Gi I l giao im ca hai tim cn Tỡm im M thuc (C) cho tip tuyn ca (C) ti M ct tim cn ti A v B vi chu vi tam giỏc IAB t giỏ tr nh nht ổ ã Giao im ca tim cn l I(1;2) Gi M ỗỗ x0 ;2 + ố + PTTT ti M cú dng: y = -3 ( x0 - 1) ( x - x0 ) + + ữ ẻ (C) x0 - ữứ x0 - ổ + To cỏc giao im ca tip tuyn vi tim cn: A ỗỗ 1;2 + ố ữ , B (2 x0 - 1;2) x0 - ữứ ì x0 - = 2.3 = (vdt) x0 - + Ta cú: SDIAB = IA.IB = ì + DIAB vuụng cú din tớch khụng i ị chu vi DIAB t giỏ tr nh nht IA= IB ộx = 1+ = x0 - ị x0 - ờở x0 = - Vy cú hai im M tha iu kin M1 (1 + 3;2 + ) , M2 (1 - 3;2 - ) Khi ú chu vi DAIB = + Chỳ ý: Vi s dng a, b tho ab = S (khụng i) thỡ biu thc P = a + b + a2 + b2 nh nht v ch a = b Tht vy: P = a + b + a2 + b2 ab + 2ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S Du "=" xy a = b Cõu hi tng t: a) y = 2x -1 x -1 Cõu 35 Cho hm s y = S: M1(0; -1), M2 (2;3) x -2 x +1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn ct tim cn ti A v B cho bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc IAB l ln nht, vi I l giao im ca tim cn ã (C) cú TC x = -1 , TCN y = Giao im tim cn l I(-1;1) Trang 71 Kho sỏt hm s ổ Trn S Tựng x -2ử x -2 Gi M ỗỗ x0 ; ( x - x0 ) + ữữ ẻ (C ) PTTT D ca (C) ti M: y = x + x0 + ( x0 + 1) ố ứ ổ D ct hai tim cn ti A ỗỗ -1; x0 - ; IB = x0 + ữữ , B(2 x0 + 1;1) Ta cú: IA = x0 + ứ x0 + ố ị SIAB = IA.IB = Gi p, r l na chu vi v bỏn kớnh ng trn ni tip ca DIAB S Ta cú: S = pr ị r = = Do ú r ln nht p nh nht Mt khỏc DIAB vuụng ti I nờn: p p p = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB IA.IB + IA.IB = + Du "=" xy IA = IB ( x0 + 1)2 = x0 = -1 + Vi x = -1 - ị PTTT D: y = x + (1 + ) + Vi x = -1 + ị PTTT D: y = x + (1 - ) Cõu 36 Cho hm s y = 2x + x -1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm trờn hai nhỏnh ca th (C), cỏc im M, N cho cỏc tip tuyn ti M v N ct hai ng tim cn ti im lp thnh mt hỡnh thang ã Gi M (m; yM ), N (n; yN ) l im thuc nhỏnh ca (C) Tip tuyn ti M ct hai tim cn ti A, B Tip tuyn ti N ct hai tim cn ti C, D ổ 2m + ữ , B(2m - 1;2) ố m -1 ứ PTTT ti M cú dng: y = yÂ(m).( x - m) + yM ị A ỗ 1; ổ 2n + ữ , D (2n - 1;2) ố n -1 ứ Tng t: C ỗ 1; Hai ng thng AD v BC u cú h s gúc: k = -3 nờn AD // BC (m - 1)(n - 1) Vy mi im M, N thuc nhỏnh ca (C) u tho YCBT Cõu 37 Cho hm s y = x +3 x -1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Cho im Mo ( xo ; yo ) thuc th (C) Tip tuyn ca (C) ti M0 ct cỏc tim cn ca (C) ti cỏc im A v B Chng minh Mo l trung im ca on thng AB ã Mo ( xo ; yo ) ẻ (C) ị y0 = + 4 PTTT (d) ti M0 : y - y0 = ( x - x0 ) x0 - ( x0 - 1)2 Giao im ca (d) vi cỏc tim cn l: A(2 x0 - 1;1), B(1;2 y0 - 1) ị x A + xB y + yB = x0 ; A = y0 ị M0 l trung im AB 2 Cõu 38 Cho hm s : y = x+2 (C) x -1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Chng minh rng mi tip tuyn ca th (C) u lp vi hai ng tim cn mt tam giỏc cú din tớch khụng i Trang 72 Trn S Tựng Kho sỏt hm s ổ ã Gi s M ỗ a; ố a+2ử ữ ẻ (C) a -1 ứ PTTT (d) ca (C) ti M: y = y Â(a).( x - a) + a+2 -3 a + 4a - y= x+ a -1 (a - 1)2 (a - 1) ổ a+5ử ữ , B(2a - 1;1) ố a -1 ứ Cỏc giao im ca (d) vi cỏc tim cn l: A ỗ 1; đ đ ổ IA = ỗ 0; ; IB = (2a - 2;0) ị IB = a - ữ ị IA = a -1 ố a -1ứ Din tớch DIAB : S DIAB = IA.IB = (vdt) ị PCM Cõu hi tng t: a) y = 2x - x +1 S: S = 12 Cõu 39 Cho hm s y = 2x -1 1- x 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Gi I l giao im ca hai ng tim cn, A l im trờn (C) cú honh l a Tip tuyn ti A ca (C) ct hai ng tim cn ti P v Q Chng t rng A l trung im ca PQ v tớnh din tớch tam giỏc IPQ ổ ố ã I (1; -2), A ỗ a; 2a - 2a - ( x - a) + ữ PT tip tuyn d ti A: y = 1- a ứ 1- a (1 - a)2 ổ 2a ữ ố 1- a ứ Giao im ca tim cn ngang v tip tuyn d: Q(2a - 1; -2) Giao im ca tim cn ng v tip tuyn d: P ỗ 1; Ta cú: xP + xQ = 2a = x A Vy A l trung im ca PQ IP = 2a +2 = ; IQ = 2(a - 1) Suy ra: 1- a 1- a Cõu 40 Cho hm s y = SIPQ = IP.IQ = (vdt) 2x -1 x +1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Gi I l giao im ca hai ng tim cn ca (C) Tỡm trờn th (C), im M cú honh dng cho tip tuyn ti M vi th (C) ct hai ng tim cn ti A v B tho món: IA2 + IB = 40 ổ 2x - ã (C) cú TC: x = -1 ; TCX: y = ị I(1; 2) Gi s M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C), (x0 > 0) x0 + ứ ố PTTT vi (C) ti M: y = ( x0 + 1) ( x - x0 ) + ổ 2x - x0 - ị A ỗỗ -1; ữ , B ( (2 x0 + 1;2 ) x0 + ữứ x0 + ố ỡ 36 + 4( x0 + 1)2 = 40 ù IA + IB = 40 ( x0 + 1)2 x0 = (y0 = 1) ị M(2; 1) ùx > ợ 2 Cõu 41 Cho hm s y = x +1 (C) x -1 Trang 73 Kho sỏt hm s Trn S Tựng 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm trờn Oy tt c cỏc im t ú k c nht mt tip tuyn ti (C) ã Gi M (0; yo ) l im cn tỡm PT ng thng qua M cú dng: y = kx + yo (d) ỡ x +1 ỡ( y - 1) x - 2( y + 1) x + y + = (1) ùù x - = kx + yo o o ù o (*) (d) l tip tuyn ca (C) -2 -2 =k ù =k ù x 1; ( x - 1)2 ợ ùợ ( x - 1)2 YCBT h (*) cú nghim (1) cú nghim khỏc ỡy = ỡy ộ ù o ù o x = ; yo = ị k = -8 2 x = 0; ùợD ' = ( yo + 1) - ( yo - 1)( yo + 1) = ùợ x = yo = -1 ị k = -2 Vy cú im cn tỡm l: M(0; 1) v M(0; 1) Cõu 42 Cho hm s y = x +3 (C) x -1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm trờn ng thng d : y = x + cỏc im t ú k c nht mt tip tuyn ti (C) ã Gi M (m;2m + 1) ẻ d PT ng thng D qua M cú dng: y = k ( x - m) + 2m + PT honh giao im ca D v (C): k ( x - m) + 2m + = kx - [(m + 1)k - 2m ] x + [ mk - (2m + 4)] = x+3 x -1 (*) ỡùk ùợD = [(m + 1)k - 2m ] - 4k [ mk - (2m + 4)] = D tip xuc vi (C) (*) cú nghim kộp ỡk 2 2 ợ g(k ) = (m - 1) k - 4(m - m - 4)k + 4m = Qua M (m;2m + 1) ẻ d k c ỳng tip tuyn n (C) g(k ) = ộm = m = -1 ờm = ờở m = ộ D = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = cú ỳng nghim k D = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = ờở m - = ị 16k + = ị k = - ị M (0;1) ị M (-1; -1) ị M (2;5) ị M (1;3) Trang 74 Trn S Tựng Kho sỏt hm s KSHS 05: BIN LUN S NGHIM CA PHNG TRèNH Cho hm s y = - x + x + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm m phng trỡnh x - x = m3 - 3m2 cú ba nghim phõn bit Cõu ã PT x - x = m3 - 3m2 - x + x + = -m3 + 3m2 + t k = -m3 + 3m + S nghim ca PT bng s giao im ca th (C) vi ng thng d: y = k Da vo th (C) ta cú PT cú nghim phõn bit < k < m ẻ (-1;3) \ { 0;2} Cho hm s y = x - x + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s Cõu m x -1 2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh : x - x - = ã Ta cú x - x - = m ( x - x - ) x - = m, x Do ú s nghim ca phng trỡnh x -1 bng s giao im ca y = ( x - x - ) x - , (C ') v ng thng y = m, x Vi y = ( x - x - ) x - = f ( x ) ỡ x > nờn ( C ' ) bao gm: ợ- f ( x ) x < + Gi nguyờn th (C) bờn phi ng thng x = + Ly i xng th (C) bờn trỏi ng thng x = qua Ox Da vo th ta cú: m < m = 2 < m < m0 vụ nghim nghim kộp nghim phõn bit nghim phõn bit Cho hm s y = x - x + cú th (C) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s Cõu 2) Tỡm m phng trỡnh x - x + = log12 m cú nghim ã Da vo th ta cú PT cú nghim log12 m = m = 12 = 144 12 Cho hm s: y = x - x + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x - x + + log2 m = Cõu ã x - x + + log2 m = x - x + = - log2 m (m > 0) (*) + S nghim ca (*) l s giao im ca th y = x - x + v y = - log2 m + T th suy ra: 0 0, b > ) l im thuc nhỏnh ca (C) ổ1 1ử ộ ộ 16 ự 16 ự 64 AB = (a + b) + 16 ỗ + ữ = (a + b)2 ờ1 + 4ab ờ1 + = 4ab + 32 ỳ ỳ 2 2 ab ốa bứ a b ỷ a b ỷ 2 Trang 82 Trn S Tựng Kho sỏt hm s ỡa = b ỡa = b ù a=b=44 16 4 ab = a = ợ ùợ ab AB nh nht AB = Khi ú: A ( -1 - 4;1 + 64 ) , B ( -1 + 4;1 - 64 ) Cõu hi tng t: a) y = 4x - x -3 S: A ( - 3;4 - ) , B ( + 3;4 + ) Cõu 17 Cho hm s y = -x + x -2 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm trờn th (C), cỏc im A, B cho di on AB bng v ng thng AB vuụng gúc vi ng thng d : y = x ã PT ng thng AB cú dng: y = - x + m PT honh giao im ca (C) v AB: -x + = - x + m g( x ) = x - (m + 3) x + 2m + = (1) ( x 2) x -2 ỡD > cú im A, B thỡ (1) phi cú nghim phõn bit khỏc g ợ g(2) ỡ ớ(m + 3) - 4(2m + 1) > "m ợ4 - (m + 3).2 + 2m + ỡx + x = m + Mt khỏc y A = - x A + m; yB = - xB + m Ta cú: A B ợ x A x B = m + Do ú: AB = ( xB - x A )2 + ( yB - y A )2 = 16 m - 2m - = m = -1 ởm = ộ ộ + Vi m = , thay vo (1) ta c: x - x + = x = + ị y = - ởx = - ị y = ị A(3 + 2; - 2), B(3 - 2; 2) hoc A(3 - 2; 2), B(3 + 2; - 2) ộ + Vi m = -1 , thay vo (1) ta c: x - x - = x = + ị y = -2 - x = - ị y = -2 + ị A(1 + 2; -2 - 2); B(1 - 2; -2 + 2) hoc A(1 - 2; -2 + 2); B(1 + 2; -2 - 2) Cõu 18 Cho hm s y = x + x + 14 cú th (C) 6x + Tỡm tt cỏc cỏc im trờn (C) cú to nguyờn 1ổ 4ố ã Ta cú: y = ỗ x + + 53 ữ 6x + ứ ỡx ẻ Z ù im M ( x; y) ẻ (C ) cú to nguyờn ổ 53 ữẻZ ùy = ỗ 2x + + ợ 4ố 6x + ứ ỡx ẻ Z ỡx ẻ Z ỡx ẻ Z ùổ ù 53 53 ùỗ x + + ẻZ ùù6 x + = x + = 53 ữẻZ ù ớố 6x + ớổ 6x + ứ ùổ ùổ ùỗ x + + 53 ửữM 53 53 x + + M ữ ùợố ùỗ ùỗ x + + 6x + ứ ữM 6x + ứ 6x + ứ ợố ợố Trang 83 Kho sỏt hm s Trn S Tựng ộ x = ị y = 14 Vy cú hai im tho YCBT: (0;14), (-9; -4) x = -9 ị y = -4 Cõu 19 Cho hm s y = x - 3x + cú th (C) x -2 ổ1 Tỡm nhng cp im trờn th (C) i xng qua im I ỗ ;1ữ ố2 ứ ổ1 ã Gi M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) ẻ (C ) i xng qua im I ỗ ;1ữ ố2 ứ ỡx + x = ỡ x = - x1 Khi ú ta cú: ớ ị N (1 - x1;2 - y1 ) ợ y1 + y2 = ợ y2 = - y1 ỡ x12 - 3x1 + ù y1 = ộ x = -2; y1 = -4 x1 - ù Vỡ M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) ẻ (C ) nờn ta cú: = = x 3; y + x x 1 ù2 - y = 1 ù x ợ -1 Vy trờn (C) cú ỳng mt cp im tho YCBT: M (-2; -4), N (3;6) Cõu 20 Cho hm s y = x2 + x + cú th (C) x +1 Tỡm nhng cp im trờn th (C) i xng qua ng thng d :16 x + 17y + 33 = ổ 21 ổ 13 ã S: A ỗ -5; - ữ , B ỗ 3; ữ ố 4ứ ố 4ứ Chõn thnh cm n cỏc bn ng nghip v cỏc em hc sinh ó c ti liu ny transitung_tv@yahoo.com Trang 84 [...]... Trang 17 Khảo sát hàm số Câu 23 Cho hàm số Trần Sĩ Tùng y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O · Ta có y ¢= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) Hàm số (1) có cực trị... Û m = -2 ÷ = 2 2 è ø Câu 17 Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 Trang 15 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các số dương · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các số dương Û PT y ' = 3(m + 2) x 2... 2 > 0 Û m > 2 ïỵ P > 0 ï 2m - 2 > 0 ỵ Vậy: Với m > 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 Trang 26 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c A Kiến thức cơ bản · Hàm số ln nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị · Hàm số có 1 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 1 nghiệm · Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt... 16 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số ìm > 0 ïïD¢ > 0 5 4 Û 0 ïỵS < 0 Câu 21 Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng (-2; 0) · Ta có: y¢ = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m ; y¢ = 0 Û 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 0 (*) Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc... Tùng Khảo sát hàm số ì x + x = 2(m - 1) Khi đó ta có: í 1 2 ỵ x1x2 = 3(m - 2) Û 8m 2 + 16m - 9 = 0 Û m = ïì x = 3 - 2m Ûí 2 ïỵ x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2) -4 ± 34 4 Câu 14 Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 - 3 x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4 x2 · y ¢= 12 x 2 + 2mx - 3 Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số ln có 2 cực... = 0 Û 2m2 - 2m - 4 = 0 Û ê m = -1 ëm = 2 Trang 21 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Câu 35 Cho hàm số y = 2 x 2 - 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vng tại C, với C(4;0) · Ta có: y¢ = 6( x - 1)( x - m) Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 1 Khi đó... 13 2 13 Dấu "=" xảy ra Û m = 0 Vậy min AB = khi m = 0 3 3 Câu 44 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân · y¢ = 3 x 2 - 6 x - m Hàm số có 2 cực trị Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m > -3 1 3 ỉ 2m ư m... Tùng Khảo sát hàm số éP < 0 ê ìD ' ³ 0 Û g(t ) = 0 có nghiệm t < 0 Û ê ï ê íS < 0 êë ỵï P ³ 0 é m 2 - 3m + 2 < 0 ê ì Û1< m < 2 Û ê ïm - 1 ³ 0 ê í2 m - 2 < 0 ê ïm2 - 3m + 2 ³ 0 ëỵ Vậy: Với 1 < m < 2 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (-¥;1) Câu 46 Cho hàm số : y = 1 3 x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có cực trị... m2 x + m, d : y = x - Câu 8 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx ĐS: m = 0 (1) Trang 12 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x - 2 y - 5 = 0 · Ta có y = x 3 - 3 x 2 + mx Þ y ' = 3 x 2 - 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= 0... sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại éx = 0 2 ëx = m · y ¢= 2 x 3 - 2mx = 2 x( x 2 - m) y ¢= 0 Û ê Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Û PT y ¢= 0 có 1 nghiệm Û m £ 0 Câu 52 Cho hàm số y = - x 4 + 2mx 2 - 4 (Cm ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 2) Tìm các giá trị