HÀM SỐ BẬC HAI 1. Hàm số bậc hai 2 ( 0) y ax bx c a = + + ≠ Tập xác định: D = ℝ Đỉnh ; 2 4 b I a a ∆ − − , với 2 4 b ac ∆ = − Trục đối xứng 2 b x a = − Hướng bề lõm: • 0 a > bề lõm của đồ thị hướng lên trên. • 0 a < bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới. Bảng biến thiên • 0 a > • 0 a < x y −∞ +∞ 2 b a − +∞ +∞ 4 a ∆ − x y −∞ +∞ 2 b a − −∞ −∞ 4 a ∆ − Đồ thị của hàm số là một đường cong, ta gọi là đường parabol • 0 a > • 0 a < 2. Các dạng toán 2.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 y ax bx c = + + ( 0 a ≠ ): - Tìm tập xác định. - Xác định tọa độ của đỉnh ; 2 4 b I a a ∆ − − . - Xác định trục đối xứng 2 b x a = − . - Xác định hướng quay bề lõm. - Vẽ bảng biến thiên. - Cho các điểm đi qua (lấy đỉnh I làm chuẩn, cho giá trị x hai bên tìm y ). - Vẽ đồ thị. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 4 3 y x x = − + Giải: 2 4 3 y x x = − + Tập xác định: D = ℝ Đỉnh (2; 1) I − Trục đối xứng 2 x = Vì 1 0 a = > nên bề lõm của parabol hướng lên trên. Bảng biến thiên: x y −∞ +∞ 2 +∞ +∞ 1 − Các điểm đi qua: x 1 2 3 y 0 1 − 0 Đồ thị: 2.2 Xác định hàm số 2 = + + y ax bx c 2.2.1 Đi qua ba điểm cho trước - Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn là a , b , c . - Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số. - Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b , c . - Kết luận bài toán. Ví dụ: Xác định hàm số 2 y ax bx c = + + biết đồ thị của nó đi qua ( 1; 4) A − − , (2;5) B , ( 2; 3) C − − . Giải: Vì đồ thị hàm số đi qua ( 1; 4) A − − nên: 2 4 ( 1) ( 1) 4 a b c a b c − = − + − + ⇔ − + = − Vì đồ thị hàm số đi qua (2;5) B nên: 2 5 .2 .2 4 2 5 a b c a b c = + + ⇔ + + = Vì đồ thị hàm số đi qua ( 2; 3) C − − nên: 2 3 ( 2) ( 2) 4 2 3 a b c a b c − = − + − + ⇔ − + = − Ta có h ệ phương tr ình sau: 4 4 2 5 4 2 3 a b c a b c a b c − + = − + + = − + = − 1 2 3 a b c = ⇔ = = − Vậy hàm số là 2 2 3 y x x = + − . 2.2.2 Đi qua hai điểm cho trước và biết trục đối xứng x m = - Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn là a , b , c . - Đồ thị hàm số có trục đối xứng x m = nên 2 b m a − = (với m là số thực xác định). - Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số. - Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b , c . - Kết luận bài toán. Ví dụ: Xác định hàm số 2 y ax bx c = + + biết đồ thị hàm số của nó đi qua ( 1; 4) A − − , (2;5) B và có trục đối xứng 1 x = − . Giải: Vì đồ thị hàm số đi qua ( 1; 4) A − − nên: 2 4 ( 1) ( 1) 4 a b c a b c − = − + − + ⇔ − + = − Vì đồ thị hàm số đi qua (2;5) B nên: 2 5 .2 .2 4 2 5 a b c a b c = + + ⇔ + + = Vì đồ thị hàm số nhận 1 x = − làm trục đối xứng nên: 1 2 2 0 2 b b a a b a − = − ⇔ = ⇔ − = Ta có hệ phương trình sau: 4 4 2 5 2 0 a b c a b c a b − + = − + + = − = 1 2 3 a b c = ⇔ = = − Vậy hàm số là 2 2 3 y x x = + − . 2.2.3 Đi qua một điểm cho trước và biết đỉnh của parabol - Với điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn là a , b , c . - Vì parabol có đỉnh 0 0 ( ; ) I x y nên ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn số là a , b , c . Ta lại có thêm 0 2 b x a − = . - Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số. - Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b , c . - Kết luận bài toán. Ví dụ: Xác định hàm số 2 y ax bx c = + + biết đồ thị hàm số của nó đi qua (2;5) A và có đỉnh ( 1; 4) I − − . Giải: Vì đồ thị hàm số đi qua (2;5) A nên: 2 5 .2 .2 4 2 5 a b c a b c = + + ⇔ + + = Vì parabol có đỉnh ( 1; 4) I − − nên: 2 4 ( 1) ( 1) 4 a b c a b c − = − + − + ⇔ − + = − 1 2 2 0 2 b b a a b a − = − ⇔ = ⇔ − = Ta có hệ phương trình sau: 4 4 2 5 2 0 a b c a b c a b − + = − + + = − = 1 2 3 a b c = ⇔ = = − Vậy hàm số là 2 2 3 y x x = + − . 2.2.4 Đi qua hai điểm cho trước và biết tung độ đỉnh - Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình ba ẩn là a , b , c . - Vì tung độ đỉnh của parabol là 0 y nên 2 0 4 4 b ac y a − − = . - Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình ba ẩn số. - Giải hệ phương trình đó bằng phương pháp thế, tìm được a , b , c . - Kết luận bài toán. Ví dụ: Xác định hàm số 2 y ax bx c = + + biết đồ thị hàm số của nó đi qua ( 2; 3) A − − , ( 3;0) B − và tung độ đỉnh 4 − . Giải: Vì đồ thị hàm số đi qua ( 2; 3) A − − nên: 2 3 ( 2) ( 2) 4 2 3 a b c a b c − = − + − + ⇔ − + = − Vì đồ thị hàm số đi qua ( 3;0) B − nên: 2 0 ( 3) ( 3) 9 3 0 a b c a b c = − + − + ⇔ − + = Vì tung độ đỉnh của parabol là 4 − nên: 2 2 4 4 4 16 0 4 b ac b ac a a − − = − ⇔ − − = Ta có hệ phương trình sau: 2 4 2 3 (1) 9 3 0 (2) 4 16 0 (3) a b c a b c b ac a − + = − − + = − − = Từ (1) và (2) ta có: 4 2 3 9 3 a c b a c b + = − + = 5 3 4 2 3 a b a c b = + ⇔ + = − 1 ( 3) 5 3 (2 9) 5 a b c b = + ⇔ = − Thế vào (3) ta được: 2 1 3 16 4. ( 3). (2 9) ( 3) 0 5 5 5 b b b b − + − − + = 2 2 12 80 (2 3 27) ( 3) 0 25 25 b b b b ⇔ − − − − + = 2 44 84 0 b b ⇔ − + = 2 42 b b = ⇔ = Với 2 b = thì 1 a = , 3 c = − . Với 42 b = thì 9 a = , 45 c = . Vậy có hai hàm số thỏa yêu cầu bài toán là 2 2 3 y x x = + − và 2 9 42 45 y x x = + + . 2.2.5 Đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với trục hoành (hoặc biết hàm số đạt cực đại cực tiểu tại một điểm nào đó) Đây chính là dạng toán parabol đi qua một điểm và biết đỉnh của nó đã nêu ở phần trên. 2.3 Tìm tọa độ giao điểm Để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = ta làm như sau: - Giải phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) f x g x = . - Nếu phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm thì hai đồ thị hàm số không có giao điểm. Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm thì với mỗi nghiệm x ta tìm giá trị y bằng cách thế vào một trong hai hàm số đề bài đã cho. - Kết luận bài toán. Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 1 y x = + và 2 5 4 y x x = + + ; 2 2 4 7 y x x = − + và 2 1 y x x = + + . Giải: • 1 y x = + và 2 5 4 y x x = + + Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 5 4 x x x + = + + 2 4 3 0 x x ⇔ + + = 1 3 x x = − ⇔ = − Với 1 x = − thì 0 y = , ta có giao điểm ( 1;0) A − . Với 3 x = − thì 2 y = − , ta có giao điểm ( 3; 2) B − − . Vậy các giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là ( 1;0) A − và ( 3; 2) B − − . • 2 2 4 7 y x x = − + và 2 1 y x x = + + Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 4 7 1 x x x x − + = + + 2 5 6 0 x x ⇔ − + = 2 3 x x = ⇔ = Với 2 x = thì 7 y = , ta có giao điểm (2;7) A . Với 3 x = thì 13 y = , ta có giao điểm (3;13) B . Vậy các giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là (2;7) A và (3;13) B . 2.4 Sự tương giao của hai đồ thị 2.4.1 Đường thẳng với parabol Cho đường thẳng ( ) : d y Ax B = + và parabol 2 ( ) : P y ax bx c = + + . Khi đó có các vị trí tương đối sau: - ( ) d không cắt ( ) P (không có giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm. - ( ) d tiếp xúc ( ) P (có một giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép. - ( ) d cắt ( ) P (có hai giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ: Xét vị trí tương đối của của đường thẳng ( ) : 1 d y x = + với parabol 2 ( ) : 5 4 P y x x = + + . Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 5 4 x x x + = + + 2 4 3 0 x x ⇔ + + = 1 3 x x = − ⇔ = − Vì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng ( ) d cắt parabol ( ) P tại hai điểm. Ví dụ: Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( ) : 1 d y mx m = + − tiếp xúc với parabol 2 ( ) : ( 1) 2 1 P y m x x m = − + + − . Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 ( 1) 2 1 mx m m x x m + − = − + + − 2 ( 1) (2 ) 2 2 0 (*) m x m x m⇔ − + − + − = Đường thẳng ( ) d tiếp xúc với parabol ( ) P khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép, tức là: 1 0 0 m − ≠ ∆ = 2 1 (2 ) 4( 1)(2 2 ) 0 m m m m ≠ ⇔ − − − − = 2 1 9 20 12 0 m m m ≠ ⇔ − + = 1 m S ≠ ⇔ = ∅ Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2.4.2 Parabol với parabol Cho hai parabol 2 1 1 1 1 ( ) : P y a x b x c = + + và 2 2 2 2 2 ( ) : P y a x b x c = + + khi đó có các vị trí tương đối sau: - 1 ( ) P không cắt 2 ( ) P (không có giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm. - 1 ( ) P tiếp xúc 2 ( ) P (có một giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép. - 1 ( ) P cắt 2 ( ) P (có hai giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. - 1 ( ) P trùng 2 ( ) P khi và chỉ khi 1 2 a a = , 1 2 b b = , 1 2 c c = . Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai parabol 2 2 4 7 y x x = − + và 2 1 y x x = + + . Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 4 7 1 x x x x − + = + + 2 5 6 0 x x ⇔ − + = 2 3 x x = ⇔ = Vì ph ương tr ình hoành đ ộ giao đi ể m có hai nghi ệ m phân bi ệ t nên hai parabol c ắ t nhau t ạ i hai đi ể m. 2.5 Tìm điểm cố định của họ parabol đi qua Cho họ parabol 2 m m m y a x b x c = + + , trong đó m a , m b , m c có chứa tham số m . Tìm điểm cố định mà họ đường thẳng đi qua. Cách giải: ta xem m là ẩn số của phương trình bậc nhất một ẩn, các x , y là các hằng số. Ta chuyển thành phương trình bậc nhất với ẩn số là m có dạng 0 Am B + = . Cho các hệ số 0 A = , 0 B = . Giải hệ 0 0 A B = = tìm x , y . Kết luận bài toán. Ví dụ: Tìm điểm cố định mà đồ thị của họ hàm số 2 ( 1) 6 y mx m x m = + − − đi qua. Giải: Ta có: 2 ( 1) 6 y mx m x m = + − − 2 6 mx mx x m y ⇔ + − − = 2 ( 6) x x m x y ⇔ + − = + Điểm cố định mà đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua là nghiệm của hệ phương trình 2 6 0 (1) 0 (2) x x x y + − = + = Giải phương trình (1): 3 (1) 2 x x = − ⇔ = Với 3 x = − thế vào (2) ta được 3 y = . Với 2 x = thế vào (2) ta được 2 y = − . Vậy có hai điểm cố định mà đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua là ( 3;3) A − và (2; 2) B − . 2.6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối: 0 0 A khi A A A khi A ≥ = − < Tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số giống như hàm bậc bậc. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 4 y x x = − − . Giải: Ta có: ( 3) 4 3 0 3 4 ( 3) 4 3 0 x x khi x y x x x x khi x − − − ≥ = − − = − − − − < Hay 2 2 3 4 3 3 4 3 4 3 x x khi x y x x x x khi x − − ≥ = − − = − + − < Tập xác định: D = ℝ Sự biến thiên: Đồ thị: . HÀM SỐ BẬC HAI 1. Hàm số bậc hai 2 ( 0) y ax bx c a = + + ≠ Tập xác định: D = ℝ Đỉnh ; 2 4 b I a a ∆ . là a , b , c . - Đồ thị hàm số có trục đối xứng x m = nên 2 b m a − = (với m là số thực xác định). - Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số. - Giải hệ phương trình. = = − Vậy hàm số là 2 2 3 y x x = + − . 2.2.2 Đi qua hai điểm cho trước và biết trục đối xứng x m = - Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình bậc nhất ba