Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán thcs

CC CHUYấN BI DNG HSG TON THCS Chuyờn 1: S CHNH PHNG I- NH NGHA: S chớnh phng l s bng bỡnh phng ỳng ca mt s nguyờn II- TNH CHT: 1- S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9; khụng th cú ch tn cựng bng 2, 3, 7, 2- Khi phõn tớch tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn 3- S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 4n hoc 4n+1 Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4n + hoc 4n + (n N) 4- S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 3n hoc 3n +1 Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3n + ( n N ) 5- S chớnh phng tn cựng bng 1, hoc thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s l 6- S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 25 S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 16 III- MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG A- Dng 1: CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG Bi 1: Chng minh rng mi s nguyờn x, y thỡ: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y l s chớnh phng Gii : Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 2 2 = ( x xy y )( x xy y ) y t x xy y t (t Z ) thỡ A = ( t y )(t y ) y t y y t ( x xy y )2 Vỡ x, y, z Z nờn x Z , xy Z , y Z x xy y Z Vy A l s chớnh phng Bi 2: Chng minh tớch ca s t nhiờn liờn tip cng luụn l s chớnh phng Gii : Gi s t nhiờn, liờn tip ú l n, n+1, n+2, n+3 (n Z) Ta cú: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n2 3n)(n2 3n 2) (*) t n 3n t (t N ) thỡ (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vỡ n N nờn n2 + 3n + N Vy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + l s chớnh phng Bi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chng minh rng 4S + l s chớnh phng Gii : Ta cú: k(k + 1)(k + 2) = = 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) (k 3) (k 1) 4 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kt qu bi => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + l s chớnh phng Bi 4: Cho dóy s 49; 4489; 444889; 44448889; - Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia cỏc ch s ng trc v ng sau nú Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng Ta cú 44 488 89 = 44 488 + = 44 10n + 11 + n ch s n - ch s n ch s n ch s n ch s n ch s 10n n 10n 10 = 9 = 4.102 n 4.10n 8.10n 4.102 n 4.10n 9 2.10 n = Ta thy 2.10n + = 200 01 cú tng cỏc ch s chia ht cho nờn nú chia ht cho n - ch s 2.10 n => Z hay cỏc s cú dng 44 488 89 l s chớnh phng Cỏc bi tng t: Chng minh rng s sau õy l s chớnh phng A = 11 + 44 + 2n ch s n ch s B = 11 + 11 + 66 + 2n ch s n+1 ch s n ch s C= 44 + 22 + 88 + 2n ch s n+1 ch s n ch s D = 22499 9100 09 n-2 ch s n ch s E = 11 155 56 n ch s n-1 ch s 10 n Kt qu: A= ; n D = (15.10 - 3) 10n B ; 10 n E = 2.10 n C 2 Bi 5: Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca s t nhiờn liờn tip khụng th l mt s chớnh phng Gi s t nhiờn liờn tip ú l n - 2, n - 1, n +1, n + ( n N, n >2) Ta cú (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n2 + 2) Vỡ n2 khụng th tn cựng bi hoc ú n2 + khụng th chia ht cho => (n2 + 2) khụng l s chớnh phng hay A khụng l s chớnh phng Bi 6: Chng minh rng s cú dng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 ú n N v n >1 khụng phi l s chớnh phng n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Vi n N, n > thỡ n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 V n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + khụng phi l mt s chớnh phng Bi 7: Cho s chớnh phng bt k cú ch s hng chc khỏc cũn ch s hng n v u l Chng minh rng tng cỏc ch s hng chc ca s chớnh phng ú l mt s chớnh phng Ta bit mt s chớnh phng cú ch s hng n v l thỡ ch s hng chc ca nú l s l Vỡ vy ch s hng chc ca s chớnh phng ú l 1,3,5,7,9 ú tng ca chỳng bng + + + + = 25 = 52 l s chớnh phng Bi 8: Chng minh rng tng bỡnh phng ca s l bt k khụng phi l s chớnh phng a v b l nờn a = 2k + 1, b= 2m + (Vi k, m N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 khụng th l s chớnh phng Bi 9: Chng minh rng nu p l tớch ca n (vi n > 1) s nguyờn t u tiờn thỡ p - v p + khụng th l cỏc s chớnh phng Vỡ p l tớch ca n s nguyờn t u tiờn nờn p v p khụng th chia ht cho (1) a- Gi s p + l s chớnh phng t p + = m2 ( m N) Vỡ p chn nờn p + l => m2 l => m l t m = 2k + (k N) Ta cú m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) mõu thun vi (1) => p + khụng phi l s chớnh phng b- p = 2.3.5 l s chia ht cho => p - cú dng 3k + => p - khụng l s chớnh phng Vy nu p l tớch n (n >1) s nguyờn t u tiờn thỡ p - v p + khụng l s chớnh phng Bi 10: Gi s N = 1.3.5.7 2007 2011 Chng minh rng s nguyờn liờn tip 2N - 1, 2N v 2N + khụng cú s no l s chớnh phng a- 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Cú 2N => 2N - = 3k + (k N) => 2N - khụng l s chớnh phng b- 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chn => N l => N khụng chia ht cho v 2N nhng 2N khụng chia ht cho 2N chn nờn 2N khụng chia cho d hoc d => 2N khụng l s chớnh phng c- 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + l nờn 2N + khụng chia ht cho 2N khụng chia ht cho nờn 2N + khụng chia cho d => 2N + khụng l s chớnh phng Bi 11: Cho a = 11 ; b = 100 05 2010 ch s 2009 ch s Chng minh ab l s t nhiờn Gii: b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2009 ch s 2010 ch s 2010 ch s ab + = a(9a + 6) + = 9a + 6a + = (3a + 1) ab (3a 1) 3a N B DNG 2: TèM GI TR CA BIN BIU THC L S CHNH PHNG Bi 1: Tỡm s t nhiờn n cho cỏc s sau l s chớnh phng a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Gii: a) Vỡ n2 + 2n + 12 l s chớnh phng nờn t n2 + 2n + 12 = k2 (k N) 2 2 (n + 2n + 1) + 11 = k k (n + 1) = 11 (k + n + 1)(k n - 1) = 11 Nhn xột thy k + n + > k - n - v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (k + + 1) (k - n - 1) = 11.1 k + n + = 11 k=6 k-n1=1 n=4 b) t n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 2 (4n + 12n + 9) = 4a 2 (2n + 3) 4a = (2n + + 2a)(2n + 2a) = Nhn xột thy 2n + + 2a > 2n + 2a v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (2n + + 2a)(2n + 2a) = 9.1 c) t 13n + = y2 (y N) 2n + + 2a = 2n + 2a = 13(n - 1) = y 16 n=1 a=2 13(n - 1) = (y + 4)(y 4) (y + 4)(y 4) 13 m 13 l s nguyờn t nờn y + 13 hoc y 13 y = 13k (vi k N) 13(n - 1) = (13k 4) 16 = 13k.(13k 8) 13k 8k + Vy n = 13k2 8k + (vi k N) thỡ 13n + l s chớnh phng 2 d) t n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n + 1) + 6355 = 4m (2m + 2n + 1) (2m 2n 1) = 6355 Nhn xột thy 2m + 2n + > 2m 2n > v chỳng l nhng s l, nờn ta cú th vit (2m + 2n + 1) (2m 2n 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n cú th cú cỏc giỏ tr sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bi tng t : Tỡm a cỏc s sau l nhng s chớnh phng a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 Kt qu: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bi : Tỡm s t nhiờn n cho tng 1! + 2! + 3! + + n! l mt s chớnh phng Vi n = thỡ 1! = = 12 l s chớnh phng Vi n = thỡ 1! + 2! = khụng l s chớnh phng Vi n = thỡ 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 l s chớnh phng Vi n ta cú 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 cũn 5!; 6!; ; n! u tn cựng bi ú 1! + 2! + 3! + n! cú tn cựng bi ch s nờn nú khụng phi l s chớnh phng Vy cú s t nhiờn n tho bi l n = 1; n = Bi 3: Cú hay khụng s t nhiờn n 2010 + n2 l s chớnh phng Gi s 2010 + n2 l s chớnh phng thỡ 2010 + n2 = m2 (m N ) T ú suy m2 - n2 = 2010 (m + n) (m n) = 2010 Nh vy s m v n phi cú ớt nht s chn (1) Mt khỏc m + n + m n = 2m s m + n v m n cựng tớnh chn l (2) T (1) v (2) m + n v m n l s chn (m + n) (m n) nhng 2006 khụng chia ht cho iu gi s sai Vy khụng tn ti s t nhiờn n 2006 + n2 l s chớnh phng Bi 4: Bit x N v x > Tỡm x cho x( x 1).x( x 1) ( x 2) xx( x 1) ng thc ó cho c vit li nh sau: x( x 1) ( x 2) xx( x 1) Do v trỏi l mt s chớnh phng nờn v phi cng l mt s chớnh phng Mt s chớnh phng ch cú th tn cựng bi mt cỏc ch s 0; 1; 4; 5; 6; nờn x ch cú th tn cựng bi mt cỏc ch s 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x l ch s nờn x 9, kt hp vi iu kin bi ta cú x N v < x (2) T (1) v (2) x ch cú th nhn mt cỏc giỏ tr 5; 6; Bng phộp th ta thy ch cú x = tho bi, ú 762 = 5776 Bi 5: Tỡm s t nhiờn n cú ch s bit rng 2n + v 3n + u l cỏc s chớnh phng Ta cú 10 n 99 nờn 21 2n + 199 Tỡm s chớnh phng l khong trờn ta c 2n + bng 25; 49; 81; 121; 169 tng ng vi s n bng 12; 24; 40; 60; 84 S 3n + bng 37; 73; 121; 181; 253 Ch cú 121 l s chớnh phng Vy n = 40 Bi 6: Chng minh rng nu n l s t nhiờn cho n + v 2n + u l cỏc s chớnh phng thỡ n l bi s ca 24 Vỡ n + v 2n + l cỏc s chớnh phng nờn t n + = k2, 2n + = m2 (k, m N ) Ta cú m l s l m = 2a + m2 = 4a(a + 1) + M n m 4a (a 1) 2a (a 1) 2 n chn n + l k l t k = 2b + (vi b N ) k = 4b(b+1) + n = 4b(b+1) n (1) Ta cú: k2 + m2 = 3n + (mod3) Mt khỏc k2 chia cho d hoc 1, m2 chia cho d hoc Nờn k2 + m2 (mod3) thỡ k2 (mod3) m2 (mod3) 2 m k hay (2n + 1) (n + 1) n (2) M (8; 3) = (3) T (1), (2), (3) n 24 Bi 7: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n cho s 28 + 211 + 2n l s chớnh phng Gi s 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thỡ 2n = a2 482 = (a + 48) (a 48) 2p 2q = (a + 48) (a 48) vi p, q N ; p + q = n v p > q a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q 1) = 25.3 a 48 = 2q q = v p q = p = n = + = 12 Th li ta cú: 28 + 211 + 2n = 802 C.DNG : TèM S CHNH PHNG Bi : Cho A l s chớnh phng gm ch s Nu ta thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta c s chớnh phng B Hóy tỡm cỏc s A v B Gi A = abcd k Nu thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta cú s B = (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) m vi k, m N v 32 < k < m < 100 a, b, c, d = 1; A = abcd k Ta cú: B = abcd 1111 m ỳng cng khụng cú nh 2 m k = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*) Nhn xột thy tớch (m k)(m + k) > nờn m k v m + k l s nguyờn dng V m k < m + k < 200 nờn (*) cú th vit (m k) (m + k) = 11.101 Do ú: m k = 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bi 2: Tỡm mt s chớnh phng gm ch s bit rng s gm ch s u ln hn s gm ch s sau mt n v t abcd k ta cú ab cd v k N, 32 k < 100 Suy : 101 cd = k2 100 = (k 10)(k + 10) k + 10 101 hoc k 10 101 M (k 10; 101) = k + 10 101 Vỡ 32 k < 100 nờn 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91 abcd = 91 = 8281 Bi 3: Tỡm s chớnh phng cú ch s bit rng ch s u ging nhau, ch s cui ging Gi s chớnh phng phi tỡm l: aabb = n2 vi a, b N, a 9; b Ta cú: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Nhn xột thy aabb 11 a + b 11 M a 9; b nờn a + b 18 a + b = 11 Thay a + b = 11 vo (1) c n2 = 112(9a + 1) ú 9a + l s chớnh phng Bng phộp th vi a = 1; 2;; ta thy ch cú a = tho b = S cn tỡm l: 7744 Bi 4: Tỡm mt s cú ch s va l s chớnh phng va l mt lp phng Gi s chớnh phng ú l abcd Vỡ abcd va l s chớnh phng va l mt lp phng nờn t abcd = x2 = y3 vi x, y N Vỡ y3 = x2 nờn y cng l mt s chớnh phng Ta cú : 1000 abcd 9999 10 y 21 v y chớnh phng y = 16 abcd = 4096 Bi : Tỡm mt s chớnh phng gm ch s cho ch s cui l s nguyờn t, cn bc hai ca s ú cú tng cỏc ch s l mt s chớnh phng Gi s phi tỡm l abcd vi a, b, c, d nguyờn v a 9; b, c, d abcd chớnh phng d 0,1, 4, 5, 6, d nguyờn t d = t abcd = k2 < 10000 32 k < 100 k l mt s cú hai ch s m k2 cú tn cựng bng k tn cựng bng Tng cỏc ch s ca k l mt s chớnh phng k = 45 abcd = 2025 Vy s phi tỡm l: 2025 Bi 6: Tỡm s t nhiờn cú hai ch s bit rng hiu cỏc bỡnh phng ca s ú v vit s b hai ch s ca s ú nhng theo th t ngc li l mt s chớnh phng Gi s t nhiờn cú hai ch sphi tỡm l ab (a, b N, a, b 9) S vit theo th t ngc li ba Ta cú ab - ba = (10a + b)2 (10b + a)2 = 99 (a2 b2) 11 a2 b2 11 Hay (a - b) (a + b) 11 Vỡ < a b 8, a + b 18 nờn a + b 11 a + b = 11 Khi ú: ab - ba 2= 32 112 (a b) ab - ba l s chớnh phng thỡ a b phi l s chớnh phng ú a b = hoc a b=4 Nu a b = kt hp vi a + b = 11 a = 6, b = , ab = 65 Khi ú 652 562 = 1089 = 332 Nu a b = kt hp vi a + b = 11 a = 7,5 loi Vy s phi tỡm l 65 Bi 7: Cho mt s chớnh phng cú ch s Nu thờm vo mi ch s ú ta cng c mt s chớnh phng Tỡm s chớnh phng ban u (Kt qu: 1156) Bi 8: Tỡm s cú ch s m bỡnh phng ca s y bng lp phng ca tng cỏc ch s ca nú Gi s phi tỡm l ab vi a, b N, a 9; b Theo gi thit ta cú: ab = (a + b)3 (10a +b) = (a + b) ab l mt lp phng v a + b l mt s chớnh phng t ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N) Vỡ 10 ab 99 ab = 27 hoc ab = 64 Nu ab = 27 a + b = l s chớnh phng Nu ab = 64 a + b = 10 khụng l s chớnh phng loi Vy s cn tỡm l ab = 27 Bi : Tỡm s l liờn tip m tng bỡnh phng l mt s cú ch s ging Gi s l liờn tip ú l 2n - ; 2n + ; 2n + (n N) Ta cú : A = (2n 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo bi ta t 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 a vi a l v a 12n(n + 1) = 11(101a 1) 101a 2a Vỡ a nờn 2a 17 v 2a l nờn 2a 3; 9;15 a 2; 5; Vỡ a l a = n = 21 s cn tỡm l: 41; 43; 45 Bi 10 : Tỡm s cú ch s cho tớch ca s ú vi tng cỏc ch s ca nú bng tng lp phng cỏc ch s ca s ú 3 ab (a + b) = a + b 2 10a + b = a ab + b = (a + b) 3ab 3a (3 + b) = (a + b) (a + b 1) a + b v a + b nguyờn t cựng ú a + b = 3a a+b1=3+b a = 4, b = hoc hoc a + b = 3a a+b=3+b a = 3, b = Vy ab = 48 hoc ab = 37 Chuyờn 2: PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Tỡm nghim nguyờn ca Phng trỡnh v h phng trỡnh bc nht hai n Tu tng bi c th m lm cỏc cỏch khỏc VD1: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 2x + 3y = 11 Cỏch 1: Phng phỏp tng quỏt: Ta cú: 2x + 3y = 11 x 11 y y y 2 phng trỡnh cú nghim nguyờn t (1) y tZ y nguyờn y = 2t + x = -3t + Cỏch : Dựng tớnh cht chia ht Vỡ 11 l 2x + 3y luụn l s l m 2x luụn l s chn 3y l y l Do ú : y = 2t + vi t Z x = -3t + Cỏch : Ta nhõn thy phng trỡnh cú mt cp nghim nguyờn c bit l x0 = ; y = Tht vy : + 3.1 = 11 (2) Tr (1) cho (2) v theo v ta cú : 2(x - 4) + 3(y - 1) = (3) 2(x -4) = -3(y -1) T (3) 3(y - 1) m (2 ; 3) = y - y = 2t + vi tZ Thay y = 2t + vo (3) ta cú : x = -3t + Nhn xột : Vi cỏch gii ny ta phi mũ mt cp nghim nguyờn (x0, y0) ca phng trỡnh ax + by = c ; cỏch ny s gp khú khn nu h s a, b, c quỏ ln Cỏc bi tng t : Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh a) b) 3x + 5y = 10 4x + 5y = 65 c) 5x + 7y = 112 VD2 : H phng trỡnh Tỡm nghim nguyờn dng ca h phng trỡnh sau : 3x + y + z = 14 (1) 5x + 3y + z = 28 (2) Gii : T h ó cho ta cú : 2(x + y) = 14 vy x = - y (*) Thay (*) vo (1) ta c z = 14 - y - 3x = 2y -7 Vỡ x > nờn - y > y < m z > nờn 2y - > y > 10 Khõu tỡm hiu ni dung bi toỏn l rt quan trng Nú nh hng cho cỏc thao tỏc tip theo Trong khõu ny ũi hi hc sinh phi cú trỡnh phõn tớch bi toỏn, kh nng phỏn oỏn tt Tu thuc vo kh nng ca tng i tng hc sinh m giỏo viờn cú th a h thng cõu hi dn dt thớch hp nhm giỳp hc sinh tỡm hiu tt ni dung bi toỏn Cn xỏc nh rừ yu t c nh, khụng i, cỏc quan h khụng i v cỏc yu t thay i, tỡm mi quan h gia cỏc yu t ú D oỏn im c nh: Da vo nhng v trớ c bit ca yu t chuyn ng d oỏn im c nh Thụng thng ta tỡm mt hoc hai v trớ c bit cng thờm vi cỏc c im bt bin khỏc nh tớnh cht i xng, song song, thng hng d oỏn im c nh Tỡm tũi hng gii T vic d oỏn im c nh tỡm mi quan h gia im ú vi cỏc yu t chuyn ng, yu t c nh v yu t khụng i Thụng thng chng t mt im l c nh ta ch im ú thuc hai ng c nh, thuc mt ng c nh v tho mt iu kin (thuc mt tia v cỏch gc mt on khụng i, thuc mt ng trũn v l mỳt ca mt cung khụng i ) thụng thng li gii ca mt bi toỏn thng c ct b nhng suy ngh bờn nú chớnh vỡ vy ta thng cú cm giỏc li gii cú cỏi gỡ ú thiu t nhiờn, khụng cú tớnh thuyt phc chớnh vỡ vy trỡnh by ta c gng lm cho li gii mang tớnh t nhiờn hn, cú giỏ tr v vic rốn luyn t cho hc sinh MT VI V D: Bi 1: Cho ba im A, C, B thng hnh theo th m t ú V tia Cx vuụng gúc vi AB.Trờn tia Cx ly CE CA ng CB CD trũn ngoi tip tam giỏc ADC ct ng trũn ngoi tip tam giỏc BEC ti H khỏc C Chng minh rng: ng thng HC luụn i qua mt im hai im D, E cho b a C D h c nh C di chuyn trờn on thng AB Tỡm hiu bi: * Yu t c nh: on AB * Yu t khụng i: + Gúc BEC = 300, Gúc ADB = 600 ú s cung BC, cung CA khụng i E + B, D, H thng hng; E, H, A thng hng D oỏn im c nh: 53 C trựng B thỡ (d) to vi BA mt gúc 600 => im c nh thuc tia By to vi tia BA mt gúc 600 C trựng A thỡ (d) to vi AB mt gúc 300 => im c nh thuc tia Az to vi tia AB mt gúc 300 By v Az ct ti M thỡ M l im c nh? Nhn thy M nhỡn AB c nh di 900 => M thuc ng trũn ng kớnh AB Tỡm hng chng minh: M thuc ng trũn ng kớnh AB c nh ú cn chng minh s cung AM khụng i tht vy: s cung AM = 2sGúc MCA=2sGúc CHA =2sGúc CDA = 1200 Li gii: CA => Gúc D=600 CD cú Gúc CHA = Gúc CDA = 600 G/s ng trũn ng kớnh AB ct CH ti M Ta cú tgD ta cú Gúc MHA= 600 => s cung MA khụng i li cú ng trũn ng kớnh AB c nh vy: M c nh ú CH luụn qua M c nh Bi 2: Cho ng trũn (O) v ng thng (d) nm ngoi ng trũn I l im di ng trờn (d) ng trũn ng kớnh OI ct (O) ti M, N Chng minh ng trũn ng kớnh OI luụn i qua mt im c nh khỏc O v ng thng MN luụn i qua mt im c nh Hng dn: tớnh cht i xng nờn im c nh nm trờn trc i xng hay ng thng qua O v vuụng gúc vi (d) M O Gii: K OH vuụng gúc vi (d) ct MN ti E ta cú H c nh v H thuc ng trũn ng kớnh OI vy ng trũn ng kớnh OI luụn i qua K F E N d I H c nh Xột tam giỏc OEF v tam giỏc OIH cú gúc O chung, gúc OFE = gúc OHI = 900 Nờn tam giỏc OEF ng dng vi tam giỏc OIH ú: OF/ OE = OH/ OI => OE OH = OF OI Li cú gúc IMO = 900 ( ni tip chn na ng trũn ng kớnh OI ) Xột tam giỏc vuụng OMI cú ng cao ng vi cnh huyn MF nờn: OF OI = OM2 54 OM Do ú: OE = hng s võy E c nh ú MN OH i qua E c nh Bi 3: Cho ng trũn (O; R) v dõy AB c nh C l mt im chuyn ng trờn ng trũn v M l trung im ca AC Chng minh rng ng thng k t M vuụng gúc vi BC luụn i qua mt im c nh I Gii: V ng kớnh BD => D c nh Gi s ng thng qua M v vuụng gúc vi BC ct BC ct AD ti I D thy gúc BCD = 900 hay MI // CD A M N C B Xột tam giỏc ACD cú MC = MA; MI // CD => I l trung im ca DA c nh hay ng thng qua M vuụng gúc vi BC i qua I c nh Bi 4: Cho tam giỏc ABC v hai im M, N th t chuyn ng trờn hai tia BA, CA cho BM= CN Chng minh rng ng trung trc ca MN luụn i qua mt im c nh Hng dn: Khi M B thỡ N C ú ng trung trc ca MN l trung trc ca BC Vy im c nh nm trờn ng trung trc ca BC Gii: Gi s trung trc ca BC ct trung trc ca MN ti I D thy tam giỏc IMB = tam giỏc INC (c-c-c) vy gúc MBI = gúc NCI Xột t giỏc ABCI cú gúc MBI = gúc NCI vy t giỏc ABCI ni tip hay I thuc ng trũn Ngoi tip tam giỏc ABC c nh, m Trung trc ca BC c nh Vy I c nh hay trung trc ca MN i qua I c nh Bi 5: Cho ng trũn (O; R) v dõy cung AB = O M B C D A P R im P khỏc A v B Gi (C; R1) l ng trũn i qua P tip xỳc vi ng trũn (O; R) ti A.Gi (D; R2) l ng trũn i qua P tip xỳc vi ng trũn (O; R) ti B Cỏc ng trũn (C; R1) v I (D; R2) ct ti M khỏc P Chng minh rng 55 P di ng trờn AB thỡ ng thng PM luụn i qua mt im c nh Tỡm hiu bi: * Yu t c nh: (O; R), dõy AB * Yu t khụng i: DPCO l hỡnh bỡnh hnh S cung BP ca (D), s cung AP ca (C), Gúc BMA khụng i D oỏn Khi P A thỡ PM l tip tuyn ca (O; R) => im c nh nm trờn tip tuyn ca (O; R) ti A Khi P B thỡ PM l tip tuyn ca (O; R)=> im c nh nm trờn tip tuyn ca (O; R) ti B Do tớnh cht i xng ca hỡnh => im c nh nm trờn ng thng qua O v vuụng gúc vi AB => im c nh nm trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc OAB Li gii: V ng trũn ngoi tip tam giỏc OAB ct PM ti I vỡ AB = R => s cung AB ca (O) bng 1200 tam giỏc BDP cõn ú gúc OBA = gúc DPB tam giỏc OAB cõn ú gúc OBA = gúc OAB => gúc BDP = gúc BOA => scung C d M O BP ca (D) = s cung BA ca (O) = 1200 tng t s cung PA ca (C) = 1200 ta cú gúc BMP = s cung BP ca (D) = I B A 600 s cung AP ca (C) = 600 Vy gúc BMA = gúc BMP + gúc AMP = 1200 = gúc BOA ta cú gúc AMP = xột t giỏc BMOA cú gúc BMA = gúc BOA ú t giỏc BMOA ni tip hay M thuc ng trũn ngoi tip tam giỏc BOA 1 s cung IA = gúc IMA = gúc PMA = s cung PA ca (C) = 1200 Vy I thuc 2 ng trũn ngoi tip tam giỏc AOB v s cung IA = 1200 => I c nh hay MP i qua I c nh Vy 56 Bi 6: Cho on AB c nh, M di ng trờn AB Trờn cựng mt na mt phng b AB v hai hỡnh vuụng MADE v MBHG Hai ng trũn ngoi tip hai hỡnh vuụng ct ti N Chng minh ng thng MN luụn i qua mt im c nh M di chuyn trờn AB Hng dn: Tng t bi Gii: Gi s MN ct ng trũn ng kớnh AB ti I Ta cú Gúc ANM = Gúc ADM = 450( gúc ni tip cựng chn cung AM ca ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng AMDE) Ta cú Gúc BNM = Gúc BGM = 450( gúc ni tip cựng chn cung BM ca ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng MBGH) G H N E A D M B => gúcANB = Gúc ANM + Gúc BNM = 900 => N thuc I ng trũn ng ng kớnh AB vy s cung AI = 2sGúc ANI =2sGúc ANM = 900 Vy I thuc ng trũn ng kớnh AB v s o cung AI bng 900 => I c nh hay MN i qua I c nh Vài định hướng khai thác toán hình học cú c mt gi luyn tt cn lu ý mt s sau - Chn h thng bi nh th no cho mt gi luyn tp; - Phi sp xp h thng cỏc cõu hi t d n khú (cú gi m); - Phi t chc tt v th hin vai trũ ch o ca ngi thy; - Sau mi bi cn dt cho hc sinh nghiờn cu sõu li gii (nu cú) Ni dung chớnh ca bi vit tụi bt u t mt s bi toỏn n gin chng trỡnh lp bc THCS ri phỏt trin nú rng mc tng ng, phc hn ri cao hn nhng phự hp vi t lụgớc ca cỏc em to cho cỏc em nim say mờ hc mụn toỏn c bit l mụn hỡnh hc T bi s trang 134 (SGK hỡnh hc lp 9-NXB Giỏo dc 2005), sau hc sinh c lm, tụi ó thay i thnh bi toỏn cú ni dung nh sau: Bi toỏn 1: Cho ABC u cnh a, gi O l trung im ca BC Trờn cnh AB, AC theo th t ly M, N cho gúc MON = 600 a) Chng minh BM CN a2 ; b) Gi I l giao im ca BN v OM Chng minh BM.IN = BI.MN; 57 c) Chng minh MN luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh Phõn tớch bi toỏn: a) phn a l mt dng toỏn chng minh A h thc, chớnh vỡ vy vic hng dn hc sinh tỡm li gii bi toỏn ht sc quan N trng nhm phỏt trin t hỡnh hc M hc sinh I Chỳng ta cú th dựng phng phỏp phõn tớch i lờn tỡm li gii bi toỏn Vi s nh sau: a2 BM CN a a BM CN 2 B O C Cn c vo s ta cú li gii sau: Ta cú BMO: gúcB+gúcM+gúcO = 1800 gúcBMO+gúcMON+gúcNOC = 1800 (gúcBOC = 1800) gúcBMO = gúcCON; li cú B C 600 (vỡABCu) BM CN BO.CO BM CO BO CN BMO ng dng CON (g.g), t ú suy hay BM CN BO.CO ; m BO CO BM CN BM CO BO CN BC a ú 2 a2 (pcm) BMO ng dng CON B C 600 gúcBMO = gúcCON gúcB+gúcBMO+gúcBOM = gúcBMO+gúcMON+gúcNOC (= 1800) b) Cng tng t nh vy phn b) thy giỏo cng giỳp hc sinh phỏt trin t lụgic, thao tỏc t phõn tớch, tng hp, c bit l t phõn tớch i lờn- mt thao tỏc t c trng ca mụn hỡnh hc Vi s phõn tớch nh vy hc sinh s thy ú chớnh l s dng tớnh cht ng phõn giỏc ca tam giỏc BMN Ngha l hc sinh cn ch MI l tia phõn giỏc ca gúcBMN T ú ta cú li gii sau: 58 Theo phn a) BMO ng dng CON suy BM MO BM MO hay li cú gúcB = CO ON BO ON gúcMON (=600) BMO ng dng OMN (c.g.c) T ú suy gúcBMO = gúcOMN ú MO l tia phõn giỏc ca gúc BMN hay MI l tia phõn giỏc gúcBMN Xột BMN cú MI l tia phõn giỏc ca gúcBMN, ỏp dng tớnh cht ng phõn giỏc tam giỏc ta cú MB IB MN IN hay BM IN BI MN (pcm) c) õy l mt dng toỏn liờn quan gia tớnh bt bin (c nh) v tớnh thay i: ng vi mi im M, N thỡ ta cú v trớ ca on thng MN thay i theo (chuyn ng) nhng li luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh (bt bin) Vy trc tỡm li gii ca bi toỏn giỏo viờn cn cho hc sinh ch yu t c nh, yu t no thay i A N K M I H B O C Ta cú li gii sau: T O k OH, OK theo t t vuụng gúc vi AB v MN Do O, AB c nh nờn OH c nh Vy ng trũn (O;OH) l ng trũn c nh Vỡ MO l tia phõn giỏc ca gúc BMN nờn OK = OH (t/c ng phõn giỏc) K (O;OH) (1) li cú OK MN ( cỏch dng) (2) t (1) v (2) suy MN l tip tuyn ca ng trũn (O;OH) Vy MN luụn tip xỳc vi mt ng trũn (O;OH) c nh Khai thỏc bi toỏn: phn a) ca bi toỏn ta thy tớch BM.CN khụng i, nu s dng BT Cụsi ta cú thờm cõu hi sau: 1.1: Tỡm v trớ ca M, N trờn AB, AC BM + CN t giỏ tr nh nht Li gii: p dng BT Cụsi cho hai s khụng õm l BM, CN ta cú BM CN BM CN du "=" xy BM = CN Theo phn a) BM CN ú BM CN a2 a2 a (khụng i) 59 Vy GTNN ca BM+CN = a BM = CN = a M, N theo th t l trung im ca AB v AC 1.2: Ta th suy ngh nu tam giỏc ABC l tam giỏc cõn thỡ bi toỏn cũn ỳng khụng? v gi thit nh th no? t ú ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 1.2: Cho tam giỏc ABC cõn A, O l trung im BC Trờn cnh AB, AC A theo th t ly cỏc im M, N cho gúcBMO = gúcCON Chng minh rng: BC a) BM CN ; b) BN MO = I , Chng minh N M BI.MN = IN.BM; c) Khi M, N thay i trờn AB, AC thỡ MN luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh I B C O Bi toỏn 1.3: Cho tam giỏc ABC cõn A, O thuc cnh BC ng trũn tõm O tip xỳc vi cỏc cnh AB, AC ca tam giỏc Trờn AB, AC theo th t ly hai im M, N Chng minh rng MN l tip tuyn ca ng trũn (O) BM CN Gii: Gii:Vỡ Vỡ(O) (O)tip tip xỳc xỳc vi vi cỏc cỏc cnh cnh AB, AB, AC AC Onờn O u cỏchAB, u AC AB,doAC O tia nờn cỏch údo O ú thuc thucgiỏc tia ca phõngúc giỏc gúcA Licõn cú nờn phõn A ca Li cú ABC phõnthi giỏclgúc A tuyn ng m ABC phõn giỏccõn gúcnờn A ng trung l trung tuyn m O BC nờn O l BC nờn O l trung im cnh BC Othi trung im cnh BC ( ): Gi s MN l tip tuyn (O) ( ): Gi s MN l tip tuyn (O) Ni NiOM, OM,ON ON Do MB, MP Do MB, MP ll hai hai tip tip tuyn tuyn ct ct nhau ca (O), l hailtip ct ca NP, (O), NC NP,cng NC cng haituyn tip tuyn ca dng tuyn ct (O), nhausca (O),tớnh s cht dnghai tớnhtip cht hai ct ta suy ct c tip tuyn ta suy c BC A M B N P O C gúc MON = gúcB; gúcBOM = gúcONC; gúcNOC = gúcBMO; t ú suy BMO ng BM BO BC BM CN dng CON (g.g) (pcm) CO CN ( ) Gi s cú BM CN BC cn phi chng minh MN l tip tuyn ca (O) Cỏch 1: Chng minh tng t bi toỏn 1; Cỏch 2: T M dng tip tuyn vi (O) ct AC N' Ta chng minh N' N 60 Theo phn thun ta cú BM CN ' BC kt hp vi gi thit ta suy BM.CN' = BM.CN CN' = CN M N', N cựng thuc cnh AC ú N' N (pcm) Chỳ ý: - Nu M nm on AB thỡ N nm on AC - Nu M nm ngoi on AB thỡ N cng nm ngoi on AC Bi toỏn 1.4: Cho tam giỏc ABC cõn B cú gúcB = 400, O l trung im cch AC, K l chõn ng vuụng gúc k t O xung AB, (O) l ng trũn tõm O bỏn kớnh OK 1) Chng minh (O) tip xỳc vi BC; 2) Gi s E l mt im thay i trờn cnh AC cho gúc AOE = (200 900 ) , k tip tuyn EF vi ng trũn (O) tip sỳc vi (O) ti P a) Tớnh theo cỏc gúc ca t giỏc AEFC; b) AEO ng dng vi COF; c) Tớnh AE + CF nh nht ( thi chuyờn toỏn HSP H N nm 2005) HD Gii: 1)Gii: K Vỡ OH(O) vuụng vi cỏc BC.cnh tam tip gúc xỳc vi AB, giỏc ABC cõn B nờn OH = OK AC nờn O cỏch u AB, AC úúO caOH gúc BC A Li cú Hthuc nm tia trờnphõn (O), giỏc li cú ti H phõn ABC nờn BC lcõn tipnờn tuyn cagiỏc (O) gúc A ng thi l trung tuyn m O BC nờn O l 2) a) Ta cú A C 700 , tng t bi toỏn trung im cnh BC trờn suy s gúc = 2(110 - ), ( ta ): Gi MNAEF l tip tuyn (O) NiCFE OM,=ON gúc Do MP ng l hai tip b) MB, dngtuyn vi ct AEO COF ca (O), NP, NC cng l hai tip tuyn (c.g.c) ct ca (O), s dng tớnh cht hai c) Tng t li gii ta suy tip tuyn ct ta bi suy ýra1.1 c B E F P A O C Bi toỏn 1.5: Cho ng trũn (I) tip xỳc vi hai cnh ca gúc xOy ti A v B T C trờn cung nh AB k tip tuyn vi ng trũn (I) ct Ox, Oy theo th t ti M, N Xỏc nh v trớ ca C trờn cung nh AB MN cú di nh nht 61 Gii: Ta hóy Vỡa (O)bi tip toỏn xỳcvvi bi cỏc toỏncnh quenAB, AC O cỏch cỏch qua uI AB, AC ú O thucnờn bng k ng thng thuc tia phõn giỏc ca gúc A Li cú song song vi AB ct Ox, Oy th t P ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A ng v cú tuyn AOB cõn POQ thiQ.lTatrung m nờn O BC nờn cõn O l trung cnhMN BC.l tip tuyn ca (I) PQ m O, Iim ( ): Gi s MN l tip tuyn (O) PQ p dng Ni OM, bi ON.toỏn trờn PM QN Do MB, MP l hai tip tuyn ct Li cõn l chung nhtuyn O POQcng ca (O),AOB NP,, NC hai tip ct s i) dng tớnh cht hai AP =ca BQ (O), (khụng tip tuyn ct ta suy c O M N C B A P I Q Ta cú MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP Do ú MN nh nht MP + NQ nh nht (p dng kt qu bi toỏn 1.1) ta cú c C l im chớnh gia cung nh AB Nu tip tc khai thỏc bi toỏn ban u ta cú th a mt s bi toỏn cho hc sinh t lm, coi nh bi v nh hc sinh t gii quyt Bi toỏn 1.6: Cho ABC cõn A Ly M, N trờn cnh AB, AC cho BM CN BC Tỡm v trớ ca M, N cho AMN cú din tớch ln nht Bi toỏn 1.7: Cho M, M' trờn tia AB v tia i ca tia BA; N, N' thuc tia CA v tia i ca tia CA Chng minh rng: BC 1) Nu MB.NC = M'B.N'C = thỡ t giỏc MM'N'N ngoi tip c mt ng trũn; 2)Phõn giỏc to bi MN v MM' i qua mt im c nh Bi toỏn 1.8: 1) Cho ABC Dng hai im P, Q th t trờn AB v AC cho AP = AQ v BP.CQ = PQ ; 2) Cho hỡnh vuụng ABCD, ly im F thuc CD, G thuc BC cho EG//AF (vi E l trung im ca AB) Chng minh rng FG l tip tuyn ca ng trũn ni tip hỡnh vuụng Bi toỏn 1.9: Cho tam giỏc ABC cõn A ng trũn cú tõm O l trung im ca BC tip xỳc vi AB, AC th t H v K Ly P thuc on AB, Q thuc on AC cho PQ l tip tuyn ca (O) Tỡm qu tớch tõm O' ca ng trũn ngoi tip tam giỏc OPQ Vi cỏch lm tng t trờn, bng phng phỏp c bit hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tng t v thao tỏc t thun o ta cng hỡnh thnh cho hc sinh t lụgớc, t sỏng to, tớnh c ỏo toỏn hc Chng hn ta cú bi toỏn sau: 62 Bi toỏn 2: Cho ng trũn (O) ng kớnh CD T C v D k hai tip tuyn Cx, Dy vi ng trũn T mt im E nm trờn ng trũn, k tip tuyn vi ng trũn úy ct Cx ti A v Dy ti B Chng minh gúc AOB = 900 x B Phõn tớch bi toỏn: E A K C J O D chng minh gúc AOB = 900, ta cú th lm bng nhiu cỏch khỏc Chng hn: - Ta chng minh OA, OB l hai tia phõn giỏc ca cp gúc k bự; - Ta chng minh gúc AOB = gúc CED, m gúc CED = 900 nờn gúcAOB = 900 Do +) AOB ng dng vi CED (g.g) nờn gúc AOB = gúc CED, m gúc CED = 900 vy gúc AOB = 900 +) T giỏc OKEJ l hỡnh ch nht ( cú ba gúc vuụng) nờn gúc AOB = 900 Tip tc t chỳng ta cũn tỡm c thờm mt vi cỏch gii khỏc na Sau õy ta xột mt cỏc cỏch gii ú: Ta cú gúc ACO = gúcAEO = 900 (tớnh cht hai tip tuyn ct nhau) suy gúcACO + gúc AEO = 1800 suy t giỏc ACOE ni tip Do ú ta cú gúcEAO = gúcECO (hai gúc cựng chn mt cung OE) Tng t ta cng cú gúcEBO = gúcEDO, m gúcECO + gúcEDO = 900 (vỡ gúcCEO = 900-gúc ni tip chn na ng trũn) Nờn gúcEAO + gúcEBO = 900 T ú suy gúcAOB = 900 (pcm) Khai thỏc bi toỏn: - Nu ta thay i mt vi iu kin ca bi toỏn, chng hn v trớ ca im O thay bng im M bt kỡ trờn CD Khi ú ng thng vuụng gúc vi ME ti E khụng cũn l tip tuyn na m tr thnh cỏt tuyn vi (O) Th thỡ yờu cu ca bi toỏn chng minh gúcAMB = 900 cũn ỳng na hay khụng? iu ny cũn ỳng, t ú ta cú bi toỏn khỏc nh sau: Bi toỏn 2.1: Cho ng trũn (O) ng kớnh CD T C, D k hai tip tuyn Cx, Dy Mt im E bt k nm trờn ng trũn, im M bt k nm trờn CD (M khụng trựng vi C, D, O) Qua E k ng thng vuụng gúc vi ME ct Cx, Dy theo th t ti A v B Chng minh rng gúcAMB = 900 63 -)Ti ta li t M khỏc C, D, O - Vỡ nu M O thỡ tr li bi toỏn trờn - Cũn nu M C thỡ ng thng ME ct Cx ti A, ct Dy ti B D Khi ú ta cú gúc AMB = 900 Nu M D thỡ tng t trờn A x y E O M C D B Ta tr li bi toỏn: Nh vy tng t bi toỏn trờn ta cng cú: gúcMAB = gúcECM (do t giỏc ACME ni tip) gúcEBM = gúcEDM (do t giỏc BDME ni tip) m gúcECM + gúc EDM = 900 (do gúcCED = 900) Nờn gúcAMB = 900 -) Ta tip tc khai thỏc v m rng bi toỏn, chng hn im M khụng nm on CD m nm trờn ng thng CD v gi nguyờn cỏc iu kin ca bi toỏn 2.1 thỡ sao? t ú ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 2.2: Cho ng trũn (O) ng kớnh CD T C, D k hai tip tuyn Cx, Dy Mt im E bt k nm trờn ng trũn, im M bt k nm trờn ng thng CD (M khụng trựng vi C, D, O) Qua E k ng thng vuụng gúc vi ME ct Cx, Dy theo th y t ti A v B Chng minh rng gúcAMB = 900 x A E C M O D B - Mun chng minh gúc AMB = 900 ta da vo cỏch chng minh bi toỏn trờn Ta chng minh gúcMAB + gúcMBA = 900 Mung chng minh gúcMAB + gúc MBA = 900 ta chng minh gúcMAB + gúcMBA = gúcCDE + gúcDCE = 900 chng minh iu ny ta cn chng minh gúcMAB = gúcECD, gúcMBA = gúcMDE Nh vy ta cn phi chng minh cỏc t giỏc AMCE, MEDB ni tip T ú ta cú li gii sau: Chng minh: Ta cú gúcACM = gúcAEM = 900, ú t giỏc AMCE ni tip 64 gúcMAB = gúc ECD (cựng bự gúcMCE) Tng t t giỏc MEDB ni tip gúcMAB = gúcMDE (cựng chn mt cung) M gúcECD + gúcEDC = 900 Do ú gúcMBA + gúcMAB = 900 Suy gúcAMB = 900 Nh vy nhỡn li bi toỏn trờn ta cú th a thnh bi toỏn tng quỏt hn nh sau: Bi toỏn 2.3: (Bi toỏn tng quỏt) Cho ng trũn (O) ng kớnh CD Mt im E thuc ng trũn (O) M l im bt kỡ thuc ng thng CD K ng thng vuụng gúc vi ME ti E ct cỏc tip tuyn Cx, Dy ca ng trũn ti A v B Chng minh gúc AMB = 900 Vn tip tc bi toỏn ta khai thỏc theo khớa cnh khỏc, ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 2.4: Cho ng trũn (O; AB ), qua A v B k hai tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im M thuc ng trũn, qua M k tip tuyn ct Ax, By theo th t C v D 1) Chng minh CD = AC + BD; 2) ng trũn ngoi tip tam giỏc COD luụn tip xỳc vi mt ng thng c nh M thay i trờn ng trũn 3) AD ct BC H chng minh MH // AC y x D M C H A B K O Phõn tớch bi toỏn: 1) Vi phn ny rt phự hp vi hc sinh trung bỡnh hc xong bi tớnh cht hai tip tuyn ct nhau, Ta thy CM = CA; DM = DB t ú suy CM + DM = CA + DB m M nm gia C v D nờn CD = CA + DB 2) Cng tng t bi toỏn trờn ta cú COD vuụng O Mt khỏc gi I l trung CD im ca CD thỡ O I ; (1) 65 Li cú t giỏc ABDC l hỡnh thang, OI l ng trung bỡnh nờn OI // CA, m CA AB ú IO AB (2) T (1) v (2) suy AB l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc COD M AB l ng thng c nh nờn ng trũn ngoi tip tam giỏc COD luụn tip xỳc vi ng thng AB c nh M thay i trờn ng trũn 3) Vi phn ny l mt bi toỏn rt hay vỡ nú ũi hi hc sinh phi dựng phng phỏp phõn tớch i lờn tỡm li gii ca bi toỏn Hn na tỡm li gii hc sinh cũn phi huy ng kin thc v nh lớ Talột o Giỏo viờn hng dn hc sinh tỡm li gii ca bi toỏn bng s phõn tớch i lờn, nh sau: MH //AC T ú yờu cu hc sinh lờn bng cn c vo s trỡnh by li gii ca bi toỏn: DM DH MC HA Ta cú AC, BD l hai tip tuyn ca (O) ng kớnh AB nờn AC AB, BD AB ú AC // BD Xột ACH cú AC // BD ỏp dng h qu nh lớ DB DH (vỡ DM=DB; AC HA MC=CA) Talột, ta cú ta cú AC // DB ( AB) DB DH m DB = DM; AC = MC nờn AC HA DM DH ỏp dng nh lớ Talột o tam MC HA giỏc DAC suy MH // AC Khai thỏc bi toỏn: -) Giỏo viờn t cho hc sinh suy ngh Gi giao im ca MH v AB l K, cú nhn xột gỡ v v trớ ca H i vi MK? T ú ta cú bi toỏn: Bi toỏn 5: Vi gi thit ca bi toỏn trờn Chng minh H l trung im ca MK -) Nu gi P l giao im ca BM v Ax Thỡ ta cng cú kt qu C l trung im ca AP -) Nu giỏo viờn cho thờm iu kin AC = R (AB = 2R) thỡ chỳng ta li cú bi toỏn liờn quan n tớnh toỏn T ú ta cú bi toỏn sau: AB Bi toỏn 2.6: Cho O; , t A, B k cỏc tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im C trờn tia Ax cho AC = R T C k tip tuyn CM ti ng trũn ct By D AD ct BC H 1) Tớnh s o gúcAOM; 2) Chng minh trc tõm ca tam giỏc ACM nm trờn (O); 3) Tớnh MH theo R 66 -) Bõy chỳng ta li xột bi toỏn khụng tnh nh trờn na, m cho im C thay i trờn tia Ax cho AC R thỡ ú trc tõm ca ACM cng thay i theo T ú ta cú bi toỏn sau: AB Bi toỏn 2.7: Cho O; , t A, B k cỏc tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im C trờn tia Ax cho AC R T C k tip tuyn CM ti ng trũn ct By D.Gi H l trc tõm ca tam giỏc ACM Tỡm qu tớch im H -) Li nhỡn bi toỏn di gúc bi toỏn cc tr hỡnh hc, ta cú bi toỏn sau: AB Bi toỏn 2.8: Cho O; t A, B k cỏc tip tuyn Ax, By ca ng trũn Mt im M trờn ng trũn, t M k tip tuyn ca (O) ct Ax, By th t C v D Tỡm v trớ ca im M : 1) CD cú di nh nht; 2) Din tớch tam giỏc COD nh nht Nh vy xut phỏt t bi toỏn SGK, bng nhng thao tỏc t lt ngc , tng t, khỏi quỏt hoỏ, tng t hoỏ, chỳng ta ó sỏng to c rt nhiu bi toỏn xut phỏt t bi toỏn gc quỏ trỡnh tỡm li gii, nghiờn cu sõu li gii: nh bi toỏn tớnh toỏn, bi toỏn qu tớch, bi toỏn cc tr, Vic lm nh th ngi thy c lp i, lp li v thng xuyờn quỏ trỡnh lờn lp s dn dn hỡnh thnh cho hc sinh cú phng phỏp, thúi quen o sõu suy ngh, khai thỏc bi toỏn nhiu gúc khỏc c bit l rốn cho hc sinh cú phng phỏp tỡm li gii bi toỏn bng phng phỏp phõn tớch i lờn-mt phng phỏp t rt c trng v cc kỡ hiu qu hc mụn hỡnh hc Thụng qua ú hc sinh c phỏt trin nng lc sỏng to toỏn hc, nht l nhng hc sinh khỏ gii Qua mi gi dy ngi thy cn giỳp hc sinh lm quen v sau ú to c hi cho hc sinh luyn tp, th hin mt cỏch thng xuyờn thụng qua h thng cõu hi gi m, h thng bi t d n khú Trờn õy l mt vi ý tng ca tụi ó a quỏ trỡnh lờn lp gi luyn hỡnh hc Theo tụi nú cú tỏc dng: - Giỳp cỏc em cng c kin thc ó hc; - Giỳp cỏc em bit dng kin thc ó hc vo bi tp; - Rốn k nng trỡnh by cho hc sinh; - Phỏt trin t toỏn hc thụng qua cỏc thao tỏc t khỏi quỏt hoỏ, c bit hoỏ, tng t hoỏ, t thun o, - Dn dn hỡnh thnh phng phỏp tỡm li gii bi toỏn hỡnh hc, t linh hot, phng phỏp hc toỏn, hc sỏng to toỏn hc 67 [...]... trường hợp thoả mãn bài toán Bài toán có 4 nghiệm Ta tìm được 4 hình chữ nhật thoả mãn đề bài: (a = 13, b = 1); (a = 26, b = 2); (a = 39, b = 3); (a = 52, b = 4) Chuyên đề 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh) I GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 14 * Các phương pháp 1 Luỹ thừa khử căn 2 Đặt ẩn phụ 3 Dùng bất đẳng thức 4 Xét khoảng II ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP A Phương... z x z y x y z z  1 3  z  3  z = 3 Tương tự ta có: x = 3; y = 3  tam giác đó là tam giác đều z b) Tìm tất cả các hình chữ nhật với độ dài các cạnh là các số nguyên dương có thể cắt thành 13 hình vuông bằng nhau sao cho mỗi cạnh của hình vuông là số nguyên dương không lớn hơn 4 (đ.v.đ.d) 13 Giải : Gọi các cạnh hình chữ nhật cần tìm là a và b, cạnh hình vuông là c Từ giả thiết hình chữ nhật cắt... 7 Mà y  Z  y = 0 ;  1 ;  2 Từ đây ta tìm được giá trị tương ứng của x 3 Một số bài toán liên quan tới hình học a) Cho tam giác có độ dài của 3 đường cao là những số nguyên dương và đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính bằng 1(đ.v.đ.d) Chứng minh tam giác đó là tam giác đều Giải: Gọi độ dài các cạnh và các đường cao tương ứng theo thứ tự là a; b; c và x; y; z R là bán kính đường tròn nội tiếp... Giải các PT (1) a) 2( x 2  2)  5 x 3  1( B) (b) x  17  x 2  x 17  x 2  9( B ) (2) 3  x  x 3  x (A) x 2  24  1  3 x  x 2  8 (D) (3) (4) 6  x  x  2  x 2  6 x  13(C ) (5) 4  3 10  3x  x  2 ( A) (6) 5 27 x 10  5 x 6  5 864  0 (C) III Giải hệ phương trình * Các phương pháp: 1 Phương pháp thế 2 Công thức trừ, nhân, chia các vế 3 Đặt ẩn phụ 4 Dùng bất đẳng thức IV áp dụng các phương... + 5y2 = 74 (1) Cách 1 : Ta có : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2) (2) Từ (2)  6(x2 - 4)  5 và (6 ; 5) = 1  x2 - 4  5 2  x = 5t + 4 với t  N Thay x2 - 4 = 5t vào (2) ta có : y2 = 10 – 6t Vì x2 > 0 và y2 > 0    4 5  t  với 5 3 5t + 4 > 0 10 - 6t > 0 tN  t = 0 hoặc t = 1 Với t = 0  y2 = 10 (loại) 2 Với t = 1  x =9  x = 3 y2 = 4 y = 2 Vậy các cặp nghiệm nguyên là : x2 + 1  5 Cách 2 : Từ (1)... tích một vế thành tích, một vế thành hằng số nguyên VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a) xy + 3x - 5y = -3 b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0 c) x2 + x = y2 - 19 Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18  (x – 5) (y + 3) = -18 Cách 2 : x  5y  3 18 5 y3 y3 b) Tương tự c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76 2 2  (2x + 1) - (2y) = -75 Phương pháp 3 : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt của chia hết) VD2 : Tìm nghiệm... 1  0  2  x  x  1  0 ĐK: áp dụng BĐT cô si cho các số không âm ta có x2  x 1 1   2   x 2  x  1  1 2 ( x  x  1).1   2 ( x 2  x  1).1  Ta có x 2  x  2  x  1 x2  x 1  x  x2 1  x 1 (Vì ( x  1) 2  0 ) x2  x 1  x  x2 1  x2  x  2  Đẳng thức xẩy ra  x  1 ; Vậy pt có nghiệm là x=1 D Xét khoảng (4) Giải các PT x 2  48  4 x  3  x 2  35 (1) a) Giải TXĐ:... 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 2009 – 2010) c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2) 12 Phương pháp 6 : Phương pháp đặt ẩn phụ VD: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2  2x  1 x 2  2x  2 7   x 2  2x  2 x 2  2x  3 6 (1) Đặt y = x2 + 2x + 2 (y  Z) (1)  y1   y 1 y 7 2    5y – 7y – 6 = 0 y y 1 6 3 5 (loại) ; y2 = 2 (thoả mãn)  x1 = 0; x2 = -2 Các bài tập tương tự: a) x3... y  z ) 2  ( z  x) 2  0 x yz Thế vào (2) ta có: 3 x 2003  3 2004 x 2003  3 2003 x3 Do đó x= y=z = 3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x;y;z) = (3;3;3) B Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia các vế (2) Giải các hệ phương trình 5 x 3  y  2 2 a)   x 6  y 2  2 Giải: 20 Hệ đã cho tương đương với: 5 x 6  y 2  4   x 6  y 2  2 6 6 x  6  5 x 3  y  2 2   x   y   1 6 1...  27(2 x 2  6 x  4)  x 3  51x 2  159 x  107  0  ( x  1)( x 2  52 x  107)  0 x  1    x  26  783  x  26  783  x  1  2  x  52 x  107  0 B Phương pháp đặt ẩn phụ (2) Giải các phương trình: a) 3 x  2  x 1  3 Giải: ĐK: x  1 Đặt 3 x 2  a; x 1  b ( b  0 ) a 3  b 2   3 Ta có hệ PT  a  b  3 Suy ra a 3  a 2  6a  6  0  (a  1)( a 2  6)  0  a  1  x 