cách tính Lim, giới hạn, đạo hàm, và một số bài giải tích ôn thi ĐH, file docx tiện lợi cho việc sửa chữa ví dụ: 1. Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi: Tính và tổng của 20 số hạng đầu tiên. Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): X=X+1:B=5A2X:C=C+B:X=X+1:A=5B2X:C=C+A Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 1= A? Bấm 1= các bạn xem thêm trong tài liệu...
Trang 1Huynh Nhọn
Các bài toán giải tích là một dạng toán
điển hình thường gặp trong các kì thi giải
toán trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp
Quốc gia Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị
ôn tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin
được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là
những đề thi của các Sở GD–ĐT trong
những năm gần đây Trong bài viết này, chúng
tôi đều tiến hành các thao tác trên máy
tính VINACAL 570ES PLUS II, CASIO fx −
570 VN PLUS , hai dòng máy có nhiều tính
năng nhất được Bộ GD&ĐT cho phép mang
vào phòng thi
I TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO
HÀM CỦA HÀM SỐ
• Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 ta
nhấn liên tiếp các phím lúc đó màn
hình hiển thị d ( ) x= Nhập hàm số và
dx
nhập giá trị x0 , sau đó ấn phím
• Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II
ta có thể tính giới hạn của hàm số tại điểm
x0bằng cách nhấn các phím
lúc đó màn hình hiển thị lim( )x→ Nhập hàm
số và nhập giá trị x0 , sau đó ấn phím
Thí dụ 1 Tính giới hạn
5x +1 − 6 2 x +1
.
A = lim
x
x→0
thực hiện theo quy trình bấm phím sau:
TRẦN ĐÌNH CƯ
(GV Trường THPT Gia Hội, Huế)
Ta được kết quả x ≈ −0,1333333333 Để đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn này sang phân số ta
được kết quả A = −15 2
Ta có thể chuyển việc tính giới hạn trên thành tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm nhờ nhận xét
A = lim f ( x ) − f (0) = f '(0)
x −0
x→0 với f (x) = 5 x + 1 − 6 2x +1
Để tính f '(0) ta thực hiện theo quy trình ấn phím sau:
Ta được kết quả A ≈ −0,1333333333.
Thí dụ 2 Cho hàm số
f ( x) = e3 x
.
x2 +2x + ln ( x +1)
Tính giá trị gần đúng của
S = f ' ( 1) + f ' + f ' + + f ' .
10
Lời giải Để tính S ta thực hiện theo quy
trình ấn phím sau:
{Biến đếm}
{Biến tổng}
40
Lúc đó màn hỉnh hiển thị X = X +1 : C Xét hàm số f
3 X
Trang 2d e
= C +
X + 2 X + ln (X + 1) 1
x= X
ấn tiếp
X = 10
Rồi ấn liên tiếp dấu đến khi thì trên màn hình xuất hiện
C = −57, 7875854 Để lấy kết quả với 4 chữ
số thập phân, ta tiếp tục ấn phím
Kết quả S ≈ −57, 7876 Từ đây về sau,
nếu không có gì đặc biệt thì các kết quả đều lấy 4 chữ số thập phân
II SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thí dụ 3 Giải phương trình 3x=7 sinx+x trên (0;+∞)
Lời giải Xét hàm số f (x) = 3 x − 7 sin x − x
Ta có f '(x) = 3 x ln 3 − 7 cos x −1;
f ''(x) = 3 x ln2 3 + 7 sin x
Nhận thấy f "(x) > 0 với ∀x ∈ ( 0; +∞) nên
f '(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc (0; +∞)
Do đó f (x) có nhiều nhất hai nghiệm thuộc
(0; +∞)
Dùng chức năng để giải phương trình: Chuyển máy về chế độ rad bằng cách ấn
Ghi vào màn 3X − 7 sin( X ) − X bằng cách ấn
các phím
Để tìm nghiệm ta ấn
được x1 ≈ 0,1474477308, tiếp tục
ấn ta được x2 ≈ 1, 943922627.
Kết quả x1 ≈ 0,1474; x2 ≈ 1, 9439
Thí dụ 4 Giải hệ phương trình
e x + x + ln y − e y + y = 0 (1)
2 y2+ 5 x − 1 = 7 x 3−1 (2)
Lời giải Điều kiện x > 1, y > 0
PT (1) ⇔ e x3+x + ln x = e y3+y + ln y (3)
41
Trang 3, nhập các hệ số để tìm a, b, c, d Ta tìm
được hàm số f (x) = 1
x4 ư7
x2 + 3 Khảo
sát hàm số này ta tìm được
A 0; ; B ư 7;
2
; C
2
.
4
Vậy S ABC = 1
2 BC.d ( A, BC ) ≈ 32, 4105
II ta có thể giải được hệ 4 phương trình 4
ẩn số và lưu trực tiếp được các nghiệm này
trường EQN
Thí dụ 6 Tìm các tiệm cận của hàm số
y = e1ư| x| + 2x
2
+ 3x + 8
Lời giải ( VINACAL 570ES PLUS II).
Do lim y = 0 nên tiệm cận đứng x = ư 2.
x→ư 2
Để tìm tiệm cận ngang, ta cần tính
2 x 2 + 3 x + 8
x→±∞
Dùng chức năng tính giới hạn của hàm số
, màn hình hiển thị lim ( )x→
Nhập hàm số e1ư| X | +
2X 2 + 3X + 8
và
cho x các giá trị rất lớn như 999 999;
999 999 999; 999 999 999 999 ta cùng được
giá trị y = 2 hay y ≈ 1,4142; cho x các
giá trị rất bé như ư999 999; ư999 999 999;
ư999 999 999 999 ta cùng được giá trị
y = ư 2 hay y ≈ ư1, 41421 Vậy có hai tiệm
cận đứng là y = ± 2 ≈ ±1, 4142
Thí dụ 7 Cho hàm số
y = 2 x2 ư 5 x + 3 .
3 x2 ư x +1
Xác định toạ độ điểm uốn của đồ thị hàm số
đã cho.
Lời giải TXĐ D=
Ta có y ' =13 x
2 ư 14 x ư 2
; ( 3x 2 ưx +1)2
y '' =ư6 (13x3 ư 21x2 ư 6 x + 3) .
(3x2 ư x +1 3
) Vào chương trình để giải phương trình bậc ba 13 x 3 ư 21x 2 ư 6 x + 3 = 0
y '' = 0 ⇔ x1 ≈ 1, 8005 lưu vµo « nhí A
x ≈ 0, 2772 lưu vµo « nhí B
2
≈ ư0, 4624
3
Sử dụng chức năng tính giá trị hàm số
y = f (x) tại các giá trị A, B , C (xem Đặc san
Số 5) ta được y1 ≈ 0, 0539; y2 ≈ 1, 8542; y3 ≈
2, 7282
IV GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Thí dụ 8 (Đề thi HSG MTCT Quảng Trị 2012)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = x ư 2x ư 17x + x ư 2011 2012
trên đoạn ư 3; 2
Lời giải Đặt D=ư 3; 2 , và
f ( x ) = x 4 ư
3
x 3 ư 3 17 x 2 + x ư
Ta có f '(x ) = 4x 3 ư 3 3
x 2 ư 2 3 17x +1
2 f '(x) = 0 tìm được
Sử dụng để giải PT
x1 ≈ 1,4275 (loại); x2 ≈ 0,1824; x3 ≈ ư0,9603.
Sử dụng chức năngtính được
f (ư 3 )≈ 3, 0579; f (2 )≈ ư3,1741;
f (x2 ) ≈ ư0, 9035 ; f (x3 ) ≈ ư2, 7104 Suy ra ư3,1741 ≤ f ( x ) ≤ 3, 0579, ∀x ∈ D
Do đó 0 ≤ f ( x) ≤ 3,1741.
Vậy max f (x ) ≈ 3,1741; min f (x) = 0.
42
Trang 4V TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thí dụ 9 (Đề thi HSG MTCT Quốc gia 2013)
Cho hàm số f (x)=e 3x2+x sin4x+ log 3(sinx+2).
a)Tính giá trị hàm số tại x = 12 π ;
b) Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 12 π
Tìm a, b
Lời giải a) Đưa máy về chế độ rad bằng
cách ấn Ghi vào màn hình
e3X 2 + X sin 4X + log3 (sin X + 2) rồi ấn các
quả là 2, 516059996 Đưa giá trị này vào ô
nhớ A bằng cách ấn
π
Vậy f ≈ 2, 5161.
12
b) Ta có a = f ' (12π); b = f (12π) − a 12π
Để tính a ta ấn liên tiếp các phím
π
được kết quả a = f ' ≈ 9, 0080.
12
Đưa giá trị này vào ô nhớ B bằng cách ấn
Ghi vào màn hình A − 12 π B và ấn phím
ta được 0,1578 Vậy b ≈ 0,1578.
Thí dụ 10 (Đề thi HSG MTCT Tuyên Quang 2011)
Cho hàm số f(x)=xsinx+x +x (x>0) (1).
Tính (theo radian) góc tạo bởi tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
x0 = 3 với đường thẳng x=2012
Lời giải Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến tại điểm
x0 = 3 với chiều dương của trục Ox Khi đó
tan α = f '( x0 ) > 0 Đưa máy về chế độ rad,
sử dụng chức năng tính đạo hàm
f ' ( 3 ) ≈ 27, 5218045 Góc cần tìm bằng
π − tan −1( f '( 3)) Kết quả α ≈ 0, 0363 (rad).
2
BÀI TẬP
1 Tính các giới hạn sau
a) lim sin x( sin x −1) ;
π
π
b) lim 3 x + 1 − 5 2x +1 .
x→0 3
3x+8−2 x+1
2 Cho hàm số f ( x) =
2 + 2x +3 log ( x +1)
Hãy tính giá trị gần đúng của
1f (1)
P = f (1) + + f '(3).
2
3 Giải phương trình6x=4log 6x + 1 + 2x +1.
6 ( )
4 Giải hệphương trình
2013
x 3 + 2014 x = 2013 x3 + 2014x
x 2 y − 3 x + 1 = 8 − 3 xy.
5 Cho hàm sốy=x4−4x2+1 Tính chu vi tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số
6 Cho hàm sốy = x2 − 3x − 1 Gọi A, B , C
x
2
là ba điểm cực trị hàm số Tính gần đúng các giá trị toạ độ tâm và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
7 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của các hàm số
a) y = x
2
+ x − 2 ; b)
y = x + 3 + 2 x − x2 5x2 + x +1
8 Cho hàm sốbậc ba y = x3 + bx2 + cx + d Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 6) và tiếp
1 41
tuyến tại điểm B ; thuộc đồ thị hàm số
có hệ số góc bằng 15
4
Trang 543