Đề cương bài giảng Môn Đại số đại cương

nửa nhóm Mục đích yêu cầu: Sinh viên nắm đợc khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm..  Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A là một nửa nhóm.. X là

Chơng 1

nửa nhóm và nhóm

1 nửa nhóm

Mục đích yêu cầu:

Sinh viên nắm đợc khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm Biết nhận biết các khái niệm trên trong các trờng hợp cụ thể

Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập

1.1.Phép toán hai ngôi:

Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thờng Ta thấy:  a, b  N

luôn có: a+b = c  N Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ đợc không? Hãy lập ánh xạ đó ( +: NxN  N

(a,b)  c )

2.Cũng hỏi nh trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân

trong N ?

T: NxN  N (a,b)  c= ab )các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi

 Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A

là một nửa nhóm Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.

Trong một nửa nhóm X:

Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó.Tổng quát : x1x2 … xn-1xn = (x1x2 … xn-1)xn gọi là tích của n phần tử lấy theo thứ tự đó

 Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi

là bội của n Ký hiệu là: na Hãy viết quy tắc trên dới dạng tổng:

( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a )

Định lý 3: tr41

 Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42

 Bài tập: 1  5 tr 42-43

Bài tập chơng 1

Trang 42:

Bài 1: X là nửa nhóm a  X ; b  Xsao cho: ab = ba

a) CMR: (ab)n = anbn  n > 1 ; n  Nb) Nếu (ab)2 = a2b2 thì có suy ra đợc ab = ba không ?

Có (ab)n = (ab)n-1(ab) = an-1bn-1(ab) = an-1(bn-1b)a =an-1bna (1)

Nh vậy nếu có bna = abn thì từ (1) suy đợc ra điều phải CM Ta đi CM điều đó:

b) X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a)

c) Nếu với mỗi cặp ( a, b ) cho tơng ứng với lớp ab Thì X cũng là một vị nhóm giao hoán

Bài giải:

a).Ta CM tơng ứng ( a, b )  a  b Không phụ thuộc vào các đại diện a, b của các lớp tơng đơng a, b

Nếu a = a' thì: a - a’ chia hết cho n

Nếu b= b' thì: b-b’ chia hết cho n

Suy ra: (a+b)-(a’+b’) cũng chia hết cho n hay a  b = a ' b' Vậy ta có ĐPCM

b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X2  X

(xTy)Tz = xTz = xVậy: xT(yTz) = (xTy)Tz Nên X là nửa nhóm.

b) CMR X là một vị nhóm giao hoán với phép toán ở câu a)

c) Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tơng ứng với lớp tơng đơng ac/bd CMR lúc đó Xcũng là một vị nhóm giao hoán

Bài giải::

2 Nhóm

(Số tiết: 18 = 9 + 9)Mục đích yêu cầu:

Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm biết chứng minh các tính chất về nhóm

Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm

 X là nhóm hu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn Số phần tử của X còn gọi là cấp của nhóm X

 Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben )

Ví dụ: SGK tr 44

2.1.2 Các tính chất:

1.Trong một nhóm X mỗi phần tử có duy nhất một phần tử đối.

CM:  x  X giả sử có hai phần tử đối xứng là a và b

Ta có: xa = ax = e , xb = bx = e nên: bxa = be hay ea = b hay a = b

đảo Viết x-1

Viết - x

 Vậy (x-1)-1 = x ; (- (-x) = x

 Nếu X là aben thì : (.): xy-1 = y-1x nên còn viết x/y gọi là thơng của x trên y

(+): x-y = -y + x viết x - y gọi là hiệu của x và y

2 (Luật giản ớc)

Trong một nhóm X :  x , y , z  X Nếu xy = xz ( yx = zx ) thì: y = z

CM: nếu :xy = xz

Ta có: x-1(xy) = x-1(xz) hay (x-1x)y = (x-1x)z hay ey = ez hay y = z

3 trong một nhóm X phơng trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất

x= a-1b ( y = ba-1)CM:

Ta có: ax = a(a-1b) = (aa-1) b = eb =b hay x = a-1b là nghiệm Nghiệm này là duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật giản ớc ta đợc: x = c

 Sinh viên tự phát biểu và cm cho trờng hợp ứng với phần tử đơn vị phải.

6 Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi:

các phơng trình ax =b và ya = b có nghiệm trong XCM:

 : đã cm trong t/c 3

ya = a có nghiệm Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X.Thật vậy:  b  X phơng trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c

Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b hay e là đơn vị trái

 b  X xét phơng trình yb = e theo (gt) phơng trình này có nghiệm trong X nên 

A nhóm con X hiển nhiên có:

1  x, y  A, xy  A

2 Giả sử b là phần tử trung lập của A thì  x  A bx = x;

mặt khác do x  X nên ex = x ( với e là trung lập của X) Do đó: bx = ex áp dung luật giản ớc trong nhóm ta có: b = e

3  x  A giả sử có x’  A mà x’x = e ta cũng có x-1x = e nên x’x = x-1x hay: x’= x-1

Ngợc lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một nhóm ( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X

1  x, y  A, xy  A

* Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một

nhóm con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các nhóm con của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U Đó là nhóm con bé nhất của X chứa U

định nghĩa 3:

U  X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U Khi ấy A gọi

là nhóm con sinh ra bởi U

-A là nhóm con bé nhất của X chứa U Vì:  nhóm con B của X chứa U = {a}

đều chứa các luỹ thừa của a A còn gọi là nhóm con sinh ra bởi a

 Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a  X Nếu không có một số

hạn, vì ak  al  k  l

e thì nhóm con sinh ra bởi a có nm phần tử: a0, a1, a2,… am-1

 Định nghĩa5:

X là một nhóm;  a  X; A là nhóm con sinh ra bởi a

a gọi là có cấp vô han nếu A vô hạn Khi ấy: ∄ n: an = e

a gọi là có cấp m nếu A có cấp m

- đối xứng:  x, y  A, x ~ y tức x-1y  A ta có: (x-1y)-1 A hay y-1x  A  y~x-Bắc cầu:  x~y, y~z , tức x-1y  A, y-1z  A  (x-1y)(y-1z) = x-1z  A  x~z

 Ký hiệu: - với mỗi x  X, ta ký hiệu: x = yX :x~ y 

Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m

A =  x1, x2,… ,xm  khi ấy  x  X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng:

xx1, xx2,… , xxm các phần tử này là phân biệt vì nếu xx1 = xx2 thì  x1 = x2 Do X

là hữu hạn nên có số các lớp trái xA là hữu hạn gọi số các lớp trái là l và do các lớptrái là rời nhau nên n = ml

 Số l các lớp trái xA gọi là chỉ số của nhóm con A trong X

 Hệ quả 1:

Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn X là ớc của cấp của X

 Hệ quả 2:

Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và đợc sinh ra bởi

một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm (sinh viên tự CM)

( Số nguyên tố p chỉ có ớc là 1 và chính nó Nên một nhóm hh có cấp nguyên

tố p thì mọi phần tử tuỳ ý của nó chỉ có thể có cấp là 1 hoặc p loại trừ e thì các phần tử tuỳ ý còn lại đều có cấp p và do đó chính nhóm đã cho đợc sinh bởi phần tử đó.Hay đó là một nhóm xyclic)

Ví dụ : SGK tr 54- (Sinh viên tự đọc 05 phút)

Định nghiã 7:

X là một nhóm, A là nhóm con của X

Định lý 4:

X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X, thì:

(xA, yA) ↦ xyAii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) ↦ xyA là một nhóm, gọi là nhóm th-

+ Xét lớp trái eA = A trong đó e là phần tử trung lập của nhóm X Ta có:

eA.xA = exA = xA,  xA  X/A vậy eA = A là phần tử đơn vị trái của X/A

+ Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X

+ Một đồng cấu là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu

+ Một đồng cấu là toàn ánh thì gọi là một toàn cấu

+ Một đồng cấu là song ánh thì gọi là một đẳng cấu Ký hiệu: f: X :  Y

+ Một tự đồng cấu là song ánh thì gọi là một tự đẳng cấu

Ví dụ: Xét xem các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, tự đồng cấu, tự đẳng cấu:

1).A là nhóm con của nhóm X Đơn ánh chính tắc: f: A  X

f: X  Y

x  e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thờng)

không ? (f-1 là song ánh Mặt khác:  y, y1  Y , đặt x = f-1(y) ; x1 = f-1(y1) Ta có: f(x) = y; f(x1) = y1 vì f là một đồng cấu nên: f(xx1) = f(x).f(x1) = y.y1 ;

do đó: f-1(y.y1) = xx1 = f-1(y)f-1(y1) Vậy f-1 là một đẳng cấu

Định nghĩa 9:

f: X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, ex,, ey tơng ứng là các phần tử trung lập của nhóm X, nhóm Y Ta ký hiệu:

Imf = f(X)Kerf =  x  X { f(x) = ey  = f-1( ey) Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f

 Các tính chất của đồng cấu:

Định lý 5:

X,Y, Z là các nhóm f: X  Y; g: Y  Z là các đồng cấu Thế thì ánh xạ tíchgf: X  Z là một đồng cấu

CM:  a, b  X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b)

Định lý 6:

f: X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì:

f: X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là nhóm con của X, B

là một nhóm con chuẩn tắc của Y Thế thì:

i) f(A) là một nhóm con của Y

ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

CM:

i).f(A)   , vì ex  A, f(ex) = ey  f(A)

 y, y1  f(A)   x, x1  A sao cho: y = f(x), y1 = f(x1);

xét yy1-1 = f(x).[f(x1)]-1 = f(x).f(x1-1) = f(xx1-1)  f(A) ( vì A là nhóm con nên

ii) f-1(B)   , vì f(ex) = ey  B nên ex  f-1(B)

 x, x1  f-1(B) , ta có: f(xx1-1) = f(x).f(x1-1) = f(x)[.f(x1)]-1 Do B là nhóm con nên từ f(x), f(x1)  B  f(x).f(x1-1)  B vậy: f(xx1-1)  B  xx1-1  f-1(B)

i) theo định nghĩa toàn ánh

ii) giả sử f là đơn ánh khi ấy  y  Y , ! x  X sao cho: f(x) = y vậy với ey ,

 ! ex X sao cho: f(ex) = ey, hay kerf =  ex 

Ngợc lại: giả sử Kerf =  ex  ,  x, y  X, f(x) = f(y) ta có : f(x).f(y)-1 = ey

Nên: f(x)f(y)-1 = f(x).f(y-1) = f(xy-1) = ey suy ra: xy-1  Kerf =  ex , hay: xy-1 = ex 

( sinh viên đọc trớc lời CM - sẽ CM trên lớp vào tiết tiếp theo)

CM đ/l 9:

i) Đặt Kerf = A cho tơng ứng mõi phần tử xA của nhóm X/A với một phần

Nhng A = Kerf nên f(x-1y) = f(x-1)f(y) = ey = f(x-1)f(x)  f(y) = f(x)

xA ↦ f (xA) = f(x) f là một đồng cấu Thật vậy:

(Do f là đồng cấu nên f(xy) = f(x)f(y))

Từ f (xA) = f(x)  x  X ta cố: f(x) = f (xA) = f (p(x)) = f p(x),  x  X

Vậy: f = f p

ii) Giả sử  xA  X/A sao cho f (xA) = ey Ta có f (xA) = f(x) = ey  x 

A = Kerf  nên x-1  A (vì A = Kerf là nhóm con cuả X)  x-1ex  A  xA = exA

Vậy Ker f = {exA}. f là một đơn cấu ( đ/l 8)

= f p(X) = f(X)

Hệ quả:

Bài tập về nhà : 41,42,43,44,47 tr 75:76

Chữa Bài tập Bài 5 tr70: X là nhóm, với e là đơn vị.CMR:  a  X, a2 = e thì X là aben.

Bài giải:

X là nhóm , ta biết rằng phơng trình ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X

 a, b  X, nên: X  aX, X  Xa; hiển nhiên aX  X, Xa  X Vậy aX = X = Xa.Ngợc lại : theo giả thiết X  , aX = X = Xa,  a  X, nên các phơng trình:

ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X,  a,b  X Do đó X là một nhóm

 xk = xl ( do có luật giản ớc) mâu thuẫn với X gồm n phần tử, hiển nhiên X  xiX

do vậy xiX = X Tơng tự ta có: Xxi = X Khi ấy các phơng trình ax = b, ya = b luôn

Nếu A  {0}   0 a  A gọi m là số nguyên  0  A sao cho : /m/ < /a/

 a  A, a  0 ( m là số có trị tuyệt đối nhỏ nhất trong A)

*  mZ  A ( vì m  A, nên A chứa mọi bội của m)

* A  mZ: thật vậy:  a  A ta có: a = mq + r (1) với 0  / r / </ m/

Từ (1)  r = a – mq  A ( do a  A, mq  A)  r = 0 (vì /m/ là nhỏ nhất trong A)

Hay a = mq  mZ Tóm lai A = mZ

Bài tập về nhà: 13-14-15-18-19-20-21-22-25-28-35 Tr (71:73)

 : aA = A (vì:phơng trình ax = b luôn có nghiệm trong A,  a,b nên  b  A  b

= ax  aA  A  aA; do a  A nên hiển nhiên aA  A), mà A là nhóm con của

Nếu n  0, vì A  

X nên a-1 = x-n  A , khi ấy hoặc n,hoặc -n là một số dơng.do

đó  các luỹ thừa nguyên dơng của X trong A

Khi đó A = < xm> thật vậy:

+ xm  A nên <xm>  A ( do A là nhóm)

+  xk  A , chia k cho m: k = mq + r, với 0  r < m ,

do đó xk = xmq + r = xmq xr  xr = (xm)-q xk  A vậy r = 0 hay: xk = (xm)q  <xm> hay: A  <xm>

Bài 19:

Bài giải:

 : ta có n là số nguyên dơng bé nhất để an = e , nếu có k : ak = e chia k cho n

Giả sử ab có cấp hữu hạn là n  (ab)n = e  (ab) (ab)(ab)… (ab) = a(ba)n-1b

= e hay: (ba)n-1 = a-1b-1 = (ba)-1  (ba)n = e  ba có cấp hữu hạn giả sử là m 

Bài 22:

X là một nhóm,  a, b  X: a có cấp r, b có cấp s và ab = ba , (r, s) = 1

CMR: ab có cấp rs

Bài giải:

Ta có ar = e, bs = e, với e là trung lập của X Từ ab = ba nên  n  (ab)n =

anbn (bài tập 1 phần nửa nhóm)  (ab)rs = arsbrs=e.e = e

Giả sử ab có cấp t: (ab)t =atbt = e  at = b-t  atr=b-tr=e  tr  s

ats=b-ts= e  ts  r do ( r, s ) = 1nên: t  s và t  r  t  rs

Nếu x  A  x  xA , x = ex  x  Ax hay xA  Ax Mặt   x  Ax có: x = ex

 a= x-1a’x  A Hay A là chuẩn tắc

Bài 28:

X là một nhóm, gọi tâm của X là bộ phận C(X) = {a  X: ax = xa , x  X}CMR: C(X) là nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X

 x  X XÐt: (ab-1)x = a(b-1x) =a(xb-1) =(ax)b-1 = (xa)b-1 = x(ab-1).VËy C(X) lµ nhãm con cña X  a,b  C(X) cã ab = ba nªn C(X) lµ giao ho¸n.

 A lµ nhãm con cña C(X)  A lµ nhãm con cña X ,

cña X

 :  a,b  X ta có:  (ab) = (ab)-1 = (a) (b) = a-1b-1 hay: (ab)-1 = (ba)-1 

 (ab) =  (ba), vì  là đơn ánh nên có ab = ba vậy X là giao hoán

 :  là đồng cấu thật vậy:  a, b  X , (ab) = (ab)-1 = b-1a-1 = a-1b-1 = (a)(b)

a2=(2, 0, 0 )

a3=(3, 0, 0 ) an = ( n, 0, 0 ) ( sinh viên tự CM bằng quy nạp)

 x = (k1, k2, k3 )  X,  ak  A

ta có x-1ak x = ((-1)-k

3+ 1.k1 , -k2, - k3 )(k, 0, 0 ) (k1, k2, k3 ) = (k, 0, 0 )  A Vậy A là chuẩn tắc

của X và hạt nhân của đẳng cấu đó là tâm C(X) của X

e) CMR X/C(X) đẳng cấu với nhóm các tự đẳng cấu trong của X

Bài giải:

a) fa làđồng cấu vì:  x, y  X: fa(xy) = a-1xy a = a-1xa a-1ya =

fa(x)fa(y)

 x  Kerfa  fa(x) = a-1xa = e  x = e  Kerfa = {e} nên fa là đơn ánh

 y  X,  x = aya-1  X sao cho: fa(x) = fa( aya-1) = a-1aya-1a = y hay

fa(X)= X nên X là toàn ánh Vậy fa là đẳng cấu

b) Gọi T là tập hợp các tự đẳng cấu trong của X Ta CM T là nhóm con của nhóm G ( G là nhóm các tự đẳng cấu của X- Bài 43)

ex  T vì : fe(x) =e-1xe = x ( ánh xạ đồng nhất ex là phần tử trung lập của nhóm G )

 fa, fb  T ,  x  X, fafb(x) = fa(fb(x)) =fa(b-1xb) = a-1(b-1xb)a =(ba)-1x(ba) = fab(x) Vậy fafb  T

 fa  T,  fa-1  T:  x  X fa fa-1(x) = fa((a-1)-1xa-1) =a-1((a-1)-1xa-1)a = x = f

a-1fa(x)

c) H là chuẩn tắc của X thì :  fa  T ta có fa(H) = a-1Ha = HNgợc lại: fa(H) = a-1Ha = H,  a  X  H là chuẩn tắc theo đ/n

d) xét ánh xạ k: X  T

a  fa

k là đồng cấu vì:  a,b  X k(ab) = fab = fafb

 x  Kerk 

Hớng dẫn sinh viên tự nghiên cứu Chơng 3: Vành và trờng Mục đích yêu cầu

Sinh viên nắm vững các khái niệm Vành- Trờng, trên cơ sở đó hiểu rõ hơn các tập hợp số ở phổ thông thuộc loại cấu trúc đại số này Biết vận dụng để giải các bài tập

Chuẩn bị: giáo viên : soạn đề cơng hớng dẫn sinh viên tự nghiên cứu.

Tài liệu : Nh đã dẫn

1 Vành và miền nguyên 1.1 Vành

1.2 Ước của không Miền nguyên:

Sinh viên đọc tài liệu tr(80:81)

( Cho tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi trong X a  X gọi là chính quy nếu:

 b,c  X: ab = ac và ba = ca thì kéo theo b = c )

1.3 Vành con:

Trong phần nửa nhóm, nhóm ta đã định nghĩa khái niệm nửa nhóm con, nhóm con Em hãy thử xây dựng định nghĩa Vành con theo cách của mình ! Lấy ví dụ?

Câu hỏi 10:

Tơng tự nh khái niệm đồng cấu nhóm hãy xây dựng khái niệm đồng cấu vànhnêu các ví dụ( có chứng minh) và chứng minh các tính chất của đồng cấu vành

Bài tập: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 19, 20 Tr (87:90)

Chơng 3: Vành đa thức

(16 = 8+8 )

Mục đích yêu cầu:

vành đa thức Trên cơ sở đó nắm vững khái niệm, tính chất của vành đa thức, lấy đósoi sáng nội dung kiến thức về đa thức ở phổ thông

1 Vành đa thức một ẩn 1.1.Vành đa thức một ẩn:

Cho đa thức thông thờng:

Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị ký hiệu là 1

Gọi P =  ( a0, a1,… , an,… ) { ai A  i  N , ai = 0 hầu khắp, trừ một số hữu hạn 

Ta định nghĩa các phép toán trong P nh sau:

a↦ (a,0, ,0, ) Là một đơn cấu vành Ta có thể đồng nhất phần …

tử a trong A với phần tử ( a,0,… ,0, ) trong P CMR A là vành con của vành P

Bậc của đa thức là gì? Đa thức không là gì? bậc của nó có hay không?

Giả sử f(x) và g9x) là hai đa thức khác 0 Hãy cho biết bậc của các đa thức f(x) + g(x); f(x).g(x) ( có CM)

1.4 Nghiệm của một đa thức ;

Câu hỏi 9:

Nghiệm của một đa thức là gì? điều kiện để c là nghiệm của đa thức f(x)