Noi dung va PPDH Gioi han - Dao ham

mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích nội dung khó lớp học sinh líp 11 Tríc ®ã häc sinh ®· häc nhiỊu năm Đại số; nhng Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo hàm em đợc làm quen từ đầu T vấn đề thuộc Giải tích kỹ thuật giải toán Giải tích có phần khác với Đại số Học sinh chuyển từ làm việc đối tợng hữu hạn sang đối tợng vô hạn, đòi hỏi trí tởng tợng t trừu tợng phải phong phú mức độ cao Sự thay đổi chơng trình sách giáo khoa môn Toán thời gian qua đà tạo thiếu ổn định gây nên khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp Mặc dù đà có đợt bồi dỡng thờng xuyên theo chu kỳ, đợt tập huấn chơng trình mới, nhng thực cha đủ để làm cho giáo viên có nhìn sâu sắc chất vấn đề, hình dung rõ điểm, lí mức độ thay đổi chơng trình nội dung sách giáo khoa Bản lĩnh, trình độ t phê phán giáo viên nhiều lúc cha thể giúp họ tự vợt qua, tìm lời giải đáp thoả đáng chỗ phân vân, cấn Nhiều kiến thức đà thay đổi cách trình bày, nhng giảng dạy, giáo viên cha kịp cập nhật theo chơng trình mới, có tình trạng cũ, xen kẽ Đổi phơng pháp dạy học theo hớng hoạt động hoá ngời học cần đợc tiến hành triển khai trình dạy Giới hạn Đạo hàm lớp 11 nhằm nâng cao khả lĩnh hội kiến thức cách vững vàng, chủ động cho học sinh Giới hạn Đạo hàm hai số chủ đề Giải tích trờng phổ thông Mặc dầu có nhiều thay đổi nội dung chơng trình, đòi hỏi có đối chiếu so sánh; phân tích bình luận; đề xuất kiến nghị số vấn đề nội dung phơng pháp dạy chủ đề này, nhng đến cha có công trình nghiên cứu đầy đủ vấn đề Vì lý đây, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu số vấn đề nội dung, phơng pháp dạy học chủ đề Giới hạn Đạo hàm thể qua sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để tìm hiểu, làm sáng tỏ số thay đổi điều chỉnh cách trình bày kiến thức thuộc chủ đề Giới hạn phần mở đầu Đạo hàm SGK Đại số Giải tích 11 năm gần Từ đó, đa đánh giá nhận định thuận lợi khó khăn việc dạy kiến thức này, sở đó, đề xuất cải tiến nội dung phơng pháp dạy học cách phù hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu; phân tích; so sánh, đối chiếu nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu Đạo hàm sách giáo khoa Toán năm gần đây, nắm bắt quan điểm dụng ý tác giả, để: - Làm sáng tỏ mức độ xác, tính sáng ngôn ngữ diễn đạt; tính vừa sức, tính s phạm, tính hệ thống cách trình bày - Thể nhận định bình luận sở quan điểm tác giả luận văn; đề xuất kiến nghị chỗ cần chỉnh lí hoàn thiện - Đề xuất số vấn đề phơng pháp dạy học vận dụng trình dạy học chủ đề - Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi hiệu kiến nghị, đề xuất Giả thuyết khoa học Nếu tiến hành phân tích, so sánh, đối chiếu chủ đề Giới hạn mở đầu Đạo hàm sách giáo khoa Toán hành năm gần đây, làm sáng tỏ số điểm cần điều chỉnh, hoàn thiện mặt nội dung; đề xuất đợc luận điểm phù hợp phơng pháp dạy học nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học chủ đề trờng phổ thông Phơng pháp nghiên cứu Các phơng pháp nghiên cứu đợc sử dụng bao gồm: 5.1 Nghiên cứu lý luận; 5.2 Tìm hiểu, điều tra thực tiễn; 5.3 Thử nghiệm s phạm; Đóng góp luận văn 6.1.Về mặt lý luận: Xây dựng thực nghiệm phơng thức s phạm thích hợp dạy học giải tích chủ đề giới hạn phần mở đầu đạo hàm 6.2.Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học trờng THPT Cấu trúc luận văn: Luận văn phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, có chơng: - Chơng 1: Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Toán THPT - Chơng 2: Một số vấn đề phơng pháp dạy học nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11) - Chơng 3: Thử nghiệm s phạm Chơng Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn phần mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông 1.1 Chủ đề Giới hạn mở đầu chủ đề Đạo hàm sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 (ban Cơ bản) hành: 1.1.1 Chủ đề Giới hạn: Đây xem chủ đề quan trọng Giải tích Giải tích đợc xây dựng sở Lý thuyết Giới hạn Đây chơng khó Giải tích trờng THPT Các khái niệm Giới hạn trừu tợng (định nghĩa dÃy số có giới hạn 0, định nghĩa giới hạn hàm số, giới hạn vô cực dÃy số hàm số,) Cách tiếp cận khái niệm khác với cách tiếp cận toán học khác trớc Mục tiêu chơng: chơng cung cấp cho học sinh kiến thức lý thuyết giới hạn Về kiến thức: Làm cho học sinh nắm đợc: - Định nghĩa dÃy số có giới hạn 0; - Định nghĩa dÃy số có giới hạn hữu hạn; - Định nghĩa dÃy số có giới hạn vô cực; - Định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực hàm số; - Các định lý quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực giới hạn bên dÃy số hàm số; - Định nghĩa hàm số liên tục điểm, khoảng đoạn; - Một số tính chất hàm số liên tục; Về kỹ năng: - Giúp học sinh biết vận dụng linh hoạt định lý quy tắc tìm giới hạn dÃy số hàm số để từ số giới hạn đà biết tìm đợc giới hạn dÃy số hàm số khác - Biết tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn - Biết chứng minh hàm số liên tục điểm, khoảng đoạn Biết áp dụng định lý giá trị trung gian hàm số liên tục để chứng minh tồn nghiệm số phơng trình đơn giản Cấu tạo chơng: Chơng gồm hai phần, dự kiến đợc thực 20 tiết, phân phối cụ thĨ nh sau: A Giíi h¹n cđa d·y sè (6 tiết) Đ1 DÃy số có giới hạn (1 tiết) Đ2 DÃy số có giới hạn hữu hạn (2 tiết) Đ3 DÃy số có giới hạn vô cực (1 tiết) Luyện tập (2 tiết) B Giới hạn hàm số Hàm số liên tục (11 tiết) Đ1 Định nghĩa số định lý giới hạn hàm số (3 tiết) Đ2 Giới hạn bên (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực (1 tiết) Đ4 Các dạng vô định (1 tiết) Luyện tập Đ5 Hàm số liên tục (1 tiết) (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn tập kiểm tra chơng (3 tiết) Cách xếp học cách trình bày chơng Đại số Giải tích 11 có nhiều điểm khác với SGK sách Chỉnh lý hợp trớc - Sách Chỉnh lí hợp đà định nghĩa dÃy số có giới hạn (hữu hạn) mà không định nghÜa d·y sè cã giíi h¹n - Trong SGK tác giả đà dành tiết cho khái niệm dÃy số có giới hạn - Sách chỉnh lí đà đa số dơng nhỏ tuỳ ý số nguyên dơng N vào định nghĩa dÃy số có giới hạn hữu hạn Sau đà áp dụng định nghĩa để chứng minh kết quả: lim 2n - = , lim c = c vµ lim = n n - Trong SGK tác giả không đa kí hiệu , N cho điều làm rắc rối cho học sinh Về dÃy số dần đến vô cực, sách Chỉnh lí hợp năm 2000 đà giới thiệu dÃy số có giới hạn + -∞ Trong SGK míi chØ giíi thiƯu d·y sè có giới hạn + dÃy số có giới hạn - mà không đề cập đến dÃy số có giới hạn Vì có thay đổi này? Điều đợc làm rõ Đ3 Đây thay đổi lớn cách trình bày SGK - Sau định nghĩa dÃy số có giới hạn vô cực hàm số có giới hạn vô cực, SGK trớc nh sách chỉnh lý hợp đà lu ý học sinh không đợc áp dụng định lý giới hạn dÃy số hàm số để tìm giới hạn vô cực dÃy số hàm số Tuy nhiên học sinh đà không đợc dẫn cách tìm giới hạn vô cực Trong sách chỉnh lý, sau Định lý: Nếu lim u n= (un ≠ 0, ∀ n∈ N *) th× lim 1 = Ngợc lại, lim un= lim = , có đun un a mét vÝ dô: 1− + n − 2n + n n =∞ lim = lim (vì tử số dần tới mÉu sè dÇn tíi 0) 2n − n + − + n n n3 Dùa vào đâu mà học sinh có kết luận trên? với cách trình bày nh học sinh gặp khó khăn lúng túng giải tập tìm giới hạn vô cực Mục Đ3 Đ6 chơng VI SGK đà giới thiệu vài quy tắc tìm giới hạn vô cực dÃy số hàm số Đó sở lý thuyết mà học sinh vận dụng để tìm giới hạn vô cực dÃy số hàm số Đây điểm so với SGK sách chỉnh lý hợp trớc * Về định nghĩa Giới hạn hàm số: Sách Chỉnh lý hợp năm 2000 đà giới thiệu định nghĩa giới hạn hàm số điểm, định nghĩa hàm số có giới hạn vô cực định nghĩa giới hạn hàm số vô cực rải rác trang 117, 118, 121, 123 xen kẽ với định lý giới hạn hữu hạn Cách trình bày có phần tản mạn, thiếu tập trung Ta biết có hai định nghĩa giới hạn hàm số: định nghĩa Côsi định nghĩa Hainơ, hai định nghĩa tơng đơng Các định nghĩa SGK sách chỉnh lý hợp nh SGK đợc cho dới dạng Hainơ Trong chơng trình điều bắt buộc Nếu định nghĩa giới hạn hàm số cho dới dạng Côsi cách trình bày sách chỉnh lý hợp chấp nhận đợc Song dới dạng Hainơ, giới hạn hàm số điểm, vô cực giới hạn vô cực hàm số đợc định nghĩa thông qua giới hạn dÃy số Các định nghĩa đợc xây dựng hoàn toàn tơng tự Vì SGK nêu vài định nghĩa trờng hợp lại đợc giao cho học sinh tự xây dựng phát biểu Cách trình bày tiết kiệm đợc thời gian tránh đợc nhàm chán phải nhắc nhắc lại định nghĩa đợc xây dựng theo cách tiết học khác mà hợp lí định lí giới hạn hàm số cho trờng hợp giới hạn điểm lẫn giới hạn vô cực hàm số(và cho trờng hợp giới hạn bên hàm số) * Về tính chất hàm số liên tục đoạn: Khi đề cập đến tính chất hàm số liên tục đoạn, hầu hết SGK Toán cấp THPT giới thiệu định lý Bônxanô - Côsi (Bolzano Cauchy), tức định lí giá trị trung gian hàm số liên tục Một số SGK giới thiệu thêm định lí quan trọng nữa, định lí Vâyơxtrát (Weierstrass): Nếu hàm số liên tục đoạn [a; b] thì: a Hàm số bị chặn [a; b] b Hàm số đạt đợc giá trị lớn nhỏ đoạn Sách Chỉnh lí hợp đà giới thiệu hai định lí, đà nêu gộp chúng Định lí (trang 135) Đây lần đầu học sinh làm quen với hai định lí quan trọng Nên phát biểu chúng riêng rÏ, nh vËy häc sinh dƠ tiÕp thu h¬n HƯ định lí trang 136 sách Chỉnh lí hợp thật hệ Định lí giá trị trung gian hàm số liên tục SGK đà không đề cập đến định lí Vâyơxtrát, lí đơn giản: hàm số liên tục hay gặp thờng có đạo hàm khoảng, trừ số hữu hạn điểm Lập bảng biến thiên hàm số khoảng hay đoạn đợc xét, tìm đợc giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số khoảng đoạn 1.1.2 Chủ đề Đạo hàm Đạo hàm khái niệm quan trọng Giải tích Nó công cụ sắc bén để nghiên cứu tính chất hàm số Nhờ khái niệm đạo hàm, ta nghiên cứu: tính đơn điệu hàm số, vấn đề cực trị hàm số, khoảng lồi, lõm điểm uốn đồ thị hàm số, điều giúp ích nhiều cho việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số Đạo hàm công cụ hữu hiệu để giải số toán quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học (Cơ học, Điện học, Hoá học, ) Mục tiêu chơng: Về kiến thức: - Nắm vững định nghĩa ý nghĩa đạo hàm; - Nhớ công thức quy tắc tính đạo hàm; - Nắm đợc định nghĩa vi phân, công thức tính gần nhờ vi phân; - Hiểu đợc định nghĩa đạo hàm cấp cao ứng dụng học đạo hàm cấp hai Về kĩ năng: Học sinh cần đạt đợc yêu cầu sau - Tính đợc đạo hàm hàm số điểm theo định nghĩa số hàm số đơn giản; - Vận dụng tốt quy tắc tính đạo hàm tổng hiệu tích thơng hàm số cách tính đạo hàm hàm số hợp; - Biết cách tính đạo hàm cấp cao số hàm thờng gặp; - Biết ứng dụng đạo hàm vi phân để giải số toán tiếp tuyến, vận tốc, Cấu tạo chơng: Gồm bài, dự kiến thực 16 tiết, cụ thể: Đ1 Khái niệm đạo hàm (3 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ2 Các quy tắc tính đạo hàm (3 tiết) Luyện tập Đ3 Đạo hàm hàm số lợng giác Luyện tập (1 tiết) (2 tiết) (1 tiết) Đ4 Vi phân (1 tiết) Đ5 Đạo hàm cấp cao (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn tập kiểm tra chơng (2 tiết) * Những điểm cấu trúc thời lợng: Trong chơng trình, SGK Chỉnh lí hợp năm 2000, nội dung phần Giải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm đợc dành 46 tiết đợc phân bố vào chơng đầu lớp 12: Chơng I: Đạo hàm (20 tiết) Chơng II: ứng dụng đạo hàm (26 tiết) Trong chơng trình đổi này, nội dung SGK nâng cao đợc chia thành mảng nội dung đợc phân bố vào năm học: Đạo hàm (cuối lớp 11, tiếp nối với chơng giới hạn trớc đó), ứng dụng đạo hàm đầu lớp 12 công thức tìm đạo hàm hàm số mũ, hàm số Lôgarít hàm số luỹ thừa (xen kẽ vào nội dung chơng lớp 12) Đạo hàm trình bày chơng V- Chơng cuối năm học lớp 11 Điều có u điểm sau: - Tiếp nối đợc chơng Giới hạn (chơng IV) đà học trớc nên vận dụng đợc dễ dàng định lí, tính chất vừa học chơng Giới hạn - Không gây căng thẳng cho học sinh phải học liên tục học dồn dập nhiều vào vấn đề - Đáp ứng kịp thời kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập tốt môn học khác nh: Vật lí, Hoá học, Sinh học, Thời gian dành cho chơng Đạo hàm có 16 tiết, giảm tiết so với SGK chỉnh lí hợp năm 2000 Nhng bù lại, chơng cha đề cập đến công thức tính đạo hàm hàm số mũ, hàm số Lôgarít hàm số Luỹ thừa (đà đợc chuyển lên lớp 12) Để tăng tính khả thi sách, tác giả đà cải tiến cách trình bày, rút gọn cách xây dựng số khái niệm, tăng thời gian luyện tập, giảm thời lợng giảng lí thuyết nhng đảm bảo bám sát chơng trình chuẩn kiến thức đà đợc quy định 10 Về mục câu hỏi tập sau bài, SGK đà cố gắng cải tiến theo hớng: Bớt tập phải tính toán cồng kềnh, tập áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian, tập tính Đạo hàm hàm số cho nhiều biểu thức Giải tích - Đa dạng hoá tập: cụ thể có nhiều câu hỏi tập có hình ảnh hình học, nhiều tập ôn tập đợc kiến thức mà học sinh đà học lớp 10 đầu lớp 11 nhiều tập áp dụng thực tế * Những điểm nội dung: Để thực định hớng đổi nội dung PPDH môn Toán theo tinh thần phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh SGK Đại số Giải tích lớp 11 nâng cao đà có thay đổi sau: - Đổi phơng pháp trình bày số khái niệm nh: thay đổi định nghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp, - Giảm số kiến thức khó nh: Đạo hàm phía, đạo hàm đoạn, quan hệ đạo hàm liên tục, Bớt chứng minh số định lí - Tăng cờng luyện tập lớp, thêm số tập nhà (nhng tập thờng dễ) bỏ hẳn toán phức tạp toán khó Chẳng hạn: Bớt toàn tính theo định nghĩa Đạo hàm hàm số cho hai hay nhiều biểu thức, đạo hàm hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian - Thêm số toán ứng dụng thực tế, toán có hình ảnh hình học, toán tổng hợp (mà không khó) ôn tập đợc nhiều kiến thức đà học lớp 10 lớp 11 Ví dụ: Đ3 Đạo hàm hàm số lợng giác Trớc phát biểu Định lí 1, nên yêu cầu học sinh xem (mà không tính toán) bảng giá trị nhỏ sin x x ë SGK ®Ĩ ®i ®Õn nhËn xÐt: với x (dơng) sin x gần với Trong khuôn khổ chơng trình, Định lí x không đợc chứng minh Tuy nhiên, học sinh giỏi, học sinh chuyên toán, giáo viên hớng dẫn cho học sinh chứng minh định lí này, nhng trớc đó, học sinh phải đợc trang bị Định lí kẹp sau đây: ... → +∞ n + Kết đợc thể bảng nh sau: -? ?? lim ( u n ) n → +∞ L≠ +∞ +∞ +∞ lim ( v n ) n → +∞ -? ?? (? ?-? ??) +∞ (v« ®Þnh) -? ?? L≠ +∞ L' ≠ -? ?? - L' ≠ L - L' +∞ +∞ -? ?? - - (-) (vô định) * Qui tắc 3: Sử dơng víi... u n ) n → +∞ -? ?? L≠ +∞ 16 -? ?? -? ?? -? ?? -? ?? L' ≠ -? ?? L' ≠ +∞ (? ?-? ??) -? ?? (? ?-? ??) (v« ®Þnh) +∞ L≠ L + L' +∞ +∞ +∞ + (vô định) * Qui tắc 2: Sử dụng với phÐp to¸n: lim ( u n − v n ) = lim ( u n ) - lim ( v n... sau: lim ( u n ) n → +∞ -? ?? - + (0 ) (vô định) (0 ) (vô định) + 0 L L' lim ( v n ) n → +∞ L' ≠ L≠ L'