Tư duy logic tìm tòi lời giải hệ phương trình

 Hệ phương trình có chứa một phương trình hoặc cả hai phương trình có thể sử dụng hằng đẳng thức trực tiếp hoặc gián tiếp bằng phép nâng lũy thừa để có nhân tử chung.. Đặc điểm nhận dạn

TS MAI XUÂN VINH (Chủ biên) PHẠM KIM CHUNG – PHẠM CHÍ TUÂN ĐÀO VĂN CHUNG – DƯƠNG VĂN SƠN

K2P.NET.VN

Dành cho học sinh khối THPT

Dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia

Tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ 3

II PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ 36

III PHƯƠNG PHÁP TẠO NHÂN TỬ BẰNG KỶ THUẬT CỘNG, TRỪ, NHÂN CHÉO 193

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ HĨA 229

1 Ẩn phụ hĩa với hệ hữu tỷ 229

2 Ẩn phụ hĩa với hệ chứa căn thức 270

V HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 296

VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 357

CHƯƠNG II SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG KỸ NĂNG ĐẶC BIỆT HÓA A TÌM MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRÊN MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỆ 413

B HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CĨ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRÊN MỘT PHƯƠNG TRÌNH 457

CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP A MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 470

B PHỤ LỤC 520

 Hệ phương trình có chứa một phương trình hoặc cả hai phương trình có thể sử dụng hằng đẳng thức trực tiếp hoặc gián tiếp bằng phép nâng lũy thừa để có nhân tử chung

Đặc điểm nhận dạng thường gặp của hệ này là khi chúng ta biến đổi một hoặc

cả hai phương trình chúng ta sẽ gặp một hằng đẳng thức quen thuộc

Phân tích : Với hệ này, ta nhận thấy phương trình thứ nhất có hình thức nhẹ nhàng

nên ta sẽ bắt đầu từ phương trình này vì cấu trúc phương trình hai không cho nghỉ đến phép biến đổi nào bắt đầu từ đó để tìm mối liên quan giữa hai biến

Cụ thể ta có phương trình thứ nhất được biến đổi thành :

Lời giải : Điều kiện : 5y210x 1 0 

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :

 

Do đó ta có hàm số f x luôn đồng biến với   x 2

3

 nên f x  nếu có 0nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Mà f(1) = 0 nên (2) có nghiệm duy nhất x 1   y 2

Đối chiếu điều kiện ta có hệ có nghiệm    x, y  1;2

Bình luận: Bài toán trên là một bài toán cơ bản nếu thuần thục hằng đẳng thức về

cách nhìn và nhận biết thì sẽ không có khó khăn trong lúc giải

Bình luận : Ở cách giải ở phương trình thứ hai nếu ta cứ mặc nhiên khai triển thì

sẽ gặp phương trình bậc 6 với nghiệm đẹp ta hoàn toàn có thể giải được Tuy nhiên, nếu gặp nghiệm “không đẹp” thì chắc cũng khó khăn Cách giải trên dựa trên tính tinh tế của các đại lượng mà ta chú ý trong bài đó là 3 t,t 2 và 1bằng hệ số bất định ta cần tách :

Phân tích : Với hệ này, do cấu trúc quá phức tạp của phương trình thứ hai nên

chúng ta chuyển qua phương trình thứ nhất trong hệ có cấu trúc đơn giản hơn Phương trình thứ nhất trong hệ được biên đổi thành phương trình :

Lời giải : Điều kiện : y22x29x 7 0 

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :

    x, y  0;3 ; 3; 3   

Bình luận : Ở cách giải phương trình  2 các bạn có thể thực hiện phép quy đồng

và nhân phân phối ra hết thì cũng có kết quả như vậy

Phân tích : Với hệ này ta thấy phương trình thứ nhất có cấu trúc khá phức tạp,

phương trình thứ hai chứa căn thức khá nhiều nhưng lại là phương trình căn thức cơ bản nên trước tiên ta sẽ nâng lũy thừa ở phương trình thứ hai để làm giảm căn thức của phương trình thứ hai cộng với việc khử bớt đại lượng y có ở

vế sau và tạo được thêm đại lượng 3x có trong căn thức sau khi nâng lũy thừa

ở vế trái

Cụ thể ta có phương trình thứ hai được biến đổi thành phương trình :

x y 3 2 x y 3    xy 2x y 2   x y 3   2 x y 3    1 0 Phép biến đổi cuối cho ta được một hằng đẳng thức  2

xy 3x 1   0 Tới đây ta sẽ có mối quan hệ giữa hai biến x, y là xy 3x 1  Nếu để vậy thế vào phương trình thứ nhất trong hệ ta vẫn giải được nhưng khá phức tạp và khó khăn trong việc khai triển tính toán

Do đó ta chọn lựa phương án biến đổi tiếp phương trình thứ nhất trong hệ để được hình thức gọn gàng hơn

Ta có phương trình thứ nhất được viết lại là :

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là    x, y  1;4

Bình luận : Bài toán là sự phối hợp cả hai phương trình đều được về hằng đẳng

thức Nói cách khác thì kỉ thuật nhân tử chung bằng hằng đẳng thức là một bài toán mà ở đó chúng ta hay bắt gặp nhân tử chung có được ở dạng f2 x, y  0hoặc f2 x, y g x, y2  hoặc là 0 f2 x, y g x, y2  0

Phân tích: Không quá khó để nhận ra hệ này chúng ta không khai thác được gì từ

phương trình thứ hai Phương trình thứ nhất buộc lòng cần quan tâm Trước tiên

ta sẽ chuyển vế và dùng phép nâng lũy thừa để giảm bớt căn thức rồi sau đó sẽ tiến hành tiếp các phép biến đổi cần thiết và nhận định về phép biến đổi cuối cùng ta có được

Cụ thể ta có phương trình thứ nhất được biến đổi thành :

2 3 2x

Bình luận: Thông qua bài toán này, chúng tôi muốn lưu ý các bạn nếu trong hệ

chứa một phương trình gây quá nhiều khó khăn để tìm mối quan hệ mà trong hệ lại có một phương trình có hình thức nhẹ nhàng hơn và chứa dạng phương trình

cơ bản thì cứ thử tư duy logic việc nâng lũy thừa để làm giảm căn thức và tìm hiểu sâu vào các phép biến đổi tiếp theo có giúp gì cho chúng ta Đó là việc tư duy cho bài toán, tuy nhiên tùy vào bài toán mà ta sẽ có cách chọn lựa phương pháp thích hợp

Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình :

2 2

Phân tích : Về cấu trúc bài hệ thì từ phương trình thứ hai trong hệ có biến đổi thì

cũng không thu được kết quả nào khả quan

Do đó chúng ta sẽ chuyển trọng tâm sang phương trình thứ nhất Ta biến đổi phương trình thứ nhất trở thành phương trình :

Và với y 2x 1  thì ta thấy phương trình này nghiệm đúng

Như vậy có khả năng đại lượng 2 x 1 x   2 có được xuất phát từ hằng yđẳng thức này chăng ? Đó là :    2

2

x  y x 1  Và như thế ta thử tách 0phương trình thứ nhất theo chiều hướng này xem sao ?

Như vậy xem như nút thắt của bài toán đã được giải quyết

Lời giải : Điều kiện :

Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của hệ phương trình là    x, y  2;5

Bình luận : Trong lời giải phân tích các bạn sẽ có thắc mắc là căn cứ vào điều gì

mà chúng tôi lại cho y 2x 1  Câu trả lời đó chính là sự dự đoán của chúng ta

về hằng đẳng thức Nếu hằng đẳng thức này đúng thì nghiệm xảy ra tại dấu bằng phải thỏa phương trình Và điều đó đã đúng nên hướng tiếp cận tiếp theo

là biến đổi để thu được một đại lượng hằng đẳng thức tiếp theo dựa vào biểu thức còn lại có các đại lượng cho phép có thể biến đổi theo ý tưởng đó Một ý tưởng có thể khơi được sự thành công, nhưng không ý tưởng nào sẽ chắc chắn

Phân tích: Với hệ này, ta rõ ràng nhận thấy mối liên quan giữa hai phương trình

với đại lượng y 2 nhưng sẽ rất khó biến đổi từ phương trình thứ hai

Ở phương trình thứ nhất ta có thể ẩn phụ hóa căn thức để đưa về phương trình bậc hai theo y nhưng nếu ta tinh ý ta sẽ có biến đổi sau :

Như vậy xem như ta đã tìm được mối quan hệ để thực hiện phép thế Vậy xem như hệ được giải quyết

Lời giải : Điều kiện :

3x10

A B  Cả hai phương trình trong hệ đều có thể sử dụng hằng đẳng thức 0

và các tính chất đặc biệt để giải quyết Tuy nhiên ở phương trình thứ hai các bạn có thể chọn lựa giải quyết cách khác như liên hiệp…

Hệ phương trình có cấu trúc khá đồ sộ ở cả hai phương trình trong hệ Tuy

nhiên ta quan sát thấy phương trình thứ hai trong hệ bên vế trái trong căn có chứa một biểu thức chứa biến khá đồ sộ và đặc biệt có sự xuất hiện của đại lượng 2x x y 3   nên ta có thể liên tưởng tới hằng đẳng thức

Như vậy sau khi biến đổi ta vẫn chưa có thể phá căn thức dù đã tách được hằng đẳng thức

Tuy nhiên, quan sát vế phải ta có tổng x y 3 , đại lượng này sau khi nâng lũy thừa sẽ xuất hiện x y 3  và x y 3   Do đó ta tiến hành nâng lũy thừa phương trình thứ hai trong hệ để giản ước bớt đại lượng x y 3  và làm giảm

độ phức tạp về hình thức cho phương trình thứ hai

Cụ thể, nâng lũy thừa hai vế phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình : x x y 3   22 x y 3       x y 3 2 x y 3  

Tới đây ta có thể sử dụng phép thế vào phương trình thứ nhất trong hệ thì xem như hệ đã được giải quyết

Tuy nhiên nếu ta tinh ý sẽ thấy phương trình thứ nhất là phương trình đẳng cấp với hai biến x, y

Mặt khác từ phương trình thứ hai được viết lại :

 

Và tới đây, thông qua các phép biến đổi về hằng đẳng thức ta đưa hệ ban đầu về một hệ không thể nào cơ bản hơn được nữa đó là hệ :

x y 3x4y

Và như vậy xem như hệ được giải quyết hoàn toàn

Lời giải : Điều kiện : x 0

Bình luận : Về cấu trúc thì bài hệ có hình thức khá cồng kềnh nhưng cho lời giải

hết sức thú vị Bằng những nhận định phù hợp thì với một hệ được giải bằng hằng đẳng thức cho một lời đẹp và rất thú vị Bài toán trên nếu chúng ta mạnh

về đánh giá bất đẳng thức ta có thể đánh giá trực tiếp phương trình thứ hai trong

hệ cũng thu được kết quả Tuy nhiên, ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh về việc hằng đẳng thức cũng là một phương pháp giải hệ bắt nhân tử chung loại “ duy nhất” khá chuẩn Sau đây, chúng ta sẽ tiếp đến một ví dụ điển hình thể loại này

mà ngoài phương pháp sử dụng hằng đẳng thức ta còn có thể sử dụng các phương pháp khác như sủ dụng bất đẳng thức cơ bản để đánh giá hay liên hiệp kết hợp với bình phương hệ quả (ngụ ý là bình phương chưa rõ về dấu) đó chính

là đề thi khối A, A1 năm 2014

Phân tích : Đây là một bài hệ hình thức ngắn gọn nhưng có thể công phá nó ở

nhiều kỉ thuật khác nhau Ở đây chúng tôi muốn nhắm đến kỉ thuật sử dụng hằng đẳng thức

Quan sát phương trình thứ hai chúng ta biết chắc với những gì đề bài cho chẳng thể công phá gì được phương trình này

Với phương trình thứ nhất ta nhận thấy nó ở dạng phương trình chứa căn cơ bản

và nếu chuyển vế thì khi nâng lũy thừa sẽ giảm bớt căn thức và khử được đại lượng x y2 kết hợp cùng các hệ số cho đặc biệt như đề bài

Do đó ta bắt đầu từ phương trình thứ nhất như sau :

tử duy nhất” của bài toán

Quan sát một chút ta nhận ra ngay phương trình cuối chính là  2

x 12 y  0

Và tới đây nút thắt đã được mở và bài toán được giải quyết

Lời giải : Điều kiện : 2 y 12

Bình luận : Bài toán này, đáp án chính thức của bộ là sử dụng bất đẳng thức

này, vẫn có thể áp dụng được cho các bài toán nếu sử dụng phép nâng lũy thừa thu được nhân tử có thể biễu diễn x theo y (hoặc ngược lại) và cũng có thể biễu diễn f(x ; y) = g(x ; y) rồi sử dụng cách thế Các bài toán thuộc thể loại này, chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu trong phần hệ phương trình bắt nhân tử chung bằng phương pháp liên hiệp ở phần tiếp theo sau đây

Có một điều rất chú ý thường những bài toán hệ mà trong đó có một phương trình phải sử dụng đánh giá riêng biệt không phải kết hợp cả hai phương trình trong hệ mà được đánh giá bằng bất đẳng thức cơ bản mà cấu trúc phương trình cho “nhẹ nhàng” thì việc sử dụng phương pháp hằng đẳng thức lại khá hiệu quả và cho lời giải dễ hiểu hơn

 Hệ phương trình có nhân tử chung bằng kỉ thuật nhân liên hiệp trong một phương trình trong hệ hoặc có đôi lúc là phối hợp cả hai

Đây là thể loại nâng cao của kỉ thuật dùng hằng đẳng thức Để giải được thể loại này chúng ta cần có các bước định tính trước như sau :

+ Trong hệ có các đại lượng có thể khử cho nhau bằng phép liên hợp

+ Đoán được giá trị làm cho hai vế phương trình bằng nhau

+ Kết hợp các đánh giá có được từ bài toán để chỉ ra vế còn lại vô nghiệm + Sử dụng thuần thục các kỉ thuật biến đổi liên hiệp

Đây là một sự phát triển rất tự nhiên của phép trục căn thức và nhân tử chung

Phân tích : Cấu tạo của hệ gồm một phương trình bậc hai hai ẩn và một phương

trình chứa căn thức cũng với hai ẩn Theo suy nghỉ tự nhiên, rõ ràng chúng ta luôn muốn bắt đầu từ phương trình thứ hai

Kiểm tra ta nhận thấy phương trình này tách được nhân tử Bây giờ ta sẽ tiến hành tính delta để hy vọng có delta là số chính phương

Rõ ràng nhận ra được ngay phương trình thứ hai không thể đem phân tích được

vì khi đó nhân tử sẽ liên quan tới căn thức Điều phức tạp này, chúng ta không chờ đợi Do đó mọi chuyện phải đổ dồn về phương trình thứ nhất

Nhận xét cách sắp sếp của phương trình thứ nhất không cho phép ta nghỉ đến việc nâng lũy thừa vì căn thức tuy có giảm bớt nhưng đa thức sẽ có số mũ cao lên Và ta cũng chẳng thể làm gì từ nó để có được nhân tử qua các phương pháp

ta đã xét trên

Lúc này, ta sẽ nghỉ đến việc khử liên hiệp bắt nhân tử chung Nhưng để có được điều này chúng ta cần làm các bước như lí thuyết về phần này mà chúng tôi đề cập tới

 Bước 1: Ta nhận thấy nếu

 Bước 2: Tiến hành nhóm liên hiệp Từ nhận định ở bước 1 ta có cách nhóm liên

hiệp như sau :

Vậy xem như hệ đã được giải quyết bằng phương pháp liên hợp

Lời giải : Điều kiện : x y 0

Bình luận : Với bài toán này, nếu ta không đưa ra nhận xét thì nếu với điều kiện

của bài ta kết luận phần trong ngoặc của (1) luôn dương là không chuẩn xác

Phân tích : Với hệ này ta nhận thấy, phương trình thứ hai trong hệ rất đơn giản,

nhưng chính vì sự đơn giản bình dị quá của nó mà từ nó chúng ta chẳng thể nào tìm được mối quan hệ giữa hai biến x, y dù ta sử dụng phép lũy thừa để làm mất căn thức

Thật vậy, sử dụng phép lũy thừa ta sẽ biến đổi phương trình thứ hai trong hệ thành :

x 3 x  4y 121 4xy 22x  x  4y 21 x 4y  4y 118 0  Đây là một phương trình bậc hai hai ẩn, kiểm tra thấy không phân tích được nhân tử

Do đó mọi sự đổ dồn lúc này giải quyết hệ là ta cần công phá được phương trình thứ nhất trong hệ để tìm mối liên hệ giữa hai biến x, y

Ta sắp xếp lại phương trình thứ nhất trong hệ ta có :

2 x 5x y 2   y 8x x 2   1

Ở (1) không cho phép ta nghỉ đến việc nâng lũy thừa vì khi nâng lũy thừa để khử bớt căn thức ta sẽ làm cho các biến tăng lên số mũ và phương trình sẽ càng phức tạp nên ta sẽ lựa chọn phương pháp “ép nhân tử” bằng liên hợp

Nhận xét (1) có hai căn bậc hai nên ta nghỉ đến việc thoát căn bằng một số chính phương

Bước 1: Nếu ta thay y x 2  ta có :

 Bước 3 : Đánh giá biểu thức liên hiệp

Không khó nhận ra phần trong ngoặc cái khó đó là đánh giá đại lượng x y 1  khi mà điều kiện của bài toán chỉ là x 3, x2 5x y 2 0, y   28x 0 không giúp ta đánh giá được đại lượng x y 1 

Tuy nhiên, từ phương trình thứ hai trong hệ với điều kiện x  ta có đánh giá 3sau :

Với đánh giá này ta có T 0 nên từ  1 ta có x y 2 0      y x 2

Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình :

Phân tích : Với hệ này chúng ta quan sát thấy cả hai phương trình đều khó nắm

bắt được điều gì nhanh chóng Với phương trình thứ hai, ta thấy độ phức tạp của

nó khá nhằn vì đã chứa bình phương lại có chứa tích nên việc khai triển nó là điều không nên làm

Do đó trọng tâm của chúng ta phải xoay chuyển qua phương trình thứ nhất để công phá Vì ở hệ này ta sẽ loại trừ việc kết hợp cả hai phương trình để có được điều gì đó

Phương trình một có hình thức khá giống với phương trình thứ hai như là chứa căn thức và bình phương của một biểu thức hai biến Tuy nhiên nếu quan sát kỉ, chúng ta để ý tới hai đại lượng trong căn có dấu hiệu đặc biệt và trong phương trình có chứa một hằng thức dạng a2b2