ĐƠN điệu

Trang số – Ôn thi tốt nghiệp đại học LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG K Trước tiên ta cần có kiến thức sau Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) Khi đó: Cách (∗) ⇔ m(2x + 1) x2 + 2x + 3, ∀x ∈ x + 2x + (0, 3) ⇔ m = g(x), ∀x ∈ [0, 3] ⇔ 2x + m Max g(x) x∈[0,3] 2x2 + 2x − , g (x) = ⇔ x = (2x + 1)2 ∨ x = −2 ∈ / [0, 3], g(0) = 3, g(1) = 2, g(3) = 18 ⇒ Max g(x) = x∈[0,3] Ta có g (x) = 0, ∀x ∈ (α, β) (hoặc ❶ Với a > f (x)   f (α) x ∈ [α, β]) ⇔  f (β) Vậy m 0, ∀x ∈ (α, β) (hoặc ❷ Với a < f (x)    f (α) x ∈ [α, β]) ⇔  f (β) Cách (dài cực nhất, không phải ích) Ta xét tam thức f (x) = −x2 +2(m−1)x+(m−3) S b S b =− ∈ / (α, β) ( = − ∈ / [α, β]) 2a 2a f (x) 0, ∀x ∈ (α, β)( x ∈ [α, β]) ⇔   f (α) ❸ Với  f (β) 0 f (x) 0, ∀x ∈ R Ta xét toán với ∆ > ⇔ m2 − m + > 0⇔m∈R Khi f (x) có hai nghiệm phân biệt S b S b =− ∈ / (α, β) ( = − ∈ / [α, β]) 2a 2a f (x) 0, ∀x ∈ (α, β)( x ∈ [α, β]) ⇔   f (α) ❹ Với  f (β) có a = −1 < nên với ∆ ❺ m f (x), ∀x ∈ [a, b] ⇔ m ❻ m f (x), ∀x ∈ [a, b] ⇔ m Max f (x) x∈[a,b] Min f (x) x∈[a,b] BÀI TOÁN SỐ Tìm m để y = − x3 + (m − 1)x2 + (m − 3)x − đồng biến khoảng (0, 3) x1 , x2 (x1 < x2 ) f (x) > 0, ∀x ∈ (x1 , x2 ) (dựa vào bảng xét dấu f (x)) Yêu cầu toán f (x) 0, ∀x ∈ (0, 3) ⇔ f (x) có hai < x2 ⇔  ngiệm x1 , x2 thỏax1   x1 x2 x1 < x2 ⇔ ⇔   (x − 3)(x − 3) x < x 2   x x ⇔ m Sau  x x − 3(x + x ) + 2 tương tự để bạn luyện tập Lời giải • Tìm m để y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + nghịch biến (1, 4) Đáp số : m y đồng biến (0, 3) ⇔ y = −x2 + 2(m − 1)x + • Tìm m để y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + nghịch (m − 3) 0, ∀x ∈ (0, 3) (*) biến (−1, 1) Đáp số : m Tới ta xử lý theo nhiều cách BÀI TOÁN SỐ Cách (theo nhiều tài liệu tham khảo gọn nhất)   y (0) (∗) ⇔  y (3) 0 c huynhkyl@gmail.com ⇔   m  m 18 ⇔ m x2 − (3m + 1)x + 5m − đồng x−m biến khoảng (0, 1) Tìm m để y = Lời giải Điều kiện xác định x = m Do x ∈ (0, 1) ⇒ m 0∨m (∗) For math.vn Trang số – Ôn thi tốt nghiệp đại học y đồng biến (0, 1) ⇔ y = g(x) x2 − 2mx + 3m2 − 4m + = (x − m)2 (x − m)2   m ∨ m (0, 1) ⇔  g(x) 0, ∀x ∈ (0, 1) (∗∗) • Nếu m = y = x đồng biến R 0, ∀x ∈ Ta lại có nhiều cách để xử lý (**), nhiên ta để ý m không đồng bậc nên không giải cách tập Còn giải cách tập bạn thử xem (vẫn đấy) S b Cách Do g(x) có =− =m∈ / (0, 1) nên 2a  √  g(0) 3+ ∨m ta có (*) ⇔ ⇔m  3 g(1) nên m = nhận • Với m = ta có điều kiện xác định x = − Do x ∈ (0, +∞) nên m > m m2 x2 + 2mx + − m2 Ta có y = (mx + 1)2  −m + m2  x= m2 Khi y = ⇔  −m − m2 x= m2 Ycbt y có hai ngiệm x1 , x2 thỏa x1 −m + m2 x2 ⇔ ⇔ < m m2 Vậy Kết hợp điều kiện (*) ta có √ 3+ m 0∨m Cách Với m 0∨m Sau tập để bạn luyện tập Xét (**) Ta có g (x) = 2x − 2m Khi • Nếu m m g (x) = 2(x − m) > 0, ∀x ∈ (0, 1) ⇒ g (x) đồng biến (0, 1) Suy ∀x ∈ (0, 1) g(x) > g(0) ⇔ g(x) > 3m2 − 4m + Khi (**) ⇔ 3m2 − 4m + 0⇔m ∨m 1⇔m • Nếu m g (x) = 2(x − m) < 0, ∀x ∈ (0, 1) ⇒ g (x) nghịch biến (0, 1) Suy ∀x ∈ (0, 1) g(x) > g(1) ⇔ g(x) > 3m2 − 6m + a Tìm m để x2 − (m + 1)x + 4m2 − 4m − x − (m − 1) đồng biến khoảng (0, +∞) √ 2− Đáp số : m y = 2x2 + (1 − m)x + m + nghịch −x + m √ biến (2, +∞) Đáp số : m − b Tìm m để y = mx2 + 6x − nghịch biến x+2 14 Đáp số : m − c Tìm m để y = [1, +∞) d Tìm m để y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x + − m2 Khi √ (**) ⇔ 3m √− 6m + 0⇔ √ m 3− 3+ 3+ ∨m ⇔m 3 √ 3+ Vậy m ∨ m đồng biến khoảng (−∞, 2) (4, +∞) Đáp số : m = TÀI LIỆU THAM KHẢO Đôi y có nghiệm "đẹp", ta nên tính nghiệm Sau toán kiểu đó, tất nhiên ➀ Toán học tuổi trẻ số 337 tháng 11 năm 2008 toán giải cách nêu ➁ Tài liệu ôn TN môn Toán Sở GD ĐT An BÀI TOÁN SỐ mx + x + m đồng biến mx + khoảng (0, +∞) Tìm m để y = Lời giải c huynhkyl@gmail.com Giang huynhkyl@gmail.com For math.vn