Tính đơn điệu của hàm số

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 Vấn đề 1: Tính đơn điệu hàm số Trong đề thi em gặp vấn đề toán chẳng hạn như: Bài toán: Cho hàm số: y = x + ( m − 1) x + ( 2m − ) x − Tìm m để hàm số đồng biến trên ( 2,3) Để làm toán cần hiểu được: Đồng biến gì? - Để làm toán cần thực công việc gì? ebooktoan.com m - A – Lý thuyết co - Định nghĩa: Kí hiệu: K khoảng đoạn, nửa khoảng hàm số (C): y = f ( x ) xác định K Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến K x tăng y tăng mà x giảm y giảm, tức là: c ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Ngược lại, (C) gọi nghịch biến K x tăng y giảm mà x giảm y tăng, tức là: uo ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) (C) đồng biến nghịch biến K ta nói chung (C) đơn điệu K Chú ý: K khoảng đoạn, nửa khoảng on gb oc - Định lý: (Cách xét tính đơn điệu hàm số): Cho hàm số (C): y = f ( x ) có đạo hàm K: - (C) đồng biến K ⇔ f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K hữu hạn điểm thuộc K - (C) nghịch biến K ⇔ f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K hữu hạn điểm thuộc K Nhận xét: Việc xét tính đơn điệu hàm số quy việc xét dấu biểu thức đạo hàm nó! Với loại hàm ta xét, bỏ điều kiện “bằng hữu hạn điểm thuộc K” Trong ba loại hàm: Hàm đa thức bậc 3: kh y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y ' = 3ax + 2bx + c ( a ≠ ) Hàm đa thức bậc trùng phương: y = ax + bx + c ⇒ y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) ( a ≠ ) Hàm đa thức bậc bậc nhất: y= ax + b ad − bc ⇒ y' = (dấu không phụ thuộc vào biến x) cx + d ( cx + d ) Thì việc xét dấu biểu thức đạo hàm y’ đơn giản quy toán tam thức bậc Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 B – Một số ví dụ: Bắt đầu với ví dụ đơn giản em cần ý cách trình bày Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: 1 y = x − x − x + m LG:  x = −1 Ta có: y ' = x − x − , y ' = ⇔ x − x − = ⇔  x = Bảng xét dấu y’: x -1 −∞ + - +∞ + c y’ co TXĐ: D = » Kết luận: Hàm số nghịch biến ( −1; ) - Hàm số đồng biến ( −∞; −1) ( 2; +∞ ) uo - Chú ý: Khi kết luận tính đơn điệu em không viết chẳng hạn: on gb oc “Hàm số nghịch biến ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) ”, “hàm số đồng biến ∀x ≠ a ”, “đồng biến tập xác định” Viết sai chất, y ' > 0, ∀x ≠ a ta kết luận: hàm số đồng biến ( −∞; a ) ( a; +∞ ) Ví dụ 2: Cho hàm số: y = mx + x+m Tìm m để hàm số nghịch biến ( −1;1) Phân tích: - Nhận dạng, thuộc dạng xét tính đơn điệu, cần tính y’ xét dấu y’ - Đây hàm phân thức bậc bậc nhất, đạo hàm có dấu không phụ thuộc vào x, tức y ' > 0, ∀x ∈ D y ' < 0, ∀x ∈ D , với điều kiện “hàm nghịch biến” ta cần: m2 − kh y'= ( x + m) < ⇔ m2 − < - Khi ta có hàm số nghịch biến ( −∞; − m ) ( − m; +∞ ) - Vậy làm để có hàm nghịch biến ( −1;1) ? Tốt em thực việc xét vị trí tương đối ba điểm 1, −1, − m trục số em nhận để thỏa mãn điều kiện − m phải nằm điểm −1 1, tức − m ∉ ( −1;1) ⇔ m ∉ ( −1;1) Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 Từ em có lời giải: TXĐ: D = » \ {− m} y'= m2 − ( x + m) m m − < Để hàm số nghịch biến ( −1;1) y ' < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔  ⇔ m ∈ ( −2; −1] ∪ [1; ) − m ∉ ( −1;1) Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x + ( m − 1) x + ( 2m − ) x − c Tìm m để hàm số đồng biến trên ( 2;3) co Vậy với m ∈ ( −2; −1] ∪ [1; ) thỏa mãn điều kiện đề Phân tích: oc uo Với việc phân tích tương tự ta nhận thấy toán thực chất toán sau: Tìm m để y ' = x + ( m − 1) x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) Với toán em có cách làm khác LG: TXĐ: D = » y ' = x + ( m − 1) x + 2m − gb Để hàm số đồng biến ( 2;3) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1, ) ⇔ x + ( m − 1) x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) Cách 1: ∆ ' = ( m − 1) − 2m + = m2 − 4m + = ( m − ) Do đó: 2 kh on Nếu m = y ' = x + x + = ( x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) (t/m) Nếu m ≠ y ' = có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 , x1 , x2 ∈ {−1; −2m + 3} Khi đó: y ' ≥ ⇔ x ∈ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞ ) x1 x2 Để y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) < x1 x2 < (*)   < −1  TH1: x1 = −1; x2 = −2m + ⇒ −1 < −2m + ⇔ m < (*) ⇔   −2m + < ⇔ < m < 2 m <   3 < −2m +  TH2: x1 = −2m + 3; x2 = −1 ⇒ −2m + < −1 ⇔ m > (*) ⇔   −1 < ⇔m>2 m >  Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ V ậ y v ới m > Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 thỏa mãn điều kiện đề Cách 2: x + ( m − 1) x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) −x2 + 2x + ≤ m, ∀x ∈ [ 2;3] ( x + 1) ⇔ max g ( x ) ≤ m x∈[ 2;3] − x2 + x + − x2 − x − < 0, ∀x ∈ [ 2;3] , g '( x) = 2 ( x + 1) ( x + 1) ⇒ g ( x ) nghịch biến ( 2;3) ⇒ max g ( x ) = g ( ) = x∈[ 2;3] V ậ y v ới m > thỏa mãn điều kiện đề Nhận xét: oc Xét: g ( x ) = c ⇔ g ( x) = om ⇔ x + ( m − 1) x + 2m − ≥ 0, ∀x ∈ [ 2;3] (vì y ' liên tục x = x = ) oc u - Cách thứ có số em chưa quen, điều dễ hiểu em làm quen với phương pháp hàm số, chắn em thích thấy dễ dàng tiếp xúc với nhiều lớp toán sử dụng phương pháp hơn! - Ở cách thứ nhất, nhiều trường hợp toán dạng em không tính x1 , x2 "đẹp" on gb toán trên, em cần sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để giải quyết, ví dụ minh họa: 1 Ví dụ 4: Cho hàm số: y = x − ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x − 5m + Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) LG: TXĐ: D = » kh y ' = x − ( 2m + 1) x + 3m + Để hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ f ( x ) = x − ( 2m + 1) x + 3m + ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ phương trình f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1 ≤ < ≤ x2 Viet  x1 x2 ≤  x ≤ < x2 3m + ≤ ⇔ ⇔ m ≤ −2 ⇔  ⇔ < ≤ x x x x m − − ≤ + ≤ ( )( )     Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 Nhận xét: - f ( x ) có hệ số a = > nên trường hợp f ( x ) = vô nghiệm ( ∆ < ) nghiệm kép ( ∆ = ) không thỏa mãn toán (các em ý lại định lí dấu tam thức bậc 2)  x1 ≤ < x2 bao hàm điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt (Chú ý điều kiện - Hệ điều kiện   x1 < ≤ x2 m phương trình có hai nghiệm trái dấu) Ví dụ 5: (ĐH QGHN – 2000) co Cho hàm số y = x3 + x + mx + m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài Phân tích: c Bài toán tương đương với: Tìm m để g ( x ) = 3x + x + m mang dấu âm đoạn có độ dài lạ lẫm với kiểu câu hỏi uo Vấn đề cần phân tích âm đoạn có độ dài 1, chưa gặp em có cảm giác Cùng suy nghĩ chút nhé, xét dấu tam thức bậc hai có khả nào? - Nếu ∆ ≤ g ( x ) mang dấu âm khoảng nào, khoảng có độ dài nào? on gb oc - Tương tự ∆ > sao? Khi trả lời câu hỏi em phát ∆ ≥ xuất đoạn “Trong khoảng hai nghiệm” có độ dài hữu hạn độ dài đoạn x1 − x2 (với x1 , x2 nghiệm g ( x ) ) ∆ ' = − 3m > Từ ta có điều kiện tương đương toán là:  Và đến phản xạ tự nhiên ta  x1 − x2 = nghĩ đến định lí Viet! Bài toán giải LG: TXĐ: D = » y ' = g ( x ) = 3x + x + m, ∆ ' = − 3m kh Để thỏa mãn yêu cầu đề y ' ≤ đoạn có độ dài Nếu ∆ ' ≤ g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ » = ( −∞; +∞ ) (không thỏa mãn) Nếu ∆ ' > ⇔ m < , g ( x ) có hai nghiệm x1 < x2 g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ x1 ; x2 ] Khi đó, để y ' ≤ đoạn có độ dài 2 x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( −2 ) − m = ⇔ m = (thỏa mãn) Bài toán: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d Tìm điều kiện để hàm số đồng biến khoảng có độ dài ≥ k Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 Cách giải: Điều kiện toán thỏa mãn y ' ≥ khoảng có độ dài ≥ k , điều xảy a < phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt ( ∆ > ) thỏa mãn 2 x1 − x2 ≥ k ⇔ ( x1 − x2 ) ≥ k ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≥ k Sử dụng định lí Viet suy kết om Sau ví dụ hàm phân thức bậc hai bậc (Loại hàm không gặp câu I.2, gặp phần riêng chương trình nâng cao) Ví dụ 6: Cho hàm số: y = x − ( 3m + 1) x + 5m − x−m Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) c LG: TXĐ: D = » \ {m} y'= x − 2mx + 3m − 4m + ( x − m) uo c Hàm số xác định khoảng ( 0;1) m ∉ ( 0;1) ⇔ m ∈ ( −∞;0] ∪ [1; +∞ ) Khi đó: Để hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) y ' ≥ , ∀x ∈ ( 0;1) oc ⇔ x − 2mx + 3m − 4m + ≥ , ∀x ∈ ( 0,1) (*) Xét tam thức f ( x ) = x − 2mx + 3m2 − 4m + , ∆ ' = −2m + 4m − on gb   2−  2+ - Nếu: ∆ ≤ ⇔ −2m + 4m − ≤ ⇔ m ∈  −∞; ; +∞  ∪     2+  Thì f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ » , kết hợp với điều kiện ban đầu (*) ⇔ m ∈ ( −∞;0 ] ∪  ; +∞     2− 2+  - Nếu: ∆ > ⇔ m ∈  ;  (1)   kh Thì f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞ ) Do để f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ( 0;1) ⊂ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞ ) tức là: ≤ x1 < x2 x1 < x2 ≤  x1 + x2 < TH1: x1 < x2 ≤ ⇔  ⇔  x1 x2 ≥  2m < ⇔ m < (Không t/m)  3m − 4m + ≥ TH2: ≤ x1 < x2 ⇔ ≤ x1 − < x2 − (**) Đặt t = x − ⇔ x = t + , vào f ( x ) ta được: g ( t ) = ( t + 1) − 2m ( t + 1) + 3m − 4m + = t + ( − 2m ) t + 3m − 6m + Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 (**) ⇔ ≤ t1 < t2 với t1 , t2 nghiệm g ( t ) t + t > 2m − > 3+ ⇔1 ⇔ ⇔ m≥ 3m − 6m + ≥ t1t2 ≥ 3+  Kết luận: Vậy với m ∈ ( −∞; 0] ∪  ; +∞  thỏa mãn điều kiện đề bài!   om 3 + +  Kết hợp với điều kiện (1) ⇒ m ∈  ;    Chú ý: Nhiều tài liệu trình bày lời giải toán ngắn gọi dựa vào định lí đảo dấu tam thức bậc hai, _ c c định lí không giới thiệu SGK chương trình THPT, em cần ý Xu hướng đề thường không khó mà đánh vào tâm lí lười suy nghĩ học sinh, đề thường dùng ngôn ngữ khác để ẩn nội dung câu hỏi, em cần rèn luyện tâm lí bình tĩnh vững vàng không lười biếng! gb oc uo Với số ví dụ chắn chưa thể giúp em nắm toán tính đơn điệu em cần tự rèn luyện cách làm tập lời khuyên chân thành dù tập dễ hay khó em nên lần làm thật cẩn thận trình bày rõ ràng làm đến kết kết cuối cùng! Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: y = ( m − 1) x3 + mx + ( 3m − ) x Tìm m để hàm số đồng biến » Bài 2: Cho hàm số: y = mx + 5m − x+m a Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng xác định b Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ( −2; −1) kh on c Tìm m để hàm số đồng biến hai khoảng ( −∞; −4 ) (1; +∞ ) Bài 3: Cho hàm số: y = −1 x + ( m − 1) x + ( m + 3) x − Tìm m để hàm số đồng biến (0, 3) Bài 4: Cho hàm số: y = x3 − 2(m + 1) x + (12m + 5) x + Tìm m đề hàm số đồng biến (−∞; −1] [2; +∞) Bài 5: Cho hàm số y = ( m + 1) x + ( 2m − 1) x − ( 3m + ) x + m Tìm m để khoảng nghịch biến hàm số có độ dài 1 Bài 6: Cho hàm số: y = x − ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x − 5m + Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn Bài 7: Cho hàm số y = x − 2mx − 3m + Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; ) Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Http://diendantoanhoc.net/ Chuẩn bị cho kì thi TS ĐHCĐ - 2013 Bài 8: Tìm m để hàm số y = mx + sin x + sin x + sin x tăng với x ∈ » ( ) Bài 9: Cho hàm số: y = x + − m x + + m Tìm m để hàm số đồng biến (1, +∞ ) x−m Tài liệu tham khảo: [2] Trần Phương: Bài giảng luyện thi Đại học [3] Nguyễn Anh Dũng: Chuẩn bị trước kì thi - Tạp chí TH & TT kh on g bo cu oc c [5] Các thảo luận VMF om [1] Trần Sĩ Tùng: 200 toán khảo sát hàm số - 2012 Tính đơn điệu hàm số (Câu I.2) leminhansp