Tính đơn điệu của hàm số

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ ANH TUẤN A Lý thuyết Cho y  f  x  có tập xác định K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) Nếu y '  có hữu hạn nghiệm K 1) Hàm số đồng biến K tương đương với y '  0, x  K , tức x tăng y tăng 2) Hàm số nghịch biến K tương đương với y '  0, x  K , tức x tăng y giảm Bài toán: Tìm tham số m để y  f  x, m  đơn điệu K I Phương pháp dùng Min – Max Bước Tìm tập xác định, ý yêu cầu K  tập xác định Bước Tính đạo hàm y ' phát biểu điều kiện (*) y ' để hàm số y  f  x, m  đơn điệu K Bước Từ điều kiện (*) y ' ta cô lập tham số m Và dựa vào: m  g  x  , x  K  m  max g  x  m  g  x  , x  K  m  g  x  xK xK Chú ý: phương pháp áp dụng cô lập tham số m đạo hàm y ' Các ví dụ minh họa cho phương pháp I Ví dụ (KA-2013) Cho hàm số y  x3  3x2  3mx  , tìm m để hàm số nghịch biến  0,  Hướng dẫn Tập xác định: x  R Ta có: y '  3x2  6x  3m Để hàm số nghịch biến  0,   y '  0,  x   0,   , tức là: y '  3x  x  3m  0,  x   0,    m  x  x ,  x   0,   m  x  x  x 0,    Xét hàm g  x   x2  2x  0,  , ta có g '  x   2x   g '  x    x  Ta có bảng biến thiên x -∞ +∞ y' + +∞ y Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy  x 0,   x   x  1 Kết luận m  1 để hàm số nghịch biến  0,  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x2   m  1 x  4m , tìm m để hàm số nghịch biến b  1;1 a   1;1 Hướng dẫn Tập xác định: x  R Đạo hàm y '  3x2  6x  m  a) Để hàm số nghịch biến   1;1 y '  0, x    1;1  y '  3x  x  m   0, x    1;1  m  3x  x  1, x    1;1  m  x 1;1  3x  6x   Xét hàm g  x   3x2  6x  1, x    1;1  g '  x   6x   g '  x    x  1 Lập bảng biến thiên x y' -∞ + + +∞ y 10   Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy 3x2  x   10 x 1;1 Kết luận m  10 để hàm số nghịch biến   1;1 b) Với  1;1 làm tương tự ta có kết m  10 , em xem chi tiết giảng Ví dụ Cho hàm số x4  2mx2  m2 , tìm m để hàm số nghịch biến 1;   Hướng dẫn Tập xác định: x  R Đạo hàm y '  4x3  4mx Để hàm số nghịch biến 1;   y '  0, x  1;    y '  4 x  mx  0, x  1;    m  x , x  1;    m  x  x1;   Kết luận m  để hàm số nghịch biến 1;   II Phương pháp xét dấu y’ (áp dụng nhanh cho hàm bậc 3) Hàm số y  Ax3  Bx2  Cx  D,  A   , có tập xác định D  R Đạo hàm y '  ax2  bx  c ,  a   , ta xét dấu y ' , có   b2  4ac (1) Nếu   thì: +) a   y '  0, x  R Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 - Trang | - www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số +) a   y '  0, x  R (2) Nếu   thì: +) a   y '  0, x  R (3) Nếu   phương trình y '  có nghiệm phân biệt x1 , x2 , ta có bảng xét dấu x1 dấu với a khác dấu với a dấu với a D y' +∞ x2 H ∞ x oc 01 +) a   y '  0, x  R  c  1;1 uO b  1;1 a   1;1 nT  hi Ví dụ minh họa cho phương pháp II Ví dụ Cho hàm số y  x3  mx2  m2  2m  x  , tìm m để hàm số đồng biến trên: ie Hướng dẫn Tập xác định x  R iL Đạo hàm y '  x2  2mx  m2  2m  Ta a Để hàm số đồng biến   1;1 (*)  1;1  y '  0, x   Ta có  '   b '   ac   2m ro Trường hợp  '   m  up s/ k co m /g Do a    y '  0, x  R  hàm số đồng biến R  hàm số đồng biến   1;1 Vậy với m  thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp  '   m  x y' ∞ + x1 x2 0 +∞ + w w w fa ce bo o Do a    y '  0, x  R  hàm số đồng biến R  hàm số đồng biến   1;1 Vậy với m  thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp  '   m  y '  có nghiệm x1  x2 Khi ta có dấu y ' Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số Để hàm số đồng biến   1;1 đoạn   1;1 phải nằm đoạn  x1 ; x2  hình sau: x y' ∞ -1 [ ] + x1 x2 0 -1 [ ] + +∞   x1  1 x2  1    x1x2   x1  x1        x1  1 x2  1  1   x1  x2  x  x   Điều xảy     1 *   x x  x  x     x1  1 x2  1   x1  x2  1    1    x  x   x  x       1    Áp dụng Vi – et cho phương trình y '  , ta có:  x1  x2  2m     x1 x2  m  2m   m2    m  2m    Khi đó:  *      m  2  2  m  4m     2m     Giáo viên : Lê Anh Tuấn Nguồn : Hocmai.vn 2  m Kết hợp trường hợp với ta có   m  2  2 Các trường hợp b c, em xem chi tiết giảng Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33 - Trang | -