Chuyên Đề Tính Đơn Điệu HS

EMBED Equation.DSMT4 fx gxcó nghiệmduy nhất : EMBEDEquation.DSMT4 o... Điều kiệân không được thỏa mãn.. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi m 0 3Bảng biến thiên.

¤n Thi TNPT 2009

CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Vấn đề 1 : Tính đơn điệu

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ĐN : f tăng trên (a;b) x ;x (a;b) : x x f(x ) f(x )

f giảm trên (a;b) x ;x (a;b) : x x f(x ) f(x )

2 ĐL : Gỉa sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

f tăng (đo

w àng biến) trên khoảng I f (x) 0 ; x I

f giảm (nghịch biến) trên khoảng I f (x) 0 ; x I

f (x) 0 với mọi x I thì f(x) = C (= hằng số ) trên khoảng I

Chú ý : Hàm số ta

f (x) 0 tại một số hữu hạn điểm trên I

) 0 tại một số hữu hạn điểm trên I

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f (x)> 0 trên khaỏng (a;b) thì

Xét dấu f (x) ta có thể giải f (x) 0 hay f (x) 0

x là điểm tới hạn của f(x) f (x ) 0 hay f (x )

x ;x là 2 điểm tới ha

1) Tập xác định : D = (a; b)

2) Đạo hàm : y   y0   ( x là các nghiệm nếu có của đạo hàm )xi i

( Dấu ? được thay bởi 0 hay || )

y  

x a x bo y + (?) 

y  

x   1 



y  0 +y

¤n Thi TNPT 2009 Đồng biến trên : (1; + ) Nghịch biến trên : ( ; 1)

 





2

2

b) Tập xác định : D =

Đạo hàm :

y = x 4x 3

x 1

y = 0 x 4x 3 0

x 3

 









Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho :  Đồng biến trên : ( Nghịch biến trên : (2; ) 3;2) , (3;+ )   2 2 c) Tập xác định : D = Đạo hàm : y = x 2x 3 y = 0 x 2x 3 0 ( vô nghiệm )            Bảng biến thiên  Vậy : Hàm số đã cho đồng biến trên : ( ;+ )                     2 2 2 2 d) Tập xác định : D = Đạo hàm : y = 3x 6x 3 3(x 2x 1) 3(x 1) y = 0 3(x 1) 0 x 1 ( nghiệm kép ) Bảng biến thiên  Vậy : Hàm số đã cho nghịch biến trên : ( ;+ )                     2 e) Tập xác định : D = Đạo hàm : y = 3x 6x 3x(x 2) x 0 y = 0 3x(x 2) 0 x 2 Bảng biến thiên  2

-x   1 3 

y + 0  0 +

y

x   

y +

y

x   

y 

y

x   0 2 

y  0 + 0 

y

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho :

Đồng biến trên : (0; + ) Nghịch biến trên : ( ; 0)

 Đồng biến trên : ( 3;0) , ( ; + )3 

x    2 0 2 

y + 0  0 + 0 

y

¤n Thi TNPT 2009

3 3

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho :

Đồng biến trên : ( Nghịch biến trên : (0; + )  ; 0)

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho nghịch biến trên : ( ;2) , (2;+ ) 

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho đồng biến trên : (   ; 3) , ( 3 ;+ ) 

 

2 2

¤n Thi TNPT 2009 Bảng biến thiên :

d) Tập xác định : D = \ 2

1 Đạo hàm : y = 1 0 , x D

(x 2) Bảng biến thiên :

Bảng biến thiên :

Vậy : : Hàm số đã cho :  Đồng biến trên : ( (1 ; 0 ; 1) , 2)

1d) Viết lại : y = x 1

x 1 Tập xác định : D = \ 1

1 Đạo hàm : y = 1 0 , x D

(x 1) Bảng biến thiên :

3 Kết luận : Hàm số đã cho nghịch biến trên : ( ;1) , (1;+ ) 

a) y = x 2sinx (0 < x < 2 ) b) y

VD 3 : Xét chiều biến thiên ( Tính đơn điệu )

= x + cos2x , x [0 ; ] c) y = cos2x của các hàm số sau : + 2sinx , x ( 0 ; 2 )

x   1 

y

¤n Thi TNPT 2009





4

2

d) y = x 4x 1 e) y = f) y =

8x(x 2)

a) Tập xác định : D = (0 ; 2 )

Đạo hàm :

y = 1 2 cosx

x

y = 0 1 2 cosx 0 cosx

5

3



 







 







(0; ) : 4 3 y ( ) 1 2cos 1 2 0 4 4 (0; ) 3 Để xét dấu y ta có thể chọn x = nên trong khoảng thì y có dấu , sau đó dùng luật đang dấu                Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho : ; 5 ) 3 3 Đồng biến trên : (  

 0 5 2 3 3 Nghịch biến trên : ( ; ) , (   ; )   Lưu ý : Có hai cách để tìm nghiệm 1 x k2 , k 2 3 1 1 5 1 5 x k2 k2 0 2k 2 2k k 3 3 3 3 3 6 6 3 x k2 3                                          : Tìm k Ta có : cosx = Xét : Do 0 < x < 2 0 < < 2 Vì k nên k = 0 x =

Cách cơ bản Xét : Do 0 < w 1 1 7 1 7 k2 0 2k 2 2k k 3 3 3 3 6 6 5 3 5 , 3 3                          x < 2 0 < < 2 Vì k nên k = 1 x = Vậy trên (0 ; Cá 2 ) phươn ch biểu g trình có hai ng diễn nghiệm trê h n iệm : x = đường tr x ò = n lư w x k2 3 3           Chú ý : x (0;2 ) Cho k chạy bắt đầu từ k = 0 ; 1 ; 2 ; đến khi nghiệm cuối trùng nghiệm ứng với k = 0 là dừng Xét : : k = ợng 0 x = [ khi giác k : 1 ,  k  thì nghiệm x ( 0 ; 2 ) ]  x k2 : k 0 x 5 2 5 3 3 3 3 3 Xét :        (0 ; 2 ) nên ta viết lai x =   ; k = 1 x =      , 5

3 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm : x =  x =  Bảng biến thiên :

6

-x 0

3  5

3 2

y  0 + 0 

y

x 0

12 5

12 

y  0 + 0 

y

¤n Thi TNPT 2009

 

 Đồng biến trên : (

0 5 12 12     Nghịch biến trên : [ ; ) , ( ; ]                                 c) Tập xác định : D = ( 0 ; 2 ) Đạo hàm : y = 2sin 2x 2 cosx 2 cosx( 2sin x 1) 1 y = 0 2 cosx( 2sin x 1) 0 cosx 0 sin x 2 3 1 5 cosx 0 x x ; sin x x x 2 2 2 6 6 Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho : 0 5 3 ; 2 ) 6 2 6 2 Đồng biến trên : ( ; ) , ( ;   ) , (  

 5 3 6 2 6 2 Nghịch biến trên : ( ; ) , (    ; )  Chú ý : Để xét dấu ta chọn ( ; ) : y ( ) 2( 2 1) 0 nên trong khoảng ( ; ) , y có dấu ( ) 4 6 2 4 6 2               3 2 2 2 d) Tập xác định : D = Đạo hàm : y = 4x 12x 4x (x 3) ( y cùng dấu với x + 3 ) x 0 y = 0 4x (x 3) 0 x 3                   Bảng biến thiên : x   3 0 

y  0 + 0 +

y

Vậy : Hàm số đã cho : Đồng biến trên : ( 3; + )  Nghịch biến trên : (  ; 3) 2 2 2 2 2 2 e) Tập xác định : D = ( Vì x 1 0 , với mọi x ) Đạo hàm : 1 x y = ( y cùng dấu với 1 x ) (x 1) y = 0 1 x 0 x 1                   Bảng biến thiên : Vậy : Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (0 ; 2)  x 0

6 

2  5

6 3

2 2

y + 0  0 + 0  0 +

y

x   1 1 

y  0 + 0 

y

¤n Thi TNPT 2009 Nghịch biến trên : (  ; 0) , (2 ;+ )

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho :  Đồng biến trên : ( 3 ; 2) , (  2 ; 0) , (0 ;+ )

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho : Đồng biến trên : ( ; 0)1

Bảng biến thiên :

x   1 0 1 



y + + 0  y

x   0 1 



y + + 0  y

¤n Thi TNPT 2009 Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (3 ; + )  

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho :  Đồng biến trên : (  ;  3) , ( ; + )3 

2 2

1 2

Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho :  Đồng biến trên : (  ; ) , ( ; + )0 1 

 Nghịch biến trên : ( 0 ;1)

d) Tập xác định : D =

Bảng biến thiên

Vậy : Hàm số đã cho :  Đồng biến trên : ( ; + )0 

x   1 1 3 



y   0 + +y

x   3  6 0 6 3 



y + 0   0 +y

x   0 1 

1y + 2

¤n Thi TNPT 2009  Nghịch biến trên : (  ; ) 0





2 2

a) Hàm số y = 2x x nghịch biến trên đoạn [1 ; 2 ]

b) Hàm số y = x 4 đồng biến trên nửa khoảng [2 ; + )

1 c) Hàm số y = x nghịch b

f) Hàm số y = 1 1 x đồng biến trên

 

2 2

Bảng biến thiên :

3 Kết luận : Hàm số đã cho n ghịch biến trên mỗi khoảng ( ;2) và ( ;2  )

hàm số đồng biến trên các nửa khoảng ( ;0] , [0 ; + ) Do đó đồng biến trên  

VD 6 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

2

xa) sinx < x với mọi x > 0 b) sinx > x với mọi x < 0 c) cosx > 1 với mọi x 0

f) 2sinx + tanx 3x với mọi x (0 ; )

a) Ta có : sinx < x x sinx > 0

với x ( 0 ; ) Xét hàm số f(x) = x sinx

2 Hàm số f liên tục trên đoạn [ 0 ; ) (1)

Từ (1) , (2) suy ra hàm số đồng biến trên [ 0 ; )

Với x 2 Ta có : x 2 1 sinx (4)

Từ (3) , (4) suy ra : x sinx với mọi x > 0

w



b) Ta có : sinx > x x sinx < 0

với x ( ; 0) Xét hàm số f(x) = x sinx

2w

2

Do đó : f(x) < f(0) = 0 với x ( 0 ; ) tức là x sinx < 0 với x ( 0 ; )    

¤n Thi TNPT 2009 Vậy : x sinx với x ( ; 0) (3)

2 Với x Ta có : x 1 sinx (4)

2 Hàm số f liên tục trên nửa khoảng [ 0 ; ) (1)

y = x sin x > 0 với mọi x 0 [ câu a)] (2)

Từ (1) , (2) suy ra hàm số đồng biến trên [ 0 ; )

f( x) = cos( x) + 1 = cosx + 1 = f(x) > 0

x hay cosx + 1

x Từ (3) , (4) suy ra cosx > 1 với x 0

d) Ta có : sinx > x x sin x 0 với mọi x < 0

x Hàm số f(x) = x sin x có tập xác định D =

6x Đạo hàm : f (x) = 1 cosx , f (x) = sinx x với mọi x

2

< 0 với mọi x 0 nên hàm số f (x) nghịch biến trên [0; )

Vì x > 0 ta có f (x) < f (0) = 0 , do đó : Hàm số f nghịch biến trên [ 0 ; + ) và ta có :

f(x) = x x3 sin x f(0) 0 với x > 0 hay x x3 sin x với x > 0

2 Áp dụng : Chứng minh rằng ABC nhọn ta có : sinA+ sinB sinC + tanA+ tanB tanC 2 (*)

Do A,B,C là ba góc nhọn c  

ủa ABC nên A + B + C = Biến đổi : (*) sinA+ sinB sinC + tanA+ tanB tanC 2(A + B + C)

(sinA + tanA 2A) (sinB+ tanB 2B) (sinC + tanC 2C) 0

Vì A,B,C là góc nhọn nên A,B  

,C (0 ; ) Áp dụng bđt vừa chứng minh ta có :

2 sinA + tanA 2A 0 , sinB + tanB 2B 0 , sinC + tanC 2C 0

Cộng vế theo vế bđt trên ta được điều phải chứng minh

(2 cosx 1) 0 với mọi x (0 ; )

2cos x

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ 0 ; ) nên f(x) > f(0) = 0 với mọi x (0 ; ) tức là

ta có bđt cần chứng minh

Áp dụng : Chứng minh rằng ABC nhọn ta có : (sinA+ sinB sinC) + (tanA+ tanB tanC) 2  1    (*)

2(sinA+ sinB sinC) + (tanA+ tanB tanC) 3(A B C)

(2sinA + tanA 3A) (2sinB + tanB 3B) (2sinC + tanC 3C) 0

Vì A,B,C là góc nhọn nên A,B,C (0 ; ) Áp dụng bđt vừa chứng minh ta

2

có : 2sinA + tanA 3A 0 , 2sinB + tanB 3B 0 , 2sinC + tanC 3C 0

Cộng vế theo vế ta được bđt cần chứng minh

g) BĐT sin 2cos > sin + 2cos với 0 <

2Xét hàm số f(x) = xsin x 2 cosx với 0 < x , đạo hàm f (x) = xsin x 0 với 0 < x

¤n Thi TNPT 2009

2 Xét hàm số f(x) trong (a;b) , chứng minh f đồng biến hay nghịch biến trên (a;b) đpcm





ất là x o Áp dụng bảng sau :

3

2 Xét hàm số f(x) = 3x 2 x 2 5x 1 7 liên tục trên nửa khoảng [ ;+ ) (1)

3 EMBED Equation.DSMT4 Đạo hàm f (x) = 3 1 5 0 với x ( ;+ ) (2)23

2 3x 2 2 x 2 2 5x 1

2 Từ (1) , (2) suy ra hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ ;+ ) (3)

3 Mặt khác : f(2) = 0 (4)

Từ (3) , (4) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

EMBED Equation.DSMT4

f(x) g(x)có nghiệmduy nhất : EMBEDEquation.DSMT4

o

Ta có : (1) x sin x y sin y (3)

Xét hàm số : f(t) = t sin t , f (t) = 1 cost 0 , t ; f (t) = 0 tại một số hữu hạn điểm        f(t) đồng biến

k k

Do đó : (3) f(x) = f(y) x = y ( do f đồng biến )

3Thay y = x vào (2) , ta được : 2sinx = 3 sin x x ( 1) k2 , k

1 Định m để phương trình : x 2x m 2x 1 , với m là tham số

a) Có 1 nghiệm b) Có 2 nghiệm phân biệt

Giải

2 Định m để phương trình sau có nghiệm : x 1  3 x  (x 1)(3 x) m   

Giải : Điều kiện : 1 x 3 

2 Mặt khác : t = x 1 3 x 2 Suy ra : 2 t 2

Cách khác : Ta có thể lập BBT để

Xét hàm số y = x 4x 16 y = 4x 4 4(x +1) , y = 0 x = 1

Bảng biến thiên :

¤n Thi TNPT 2009 Với : lim yx xlim (x4 4x 16) ; lim yx xlim (x4 4x 16)

Xét hàm số y = t 4t 2 , t [ 0 ; 3 ] ; y = 2t 4 , y = 0 t = 2

Bảng biến thiên :

Căn cứ vào bảng biến thiên : pt có nghiệm  m 2

3 3

Căn cứ vào bảng biến thiên : pt (4) có nghiệm duy nhất m < 2 m > 2 

VD 9 : Định tham số để hàm số đơn điệu trên một tập cho trước

Tập xác định : D = .

Đạo hàm : y = x 4x 2a 1

5 = 2a + 5 ; = 0 a

Tập xác định : D =

Đạo hàm : y = (a 1)x 2(a 1)x 3

Hàm số y đồng biến trên y 0 , x

4 Định m để hàm số y = x 2 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?

x 1Giải

 



 

Tập xác định : D = \ 1

m Đạo hàm y = 1

(x 1) Nếu m 0 thì y 0, x 1 Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;1) và (1 ; + )

m

(x 1) Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( 1 m ; 1) và (1 ; 1 m ) Điều kiệân không được thỏa mãn Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi m 0

3Bảng biến thiên

x m

6 Định m để hàm số y = nghịch biến trên ( 1; + )

x 1Giải

Tập xác định : D = \ 1

1 m Đạo hàm y =

(x 1)Hàm số y nghịch biến trên ( 1; + ) y 0, x ( 1; + ) 1 m 0 m 1

Vậy : giá trị của m cần tìm là m 1

Đạo hàm y = (m 1) (2m 1)sin x

Hàm số y nghịch biến trên y 0, x (m 1) (2m 1)sin x 0, x

= 2x sin(2x+1) 17 y = 3x cot(x 1) 18 y = cosx 1

;+ ) 9 đb : (3 ;+ )  , ( ;1) ; nb : ( 1; 2 ) , ( 2; 3 ) 10 đb : ( ; 1),( 1;+ ) 11 nb : ( ; 1),( 1 ;+ ) 12 đb : ( ; 1), ( 1 ;+ ) ; nb : ( 1; 1 ) 13 đb : ( ;1) ; nb : ( 1; 2 ) 14 đb : ( ;1) ; nb : ( 2 ; +

3 35

¤n Thi TNPT 2009

3

2 2

2 Định m để hàm số :

1 ĐN : Gỉa sử hàm f xác định trên D ( D ) và x (a; b) D

x gọi là điểm cực đại của f f(x) < f(x ) , x (a;b)\ x

x gọi là điểm cực tiểu của f f(x) > f(x ) , x (a;b)\ x

o

2 Điều kiện cần (ĐL Fermat )

f đạt cực trị tại x

f (x ) 0

f có đạo hàm tại x

mà tại đó nó không có đạo hàm

ĐL2 : (Dấu hiệu 2) Gỉa sử hàm số f có đạo hàm liên liên tục đến cấp hai tại x và f (x ) 0

Nếu f (x ) 0 thì hàm số f đạt cực trị tại x

Nếu f (x ) 0 thì hàm số f đạ