100 KI THUAT DANH GIA GIAI HE PT THAY HUNG DZ

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN  x + y + x − y = xy + ( x + y )3 − y  Ví dụ Giải hệ phương trình  ( x + y − 1) x − x + = y + x + y +  ( ) Lời giải  x2 − x + ≥  ĐK:  y ≥  x + y +1 ≥ (*) Từ (2) ⇒ x + y − ≥ ⇒ x + y ≥ > Khi ta có 3 x − y − ( x + y ) + y = ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y )  ( x − xy + y ) − ( x + y )    = ( x + y ) ( 3x − xy + y ) = ( x + y )( x − y ) ≥ ⇒ x3 − y ≥ ( x + y ) − y ⇒ x3 − y ≥ ( x + y) 3 − y dấu " = " xảy ⇔ x = y > Mặt khác x + y − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ x + y ≥ xy ⇒ x + y + x3 − y = xy + ( x + y ) − y 3 ⇒ VT (1) ≥ VP (1) dấu " = " xảy ⇔ x = y > ( ) x + x +1 ( ) 4x + x + ( ) (2 Thế vào (2) ta ( x − 1) x − x + = x + ⇔ ( x − 1) x − x + = x + ⇔ ( x − 1) ( x − 1) ( + = x +1 ) x +1 + ) ⇔ f ( x − 1) = f x + Xét hàm số f ( t ) = t t + với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = t + + (3) t2 t2 + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ nên (3) ⇔ x − = x + ⇔ x − x − = ⇔ x = ⇒ x= 1± 1+ 6+ 3+ 3+ ⇒x= = ⇒y= thỏa mãn hệ cho 2  3+ 3+  Đ/s: ( x; y ) =  ;    Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 ( x + y ) x + xy + y = x + 11xy + y  Ví dụ Giải hệ phương trình  2 ( x + y ) ( y − y + 1) = ( x + ) + x + ( ) Lời giải 2 x + ≥ ĐK:  2  x + xy + y ≥ (*) Áp dụng BĐT Côsi ta có VT (1) ≤ x + y x + xy + y ≤ ( x + y ) + ( x + xy + y ) = x + 11xy + y = VP (1) x + y ≥  x + y ≥ x + y ≥  x ≥ 0, y =  Dấu " = " xảy ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ y =     2 x = y ≥ ( x + y ) = x + xy + y 3 y = 3xy  x = y  • ( TH1 x ≥ 0, y = vào (2) ta x = ( x + ) + x + ) (3) Với x ≥ ⇒ VP ( 3) > ( x + )(1 + 1) = x + > x = VT (1) ⇒ Loại • ( TH2 x = y ≥ vào (2) ta x ( x − x + 1) = ( x + ) + x + ⇔ x ( x2 − x + 4) = ( x + 8) ( ⇔ ( x − 1) + 1 ( x − 1) + 3 =   ⇔ f ( x − 1) = f ( 2x + ) ) 2x + + ( )( 2x + +1   2x + ) + 3  ) (4) Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) ( t + 3) = t + t + 3t + với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = 3t + 2t + = 2t + ( t + 1) + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ   x ≥ x ≥ Do (4) ⇔ x − = x + ⇔  ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 2 ( x − 1)2 = x + 4 x − x − =   Thử lại x = y = thỏa mãn hệ phương trình cho Đ/s: ( x; y ) = ( 2; )  y ( x + 1) + = y + x + x + Ví dụ Giải hệ phương trình   y + x + = y − x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ −3; y ≥ 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  y ( x + 1) + 1 ≤ ( y + 1) ( x + 1) + 1 = ( y + 1)( x + x + )   ⇔ y ( x + 1) + ≤ Dấu đẳng thức xảy y + x + x + ⇔ y ( x + 1) + ≤ y + x + x + y x +1 = ⇔ y = x + Nên từ phương trình suy 1 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x + + x + = x + ⇔ x + + x + 12 = x + ( i ) a = x + b2 − a2 Đặt  ⇔ ( a + b ) + a − b2 = ( a, b ≥ ) ⇒ b − a = ( x + 5) , ( i ) ⇔ a + b = b = x + a + b = ⇔ ( a + b ) + ( a − b )( a + b ) = ⇔ ( a + b )( a − b + ) = ⇔  a + = b • Với a + b = ta có: • Với a + = b , ta có:  x + =  x = −1 2x + + x + = ⇔  ⇔ ( vô nghiệm ) x = − x + =   x + + = x + ⇔ x + + x + + = ( x + 3)  x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔ 2x + = x + ⇔  ⇔ ⇔ x = ⇒ y = ( thỏa mãn điều kiện ) x − 2x + = ( x − 1) = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (1; )  xy x + =  x+ y Ví dụ Giải hệ phương trình 1 + y xy + y   x + xy + xy − x = x + 18 Lời giải: Điều kiện: x ≥ 0; ≥ y ≥ Nhận xét: x = y = không nghiệm hệ phương trình Với x, y ≠ , đặt a = ; b = y; a, b > , x a b + = b + ab a + ab + ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: phương trình hệ tương đương với: ( a + b) a b a2 b2 1 + = + ≥ = ≥ = 2 ab ab ab b + ab a + ab ab + a b ba + ab ab ( a + b ) + 2ab + ab + + a + b (a + b) ab 2 Dấu đẳng thức xảy a = b ⇔ = y ⇔ xy = x Thế vào phương trình hai hệ, ta được: ( x + 1)( − x ) = x + 18 x + ( x + 1) x + − 4 − x  = ⇔ ( x + 1) x + + − x = x + 18 ⇔ 17 − x + ⇔4 ( x + 1)( − x ) = ( x + 1)( x + 1) ⇔ u = x + Đặt  ( u , v ≥ ) , ta có hệ phương trình v = − x x +1 = 4 − x u + v = u + v = ⇔  2 v = u − u ( )  4v = u ( − 2v ) u + v = u + v = u + v = ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 v = u u + v − u + 4 v = u v − u + ( ) ( )   4 ( v − u ) = u ( v − u ) 3 1 ⇔ v = u ⇔ x + = − x ⇔ x = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) =  ;  nghiệm hệ phương trình 2 2 2  x2 + y + y + 2 2 x + xy + y + x + y =  Ví dụ Giải hệ phương trình  ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = x − y +  Lời giải Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Điều kiện x; y ∈ ℝ Phương trình thứ hai tương đương với x + y x2 + y + y + x + y − 2x − y + = 5x − y + ⇔ x + y = x + y + y + ⇔ = 2 7x + 5y Phương trình thứ trở thành x + xy + y + x + y = 7 x + xy + y = ( x + y )2 + ( x − y )2 ≥ ( x + y ) Nhận xét  2 2 12 x + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) 3x + y 3x + y x + y Dẫn đến x + xy + y + x + y ≥ x + y + ≥ 2x + y + = 2 Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức x = y  x ≥ 0; y ≥ x = y =   ⇔ x = y ⇔  x + y ≥ 0;3 x + y ≥ x = y =   2  7 x + y = x + y + y +  x + = x 1 1 Thử lại nghiệm ta thấy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  ;  2 2 2 2  y + y − x = ( y + 1)( y + − x )  Ví dụ Giải hệ phương trình   y + ( x + 1) x + x + = x − x Lời giải: Điều kiện: y ≥ 0; y ≥ x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho phương trình hệ, ta có: ( y + y − 2x ) =( y + y − x Dấu đẳng thức xảy y ) = ≤ ( y + 1)( y + − x ) ⇔ y + y − x ≤ ⇔ y − 2x ( y + 1)( y + − x ) y ( y − 2x) = ⇔ y ( y − 2x) = ⇔ y − xy + x = x + ⇔ ( y − x ) = x + ⇔ y = x + x + 2 ( Thế xuống phương trình thứ hai hệ, ta được: x + x + ) + ( x + 1) x2 + x + = x2 − x ⇔ x + + x x + + ( x + 1) x + x + = x − x ⇔ x + + x x + + ( x + 1) x + x + = ⇔ x + + ( x + 1) x + x + = x x + − x ⇔ x + + ( x + 1) ( x + 1) Xét hàm số f ( t ) = t + t t + với t ∈ ℝ , có f ' ( t ) = + t + + + = ( −x) + (−x) t2 t2 + (−x) +2 (i ) > 0; ∀t ∈ ℝ suy f ( t ) hàm số liên tục đồng biến ℝ nên từ ( i ) thu f ( x + 1) = f ( − x ) ⇔ x + = − x ⇔ x = − ⇒ y =   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  − ;1   Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016!