Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình y +1 x −1 y − = x2 − x + x − + x2 − x − y = x − + − x x − x + x + y = y + y + y + 8 ( x − 1) ( y + 1) − = − x − y 2x x + 3y + x − xy + y x − xy + y 2 − − + + =4 x y x x y 2 2 x − xy + y + x − xy + y = 2 2 x + xy + y = 11 2x x + 3y + 2 x − xy + y x − xy + y 2 x y x x y − − + + =4 ( ) ( ( ) ( =3 ) x + 11 ( x + y) =3 ) x ( x − y ) + y ( x − y ) = Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình x − + y − + x + y − = Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Từ điều kiện ta có x − y ≥ 0;3 x − y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x + x − y y + 3x − y x ( x − y ) + y (3x − y ) ≤ + = 3x 2 x = 2x − y Dấu đẳng thức xảy ⇔ x= y 2 y − 3x − y Phương trình thứ hai trở thành 3x − + 2 x − = ⇔ 3x − − + ⇔ Vì ( ) 2x −1 −1 = ( x − 2) 3x − 3 + = ⇔ ( x − 1) + =0 3x − + 2x −1 +1 x − + 1 3x − + + > ⇒ x − = ⇒ x = y = Kết luận hệ có nghiệm 3x − + 2x −1 +1 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ) ( ( Facebook: LyHung95 x 1+ y +1 = y x +1 − x Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x + 3) = − x2 + x +1 + y y Lời giải: ) ) ( x +1 + x = +1 + x x x t2 Xét hàm số f ( t ) = t + t + ( 0; +∞ ) ta có: f ' ( t ) = + t + + >0 t2 +1 Do hàm số f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) ta có: f ( y ) = f ⇔ y= x x ĐK: x ≥ 0; y ≠ Khi ta có: PT (1) ⇔ y + y + = ( ) x + + x + x = 3x − x + x−3 x + x − 36 ⇔ x + − + x2 + x − = x (3 − x ) ⇔ + = x (3 − x ) ⇔ x = x +1 + 2x2 + 6x + Vậy nghiệm PT là: ( x; y ) = 3; 3 Thế vào PT(2) ta có: x3 x − y = xy + y Ví dụ 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình y 3 x + + x + 18 y + 27 y = x + Lời giải: x3 x ĐK: y > 0; x ≥ −1; x + 18 y ≥ Khi ta có: PT (1) ⇔ − y = xy − Do x = nghiệm y y nên ta có: 3 x2 y x PT ⇔ − = 9y − Đặt u = ;3 y = v ⇒ u − = v − u v y x y y Xét hàm số f ( t ) = t − liên tục đồng biến ( 0; +∞ ) f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v t Do đó: x = y vào PT(2) ta có: x3 + + x + x + x3 − x = ⇔ x3 + − + x2 + x − + x ( x − ) = ⇔ x3 − x +1 + x + 2x + x+8 ⇔ ( x − 2) + + x = ⇔ x = 2; y = 3 x2 + 6x x +1 + 2 Vậy nghiệm HPT cho là: ( x; y ) = 2; 3 + x + x − 16 x + 6x + x2 ( x − 2) = 4 x + y + x + y = Ví dụ 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình x ( x − ) + y + y = xy Lời giải: ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0; x − x + y ≥ Khi ta có: PT ( ) ⇒ x ( x − ) + y − xy + y − xy = ⇔ x − x + y − xy x ( x − ) + y + xy + y − xy =0 y + xy Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ⇔ ( x − )( x − y ) x ( x − 2) + y + xy + Facebook: LyHung95 y ( y − x) x−2 y = ⇔ ( x − y) − = ( 2) y + xy MS y + xy Do x; y ≥ Từ PT(1) ta có: x ≤ ⇔ x ≤ Do ( ) ⇔ x = y Khi đó: x + x = ⇔ x = = y Vậy nghiệm PT cho là: ( x; y ) = (1;1) x + + x − ( x + y ) = y + ( x + 1)( y + ) Ví dụ 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình y x − + y + x + = x + Lời giải: ĐK: x ≥ 1; y ≥ 0; x ≥ x + y ( Khi đó: PT (1) ⇔ x + ⇔ x + ( ) ) x + − y + + x2 − ( x + y ) − y = x2 − y − ( x + y ) x − y −1 + =0 x +1 + y + x2 − ( x + y ) + y x +1 x+ y = ⇔ x = y + vào PT(2) ta có: ⇔ ( x − y − 1) + x +1 + y + x − ( x + y ) + y x+6 = ( x = không nghiệm) ( ) ⇒ ( x − 1) x − + 3 x + = x + ⇔ x − + 3 x + − x −1 x+6 Xét hàm số f ( t ) = x − + 3 x + − đồng biến (1; +∞ ) x −1 Mặt khác ta có f ( x ) = f ( ) ⇔ x = 2; y = nghiệm HPT cho ( ) 2 2 2 x − 10 xy + y + x − xy + y = ( x + xy − y ) Ví dụ 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình x + y − 2y + y = x x + y Lời giải Điều kiện x + y ≠ Phương trình thứ hai hệ tương đương với x + y − y = ( x − y )( x + y ) ⇔ x + y − y = x + 3xy − y ⇔ x + y = x + 3xy − y Phương trình thứ trở thành x − 10 xy + y + x − xy + y = ( x + y) Nhận xét x − 10 xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) 2 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) 2 2 Dẫn đến x − 10 xy + y ≥ x + y 3 ⇒ x − 10 xy + y + x − xy + y ≥ x + y ≥ ( x + y ) x + y 2 x − xy + y ≥ Do hệ có nghiệm dấu đẳng thức đồng thời xảy tức x = y x = y; x + y ≥ x = y = ⇔ x ≥ 0; y ≥ ⇔ 2 x = y =1 x + y = x + xy − y 2 x = x Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = y = x2 + y + y + 2 2 x + xy + y + x + y = Ví dụ 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 ( x − 1) + ( y − 1) = x − y + Lời giải Điều kiện x; y ∈ ℝ Phương trình thứ hai tương đương với x2 + y2 − x − y + = 5x − y + ⇔ x + y = x2 + y + y + ⇔ Phương trình thứ trở thành x + xy + y + x + y = 7x + 5y x + y x2 + y + y + = 2 7 x + xy + y = ( x + y )2 + ( x − y )2 ≥ ( x + y ) Nhận xét 2 2 12 x + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) 3x + y 3x + y x + y ≥ 2x + y + = Dẫn đến x + xy + y + x + y ≥ x + y + 2 Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức x = y x ≥ 0; y ≥ x = y = ⇔ x = y ⇔ x + y ≥ 0;3 x + y ≥ x = y = 2 7 x + y = x + y + y + x + = x 1 1 Thử lại nghiệm ta thấy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) , ; 2 2 x x2 + y + = y − + Ví dụ 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình x x+ y + =1 2 2 x + xy + y x − xy + y Lời giải Điều kiện y ≥ Từ phương trình thứ hệ x x + y + = y −1 + ≥ ⇒ x > 5 x + xy + y = ( x + y )2 + ( x − y )2 ≥ ( x + y ) Nhận xét 2 2 7 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) Dẫn đến x + xy + y ≥ x + y = x + y ⇒ x − xy + y ≥ x + y = x + y ⇒ Do x x + xy + y + x+ y x − xy + y ≤ x x + xy + y x+ y x − xy + y 2 ≤ x 2x + y ≤ x+ y 2x + y x+ x+ y = 2x + y x = y Dấu đẳng thức xảy x > 0; y ≥ ⇔ x = y = (Thỏa mãn hệ) y =1 Kết luận toán có nghiệm x − xy + y + x − xy + y = x + y Ví dụ 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình x − x − y + 14 = x + 18 + y − Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Lời giải Điều kiện x ≥ −3; y ≥ Ta có ( x + y) x − xy + y + x − xy + y = ( x + y) 2 Facebook: LyHung95 ( x + y) 2 x+ y + 3( x − y ) + x+ y ( x + y) + 7( x − y) x+ y = x+ y 4 2 Do phương trình thứ hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa x − y = ⇔ x = y ≥ + = + ≥ Phương trình thứ hai hệ trở thành x − x + 14 = x + 18 + x − Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x +3+ x +9 x + 18 = ( x + 3) ≤ = 2 + x −1 x +1 x − = ( x − 1) ≤ = 2 x + + x +1 = x+5 Suy x + 18 + x − ≤ 2 Lại có x + ≤ x + + ( x − 3) = x − x + 14 ⇒ x + 18 + x − ≤ x − x + 14 x −1 = Do phương trình ẩn x có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức ⇔ x =3 x + = Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm x = y = ) ( ( x + y2 +1 − x + = y y − x + Ví dụ 15: [ĐVH] Giải hệ phương trình x ( y − 1) − x + = x + y − 17 Lời giải: +) ĐK : x ≥ −3 +) Xét pt( 1) : ) x + y2 +1 + y x + = y2 + x + x + + y2 +1 x + y + ≤ y2 + x + 2 Ta có → x + y + + y x + ≤ ≤ y2 + x + 2 y x +3 ≤ y + x +3 Xảy dấu y = x + +) Thế vào pt(2) ta x3 + x − x + = x + x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = x + x + + x + x + x = ⇒ x + = x + x + ⇔ x = −3 → ( x; y ) = (1; ) , 0; ,( −3; ) x = { ( ) } Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015