ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM 2016

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) MÃ KÝ HIỆU [******] Câu (2 điểm) Cho biểu thức : A=  x+ y  x+ y y x : − + ÷− x + y  x − y y − xy xy + x ÷  ( x− y ) 2 Với x > ; y > x ≠ y 1) Rút gọn A  y = ( x + 1) 2) Tìm x y cho   A = −1 Câu (2 điểm) 1) Cho phương trình : x − (3m − 2) x + 2m − 5m − =0 x + x − 14 Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm 2) Giải phương trình : ( ) )( x + − x + + x + x + 10 = Câu (2 điểm) 1) Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n2 Chứng minh n2 + m không số phương 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = ( x + y + 1) xy + x + y + xy + x + y ( x + y + 1) Với x, y số thực dương Câu (3 điểm) Cho (O; R) điểm A nằm đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) (với B, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ADE với (O) (D nằm A E ; DE không qua O) Gọi H trung điểm DE F I giao điểm BC với OA DE Gọi K giao điểm thứ hai BH với (O) 1) Chứng minh HO phân giác góc đỉnh H ∆BCH 2) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF thuộc đường cố định cát tuyến ADE quay quanh A 3) Hãy xác định vị trí cát tuyến ADE để ∆AKE có diện tích lớn Câu (1 điểm) : Xếp 10 số tự nhiên liên tiếp từ đến 10 thành vòng tròn theo thứ tự tùy ý Chứng minh tồn ba số ba vị trí liên tiếp có tổng lớn 17 Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm trang) MÃ KÝ HIỆU [******] Chú ý : - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa câu biểu điểm - Điểm thi tổng điểm câu làm không làm tròn Câu Đáp án Điểm (1 điểm) A= = { x− y − x− y x − y < x < y x > y > (2 điểm) (1 điểm)  x + = y  y = ( x + 1)  x > 0; y > ⇔ ta có  x ≠ y  A = −1  x − y = −1 Suy : x + = x + ⇔ x = x ⇔ x = (vì x > 0) ⇒ y = Với  Kết luận (x; y) = (1; 4) cặp giá trị cần tìm (1 điểm) ĐKXĐ : x ≠ ; x ≠ -7 Với x ≠ ; x ≠ -7 pt ⇔ x − (3m − 2) x + 2m − 5m − = PT có hai nghiệm : x = 2m + x = m – Khi : 1 ⇒ pt có nghiệm x = −2 2 Với m − = ⇔ m = ⇒ pt có nghiệm x = 11 Với m − = −7 ⇔ m = −4 ⇒ pt vô nghiệm Với 2m + = −7 ⇔ m = −4 ⇒ pt vô nghiệm Vậy giá trị cần tìm m m ∈ { ; 5} Với 2m + = ⇔ m = (2 điểm) (1 điểm) ĐKXĐ : x ≥ -2 Đặt x + = a, x + = b (a > b ≥ 0; a − b = 3) Đưa pt 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (a − b)(1 + ab) = a − b ⇔ (a − b)(1 − a )(1 − b) = 1 − a = a = ⇔ ⇔ 1 − b = b = Với a = x = -4 ( loại) Với b = x = -1 (thỏa mãn đk) Vậy x = -1 nghiệm pt 0,5điểm 0,5điểm (1 điểm) Giả sử n + m = k (1) k ∈ ¥ * * Vì m ước nguyên dương 2n2 ⇒ 2n2 = mp ( p ∈ ¥ ) (2) Từ (1) (2) có : n2 + 2n = k2 p 0,25 điểm ⇔ n p + 2n = pk ⇔ n p + 2n p = p k ⇔ n ( p + p ) = p k Suy p + p số phương ( vô lí) p < p + p < ( p + 1) Suy điều giả sử sai ⇒ đpcm 0,5 điểm 0,25 điểm (1 điểm) (2 điểm) ( x + y + 1) ≥3 Với x > ; y > ta chứng minh xy + x + y ⇔ ( x + y + 1) ≥ 3( xy + x + y ) ⇔ x + y − xy − x − y + ≥ ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + ( x − y ) ≥ 0,25 điểm Dấu “ = ” xảy ⇔ x = y = 1  ( x + y + 1) A = a + =a⇒ a Đặt xy + x + y  a ≥ a 1 a 10 Có A = a +  + ÷ ≥ ×3 + × = ( theo BĐT Cô-si) 9 a 9 a Dấu “ = ” xảy ⇔ a = ⇔ x = y = Vậy Amin = 10 ⇔x=y=1 0,5 điểm 0,25 điểm (1 điểm) 0,25 điểm Ta có A, B, C, H, O thuộc đường tròn đường kính OA Mà AB = AC (3 điểm) ⇒ ·AHB = ·AHC ⇒ HA tia phân giác góc BHC mà OH ⊥ HA ⇒ HO tia phân giác đỉnh H ∆BHC (1 điểm) 0,75 điểm Chứng minh AD.AE = AB2 AF.AO = AB2 AD AF = AO AE · · ∆AOE (c.g.c) ⇒ AFD = AEO ⇒ AD.AE = AF.AO ⇒ ⇒ ∆ADF : ⇒ Tứ giác DEOF nội tiếp OF dây cung cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF thuộc đường trung trực OF (đpcm) (1 điểm) · AC tiếp tuyến (O) ⇒ ·ACB = CKB Vì tứ giác ABHC nội tiếp ⇒ ·ACB = ·AHB · Suy ·AHB = CKB ⇒ CK // AE ⇒ khoảng cách từ C K đến AE ⇒ SAKE = SACE Kẻ EG ⊥ AC ⇒ EG ≤ CE ≤ 2R SACE = AC.EG ≤ AC.R (không đổi) Dấu “ = ” xảy ⇔ CE = 2R ⇔ CE đường kính (O) Vậy SAKE đạt max cát tuyến ADE qua điểm E đối xứng với C qua O Giả sử xếp 10 số tự nhiên thành vòng tròn theo thứ tự số : a1 ; a2 ; a3 ; … ; a10 Xét tổng ba số ba vị trí liên tiếp a1 + a2 + a3; a2 + a3 + a4 ; …; a8 + a9 + a10; a9 + a10 + a1; a10 + a1 + a2 Có 10 tổng số tự nhiên từ đến 10 lặp lại ba lần tổng (1 điểm) Tổng 10 tổng là: 3(1 + + + …+ 10) = 165 Nếu 10 tổng nhỏ 17 tổng 10 tổng nhỏ 160 (vô lí) Vậy tồn ba số ba vị trí liên tiếp có tổng lớn 17 (Đpcm) Ban giám hiệu duyệt Ý kiến Tổ/Nhóm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Hải Phòng, ngày 14/1/2016 Giáo viên đề