MÃ KÍ HIỆU [*****] ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015 – 2016 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm câu, 01 trang) Câu (2 điểm): x x + 26 x − 19 x x −3 − + , (Với x ≥ 0; x ≠ ) x+2 x −3 x −1 x +3 a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức: P = b) Tính giá trị biểu thức với x = + + − + c) Tính giá trị nhỏ biểu thức P Câu (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x + xy + y ) = 7( x + y ) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: x + y = x x + y y = − 3m Câu (2 điểm): Tìm tất số tự nhiên n sau cho: n − 14n − 256 số phương Cho a > 0, b > ab=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (a + b + 1)( a + b ) + a+b Câu (3 điểm): Cho hai đường tròn ( O; R ) (O '; R') tiếp xúc A (R>R’) Vẽ dây AM (O) dây AN (O’) cho AM ⊥ AN Gọi BC tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) với B ∈ (O) C ∈ (O ') a) Chứng minh ba đường MN, BC, OO’ đồng qui b) Xác định vị trí M N để tứ giác MNO’O co diện tích lớn Tìm diện tích Cho tam giác nhọn ABC Gọi , hb , hc đường cao ma , mb mc trung tuyến ứng với đỉnh A, B, C Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: ma mb mc R + r + + ≤ hb hc r Câu (1 điểm): Cho 2016 đường thẳng có tính chất đường thẳng cắt hình chữ nhật cho trước thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có 504 đường thẳng qua 27 điểm - Hết - MÃ KÍ HIỆU [*****] ĐÁP ÁN CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015 – 2016 MÔN : TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Câu (2 điểm) Đáp án Điểm a) (1 điểm) Với điều kiện ta có: P= x x + 26 x − 19 − 2x − x + x − x − x + ( x − 1)( x + 3) x x − x + 16 x − 16 = ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 16) x + 16 = ( x − 1)( x + 3) x +3 b) (0,5 điểm) = Đặt 0,5 0,5 y = +5 + −5 ⇔ y = 14 − y ⇔ ( y − 2)( y + y + 7) = ⇔ y = ⇒ x = (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ ) Thay x = vào biểu thức rút gọn P ta P = c) (0,5 điểm) x + 16 25 P= = x +3+ −6 x +3 x +3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương ta có 25 P = x +3+ − ≥ 2.5 − x +3 25 ⇔x=4 ⇒ P ≥ 10 − = Vậy P = ⇔ x + = x +3 1) (1 điểm) Có (x2 + xy +y2) = (x + 2y) (1) => (x + 2y) M => (x + 2y) M Đặt x + 2y = 5t (2) (t ∈ Z ) Phương trình (1) trở thành x2 + xy + y2 = 7t Từ (2) => x = 5t – 2y Do đo ta 3y2 – 15ty +25t2 -7t = (*) ∆ = 84t − 75t 28 => t = t = (Vì t ∈ Z) Để phương trình (*) có nghiệm ≤ t ≤ 25 Tư ta có (0; 0); (-1; 3); (1; 2) nghiệm phương trình 2) (1 điểm) Đặt u = x , v = y ( ≤ u, v ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 u + v = ⇔ Hệ phương trình trở thành u + v = − 3m u + v = uv = m Khi u,v nghiệm phương trình bậc hai ẩn t: (*) t2 − t + m = Hệ phương trình có nghiệm pt(*) có nghiệm không âm Khi ≤ m ≤ 0,5 1) (1 điểm) Đặt: 2 n − 14n − 256 = b2 ( b ∈ N ) ⇔ (n − 7) − k = 305 ⇔ (n − k − 7)(n + k − 7) = 305 n+k −7 > n−k −7 ⇒ Bài (2điểm) n − k − = TH ⇔ n = 160(TM ) n + k − = 305 n − k − = −305 TH ⇔ n = −146( L) n + k − = −1 1,0 n − k − = TH ⇔ n = 40(TM) n + k − = 61 n − k − = −61 TH ⇔ n = −26( L ) n + k − = −5 Vậy n=40, k=20 n=160, k=150 2) (1 điểm) Áp dụng bđt Cô si ta có: 1=2ab ≤ a + b 2 ] a+b ⇒ A ≥ + (a + b + ) + ( a + b) a+b Áp dụng BĐT cô si: A ≥ + ( a + b) + ab = ( a + b) Vậy GTNN A=8 a=b=1 0,25 A ≥ 2[(a + b+ 1) + 0,25 0,25 0,25 Câu (3 điểm) a) (1 điểm) Chứng minh OM//ON 0,25 PO ' PC = PO PB P 'O ' P 'C = Gọi P’ giao điểm OO’ MN, ta cm P 'O P ' B Gọi P giao điểm OO’ với BC, ta cm Suy PO ' r P ' O ' = = PO R P ' O 0,25 0,25 Vậy P ≡ P ' Hay MN, BC, OO’ đồng quy b) (1 điểm) ( O ' N + OM ) O ' H ≤ ( O ' M + OM ) OO ' Kẻ O’H ⊥ OM, SOMNO ' = 2 ( R + R ') SOMNO ' ≤ 0,25 0,5 Dấu “=” xảy H ≡ O ⇔ OM ⊥ OO ' O ' N ⊥ OO ' Vậy maxSOMNO ' = ( R + R ') 2 0,5 2) (1 điểm) 0,25 Gọi AB= c, AC= b, BC= a Gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ABC A1, B1, C1 theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CA, AB Có AA1 = ma ≤ R + OA1 BB1 = mb ≤ R + OB1 CC1 = mc ≤ R + OC1 1 OA OB OC1 ma mb mc + + ≤ R + + ÷+ + + ÷( 1) hb hc h h h h h h a b c a b c 2S 2S 2S 2S = a+b+c = + + ( 2) Có 2S = ( a + b + c ) r ⇒ r hb hc ⇒ Có 2S = a.OA1 + b.OB1 + c.OC1 = Suy OA1 OB1 + hb Từ (1), (2), (3) suy Khi ∆ABC 0,25 0,25 2S 2S 2S OA1 + OB1 + OC1 hb hc OA OB OC1 = 2S + + ÷ hb hc OC1 + ÷ = 1( ) hc m m m R+r ⇒ a+ b+ c ≤ ⇔ AB = AC = BC hb hc 0,25 Câu (1 điểm) 0,25 Các đường thẳng cho cắt hai cạnh kề hình chữ nhật Các đường thẳng cắt hai cạnh đối diện hình chữ nhật( không qua đỉnh) Gọi H, Q, K, P lad trung điểm AB, BC, CD, DA Giả sử MN cắt hình chữ nhật tạo thành tứ giác AMND MBCN S AMND = Suy Giả sử MN cắt PQ E S MBCN 27 ( AM + DN ) AD PE = ⇒ = ⇒ EQ 27 Suy ( MB + CN ) BC 27 E cố định Do tính đố xứng ta tìm PQ điểm F có tính chất giống điểm điểm E Bằng cách tương tự ta tìm điểm G, J có tính chất giống điểm I (hình vẽ) 2016 − ] = 504 đường thẳng qua điểm Theo nguyên lí Dirichlet có + [ - Hết NGƯỜI RA ĐỀ TỔ TRƯỞNG BAN GIÁM HIỆU 0,5 0,25