MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 [*****] MÔN:TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm ,1trang) Bài :(2điểm) Cho P = x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) (1 + x )(1 − y ) Tìm điều kiện để P xác định , rút gọn P Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = Bài : (2 điểm ) Cho phương trình : ( x + m − ) [ x + 2( m + 2) x + 4m − 8] = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương nghiệm âm Giải hệ phương trình ( ( ) ) ( x + y ) x + y = 15 ( x − y ) x − y = Bài : (2 điểm ) Gọi S(n) tổng tất ước số lẻ lớn số tự nhiên 1,2,3, ,2 n( n ≥ 0) Chứng minh : S (n) = 4n + Cho a ,b,c > Chứng minh: a b c + + ≥ 12 b −1 c −1 a −1 Bài 4: (3 điểm ) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp Tính AH.AK theo R Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN + KB ) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài 5:( điểm ) Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi khác , số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X tìm hai phần tử x, y cho x − y ∈ { 3;6;9} Hết MÃ KÍ HIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015 - 2016 [*****] MÔN:TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi 10 điểm Bài Đáp án Điểm (1 điểm) x + y ≠ x ≠ − y Điều kiện 1 − y ≠ ⇔ x ≠ −1 1 + x ≠ y ≠ P= (2 điểm) x (1 + x ) − y (1 − y ) − x y ( x + y ) = x + xy – y ( x + y )(1 − y )(1 + x ) + ĐK : 0,5đ + Rút gọn : 0,5đ điểm 2.(1điểm) P = ⇔ x + xy − y = ⇔ x( y + 1) = y + y ≠ −1 ⇔ y+2 x = y + = + y + x, y ∈ Z nên y+1 ước => y = ; Ta (x ; y) = (2 ;0) ; (0 ;-2) + Biểu diễn x theo y : 0,5đ (2 điểm) + Tìm x, y : 0,5đ điểm x = − m 1.(1 điểm ) Phương trình (1) ⇔ x + 2( m + ) x + 4m − = (a ) Ta xét trường hợp : TH1: m > x = – m < Xét pt (a) có ∆ ' = = m + 10 > 0∀m Phương trình(a)luôn có hai nghiệm phân biệt x1 x2 x1 x = 4m − > Theo hệ thức Viét ta có =>x1 < 0, x2 < (không x1 + x = −2( m + 2) < tm) TH2 : m = phương trình có nghiệm x = 0, x = -8 (không tm) TH3: m < , x = – m > Mà x1x2=4m – < nên x1< < x2 Vậy m < phương trình có nghiệm dương nghiệm âm TH : 0,5đ + TH : 0,25đ ( ( + TH : 0,25đ ) ) điểm ( ) ( x + y ) x + y = 15 (3) ( x + y ) x + y = 15 (1) ⇔ 2.(1 điểm ) ( x − y ) x − y = (2) 5( x + y )( x − y ) = 15 (4) Trừ theo vế (3) (4) ta : ( x + y ) [ x + y − 5( x − y ) ] = ⇔ x + y − 5( x − xy + y ) = (vì x + y ≠ theo1) 2 x − y = x = y ⇔ ⇔ ( x − y )( x − y ) = ⇔ x − y = y = 2x + Với x = 2y , thay vào (2) ta y = 1=> x = + Với y = 2x , thay vào (2) ta x = 1=> y= Vậy hệ pt cho có hai nghiệm (2 ;1) ; (1 ;2) 0,5đ + 0,25đ (2 điểm ) 0,5đ 0,25đ 0,25đ + 0,25đ điểm 1.(1 điểm ) Với số lẻ 1,3,5,7, ,2n – ước lẻ lớn thân số Với số chẵn : = 2.1 ; = 2.2 ; = 2.3 ; ;2n = 2.2n-1 nên tổng ước lẻ lớn số chãn : 2,4,6, 2n tổng ước lẻ lớn số 1,2, 3, ,2n-1= S(n-1) Vậy S(n) = +3 + +7+ +(2n – )+ S(n – ) 0,25đ n +2 Ta chứng minh S (n) = (1) Với k số lẻ : 1,3,5,7, ,2k – 1ta có : + + 5+ + + 2k – 1= k2 (2) (2) với k = 1, giả sử (2) với k = m tức : + + 5+ + + 2m – 1= m2 =>1 + + 5+ + + 2m – + 2m + 1= (m+1)2 => (2) với k = m+1 Vậy (2) với k ∈ N * 2n − + + S (n − 1) = n−1 + S (n − 1) (3) => S (n) = 0,5đ Xét CT (1) Với n = 1, n = (1) Giả sử (1) với n = k Ta chứng minh (1) với n = k + Thật : S (k ) = 4k + Theo (3), S (k + 1) = k + S (k ) = k + k + k +1 + Vậy (1) với n = k+1 => 0,25đ = 3 (1) với n 1điểm (1 điểm )Từ Gt => a − > 0, b − > 0, c − > Áp dụng BĐT Cô si cho số dương ta có : a b c + + ≥ 33 b −1 c −1 a −1 Có ( ) ( ( abc a −1 b −1 ) a − ≥ ⇒ a ≥ a −1 ⇒ )( )( ) c −1 a ≥ 4( a − > 0) a −1 0,25đ b c ≥4 , ≥4 b −1 c −1 Tương tự : ⇔ ( abc a −1 b −1 )( )( ) c −1 ≥ 64 Vậy 0,5đ a b c + + ≥ 12 b −1 c −1 a −1 0,25đ điểm (3 điểm ) 1.0,5điểm 0,25đ Có ∠BKH = 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đt) Tứ giác BCHK có 0,25đ ∠BCH + ∠BKH = 180 nên tứ giác BCHK nội tiếp 2.(1điểm ) Chứng minh ∆ACH đồng dạng với ∆AKB (g-g) AH AC R = ⇒ AH AK = AC AB = R = R AB AK 0,5đ 0,5đ (1,5đ) Tam giác MAB vuông M , có MC ⊥ AB nên MC = AC.CB 3R 3R , MN = 2MC = 3R = ⇒ MC = Tam giác MCB vuông C nên MB2 = MC2 + MB = = 3R2 0,5đ MB = MN = NB = 3R => MNB Trên KN lấy điểm I cho KI = KB => tam giác KIB tam giác BI = BK 0,5đ ∆BIN = ∆BKM (c − g − c ) ⇒ NI = MK Do đo KM + KN + KB = 2KN KM + KN + KB lớn 2KN lớn ⇔ KN lớn ⇔ KN đường kính đường tròn (O) 0,5đ ⇔ K điểm cung MB Khi KM + KN + KB = 4R 1,5điểm (1điểm ) Sắp xếp số cho theo thứ tự tăng dần : ≤ a1 < a < a3 < < a700 Bổ sung thêm số + + 9( i = 1,2, ,700) lập bảng sau 699 700 a1 a2 a3 a699 a700 a1+3 a2+3 a3+3 a699+3 a700+3 a1+9 a2+9 a3+9 a699+9 a700+9 Bảng gồm 2100 số tự nhiên , số x i bảng thỏa mãn ≤ x1 ≤ 2006 + = 2015 ( i=1,2,3,4, , 2100), có số Mặt khác số dòng đôi khác , số cột đôi khác Vì tồn hai số a i+ x = aj +y với 0,5đ x, y ∈ { o;3;9} a1 − a j = y − x ⇔ a1 − a j = y − x ∈ { 0;6;9} -Hết - i,j ∈ {1;2;3; ;700} 0,5điểm