CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – MỖI NGÀY MỘT BÀI TOÁN HAY Bất đẳng thức : Cho x,y,z > xyz + x + z = y Tìm max : P 2 2 1 x 1 y 1 z2 Cách : Lượng giác hóa : xyz x z y _ x, y, z P 2 x 1 y 1 z 1 Từ giả thiết ta có : 1 xyz x z y xz x y y z a b c a b a c c b x tg , y tg , z tg tg tg tg tg tg tg 2 2 2 2 Tính chất lượng giác t/c góc tam giác a b c 1800 => cos Từ ta có : P ab c sin 2 2 a b c tg tg tg 2 a b c c 2.cos 3.cos (1 cos a ) (1 cos b) 3(1 sin ) 2 2 ab ab c c c ab cos cos 3sin 3sin 2.sin cos 3 2 2 2 P 2.cos c c a b c c 2.sin cos 3sin 2.sin 2 2 10 10 f (t ) 3t 2t ( 3.t )2 3 c t sin P 3sin Dấu “=” : Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – MỖI NGÀY MỘT BÀI TOÁN HAY 1) t sin c c tg 2 a b a b kết hợp a b a b c b a a a 1 tg tg tg tg tg tg tg .tg tg a 2 2 2 2 b 2 2 2) cos Bình luận : Với cách thật khó mà nghĩ đến không làm quen trước , phải sử lý điều kiện dấu khó khăn , nhanh gọn để kết thúc toán dễ dàng ( A B) Cách : THẾ VÀO VÀ SỬ DỤNG : A.B (1 x ).(1 y ) ( x y ) Ta có : xyz x z y z P yx xy 2 3(1 xy )2 2( x y ) 3(1 xy ) x y (1 xy ) ( y x)2 (1 x ).(1 y ) (1 x ).(1 y ) 2( x y ) 3( x y ) ( y x)(5 x y ) 3 3 2 2 (1 x ).(1 y ) (1 x ).(1 y ) (1 x ).(1 y ) P ( y x)(5 x y ) (3 y 3x)(5 x y ) (3 y x x y ) (2 x y )2 3 (1 x ).(1 y ) 3(1 x ).(1 y ) 12(1 x ).(1 y ) 12(1 x ).(1 y ) Tá có : (1 x ).(1 y ) ( x y )2 (2 x y )2 10 3 Vậy P 12( x y ) Dấu xảy : y x x y , x 1 , xyz x z y x , y 2, z y Bình luận : Cách khó đoạn nhân thêm tử mẫu số ( y x)(5 x y ) (3 y 3x)(5 x y ) (1 x ).(1 y ) 3(1 x ).(1 y ) Cái người ta làm dựa vào điểm rơi kinh nghiệm xử lý toán Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – MỖI NGÀY MỘT BÀI TOÁN HAY Cách : Đưa toán có biến biến đối xứng , sử dụng : (1 A2 )(1 B ) (1 AB) Dấu A B 2 2 1 x 1 y 1 z2 1 xyz x z y xz x z 1, Dat : y y y y' P xz xy ' zy ' P 2 2 y '2 2 2 1 x 1 1 z 1 x 1 y ' 1 z2 y '2 Ta đổi lại đề cho dễ hình dung , để y’ trông rối mắt : 2b 2 a b c2 ab bc ac P P 2b 2 2 2 2 a b c a b c2 Bài toán đối xứng biến a,b , ta tìm cách dồn biến a,b c ab thay vào P ta có : ab P 2a b (1 a )(1 b ) P 5a b 6ab 3 (1 a )(1 b ) Ta chứng minh : 2a b 3(a b 2ab) (1 ab) (1 a )(1 b ) 1 ( a b) 5a b 6ab 1 (1 a )(1 b ) TH1 : Nếu tử số < hiển nhiên TH2 : Nếu tử số > ta có biến đổi sau : 5a b 6ab 5a b 6ab (1 a )(1 b ) (1 ab) Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – MỖI NGÀY MỘT BÀI TOÁN HAY 5a b 6ab 1 Ta chứng minh : (1 ab)2 Thật : 5a b 6ab 1 16a b 16ab 4(2ab 1) (1 ab) Dấu xảy : a = b = ,c= Bình luận : Cảm giác cách tự nhiên , thay và sử dụng bđt phụ quen thuộc Cách : Dùng kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến (CÁC EM TỰ TÌM HIỂU XEM THẾ NÀO NHÉ) Học Toán Thầy Quang – Càng học thấy mê Page