Luận văn cực tiểu địa phương hàm toàn phương trên nón lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI TRẦN BÍCH NGỌC cực TIỂU ĐỊA PHƯƠNG HÀM TOÀN PHƯƠNG TRÊN NÓN L i LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI TRẦN BÍCH NGỌC cực TIỂU ĐỊA PHƯƠNG HÀM TOÀN PHƯƠNG TRÊN NÓN LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN YĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn th n h tạ i trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn th ầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng Sự giúp đỡ hướng dẫn tậ n tình, nghiêm túc th ầy suốt trìn h thực luận văn giúp tác giả trưởng th n h rấ t nhiều cách tiếp cận m ột vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc n h ất thầy Tác giả xin trâ n trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, th ầy cô giáo nhà trường, gia đình bạn học viên giúp đỡ, động viên tạo điều kiện th u ận lợi để tác giả hoàn th n h khóa học T hạc sĩ hoàn th n h luận văn này! Hầ Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn T rần Bích Ngọc LỜI CAM Đ O A N Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Trong trìn h nghiên cứu hoàn th n h luận văn kế th a th n h khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trâ n trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà N ội, thắng 07 nẵm 2016 Tác giả luận văn T rần Bích Ngọc D a n h m ục kí h iệu th n g d ù n g R Tập hợp số thực M_I_ Tập số thực không âm Rn Không gian vectơ Euclid n-chiều Tập rỗng AT Ma trậ n chuyển vị m a trậ n A S(M n) Tập tấ t nón lồi đóng Mn ||x || C huẩn Euclid vectơ X (n,y) Tích vô hướng y Sym (n) Tập tấ t m a trậ n đối xứng [a,6] Tập hợp ri K P h ần tương đối K V x : 3x Với X, tồ n tạ i P h ần tử X thuộc M , phần tử y không thuộc M X M GM , y ị M c N X E X M với a < X < b X M tậ p N int-D, clD P h ần trong, bao đóng tậ p D infD, sup.D C ận D , cận D AnB, MUN Giao tậ p M N , hợp tậ p M N span K Không gian căng tậ p K aff Tập affin nhỏ n h ất chứa coneD Hình nón sinh tậ p D card£) Lực lượng tậ p D 0+ơ Nón lùi xa B(a:, e) Hình cầu mở tâm spec-E1 Phổ m a trậ n đối xứng E s c X, bán kính € M ục lục D a n h m ụ c k í h iệ u th n g dùng M đầu K iế n th ứ c b ả n 1.1 Một số kiến thức đại số tuyến t í n h 1.2 Một số kiến thức giải tích l i 11 1.3 Bài to án tối ưu có hạn c h ế 13 1.4 Tối ưu hàm to àn p h n g 14 1.4.1 Bài to án tối ưu hàm to àn phương với ràng buộc tuyến t í n h 14 1.4.2 Tối ưu hàm to àn phương l i 16 1.4.3 Tối ưu hàm to àn phương m ặt c ầ u 16 1.4.4 Tối ưu hàm to àn phương n ó n 17 B i t o n tố i u h m t o n p h n g t r ê n g ia o c ủ a n ó n với m ặt cầu 18 2.1 Điều kiện cần u 18 2.2 Bài to án đối n g ẫ u 21 2.3 Nghiệm địa phương nghiệm to àn c ụ c 25 2.4 Số giá trị cực tiểu địa p h n g 27 2.5 M ột số vấn đề k h c 35 2.5.1 Quy tắc hai từ ba (The tw o-out-of-three rule) 2.5.2 T iền tích cực (Pre-activity) giảm bớt cực 35 tiểu địa p h n g 43 2.5.3 K ết cụ th ể nón đối ngẫu cực tiểu 52 2.5.4 Sự chặt chẽ ràng buộc nón 60 K ế t lu ậ n 67 T i liệ u t h a m k h ả o 67 Mở đầu Lý chọn đ ề tà i Giả sử không gian Euclid Kn tran g bị m ột tích vô hướng ( x, y) = x Ty chuẩn ||.|| tương ứng Kí hiệu Sn = { x G hình cầu đơn vị : \\x\\ = 1} ¡E(Mn) tậ p nón lồi đóng R 71 Cho A € M7ỈXri m a trận , b € M71 m ột vectơ, r > m ột số thực B ài toán m iền tin cậy (the tru st - region subproblem ) ứng với ba {A , b, r} to án tối ưu to àn phương hình cầu (xem [1]) IIX n Ỵ2 x i chuẩn Euclid vectơ X = ( x i , , x n) € T dấu chuyển vị Cho A € M.nxn,D € MnX7ỉ m a trậ n cho, b e d € vectơ có số chiều tương ứng Bài toán tối ưu toàn phương với hạn chế tuyến tính (với tậ p hạn chế tậ p đa diện) to án tối ưu dạng (xem [2]) Bài to án miền tin cậy to án tối ưu to àn phương với hạn chế đa diện nghiên cứu kĩ (xem, th í dụ, [1], [2], [5] tài liệu trích dẫn đó), nhiều câu hỏi mở G ần đây, A lberto Segger M ounir Torki viết hai báo, dài 28 trang, nghiên cứu to án tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương giao nón ỉồi m ặt cầu, tức to án (xem [3], [4]) (1 ) K m ột nón lồi đóng §n := { ĩ Ẽ r : ||x|| = 1} m ặt cầu đơn vị M71 Ta nói X nghiệm địa phương to án (1) tạ i m ột lân cận Aí(x) X cho với X € K X € K n n n N ịx) tồn ta có f { x ) < ĩ (x) Bài to án tối ưu p h át biểu mô hình nhiều to án thực tế, xem, th í dụ, [3] Bài to án có th ể p h át biểu nghiên cứu không gian H ilbert th ay chuẩn Euclid ||.|| chuẩn Frobenius IIX IIB = {x, B x ), B m ột m a trậ n xác định dương cho trước Bài báo [3] nghiên cứu chi tiế t to án (1) Các kết báo liên quan soi sáng nhiều kết toán tối ưu hàm to àn phương, chắn có th ể p h át triển nữa, th í dụ có th ể sử dụng cải tiến kết lý thuyết xây dựng dãy lặp tìm nghiệm [1], [2] [5] để giải to án (1) Đó lí để chọn đề tà i Cực tiểu địa phương hàm toàn phương nón lồi làm đề tà i luận văn cao học M ụ c đích n gh iên cứu Mục đích Luận văn trìn h bày kết toán tìm cực tiểu địa phương hàm to àn phương giao nón lồi đóng với m ặt cầu N h iệm v ụ n gh iên cứu Nghiên cứu trìn h bày kết to án tìm cực tiểu địa phương hàm to àn phương giao nón lồi đóng với m ặt cầu Đ ố i tư ợ n g p h ạm v i n g h iên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Các to án tối ưu hàm to àn phương • P hạm vi nghiên cứu: Các to án tối ưu hàm to àn phương, đặc biệt to án tìm cực tiểu địa phương hàm to àn phương giao nón lồi đóng với m ặt cầu P h n g pháp n g h iên cứu Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức tà i liệu to án tìm cực tiểu địa phương hàm to àn phương giao nón lồi đóng với m ặt cầu D ự kiến đ ón g góp củ a luận văn Luận văn trìn h bày m ột cách có hệ thống to án tìm cực tiểu địa phương hàm to àn phương giao nón lồi đóng với m ặt cầu X ét b ất kì A khác tậ p ơ(A, K ) Ta có th ể tìm th m ột vectơ khác vectơ không ĩ Ễ Mn m ột vectơ y € X £ K, y £ K +, (trực giao với X) cho y = A x — Xx (32) Các đẳng thức x u ất (30) (32) đưa tương ứng (Ax, x) = À (X , x ) , (A ẽ , ĩ ) = (y, x) + À (x, x) T ính đối xứng A cho phép ta kết luận ( y ,x ) = (A — A) (x ,x ) T (y , x } > ( x , x ) > 0, ta th A > A Suy (31) Chọn A = A ta (y, x) = 0, đẳng thức sau có th ể xảy y = (nhắc lại X € ri ( K ) v ầ y € K +) Điều b ất kì vectơ riêng K A tương ứng với A vectơ riêng A □ H ệ q u ả Cho A € Sym (n) K G £ (K n) đối ngẫu cực tiểu Giả sử giá trị riêng nhỏ A nhận vectơ riêng r i( K ) Khi đó, ( A , K ) chứa A ^A ) phần tử Nếu A vectơ riêng r i(K ), th ì có th ể có kết th ay th ế cho Bổ đề 2.1 sau M ệ n h đ ề Cho A € Sym (n) K € £(Mn) đối ngẫu cực tiểu Lấy X chuẩn K-vectơ riêng A F mặt tương ứng Khi đó, (x, A x ) < (X , A x ) với chuẩn K-vectơ riêng Chứng minh Ta biết chuẩn X -vectơ riêng F Vì X X X X A mà mặt tương ứng chứa F vectơ riêng A p nằm ri(F ) Lấy b ất kì A tương ứng với m ặt F chứa € ri(F ) F c F nên X F-vectơ riêng A Nói riêng, 53 X € spanT1 Từ Pp[F+] c F + , suy X F-vectơ riêng Ap Áp dụng Bổ đề 2.1 cho cặp (Ap, F), ta có (x, A x ) = (x, A ỹ X ) < (x, A ỹ X ) = (x, A x ) Vậy m ệnh đề hoàn to àn chứng minh □ C h ú ý Trong M ệnh đề 2.8, thực chất không cần K phải đối ngẫu cực tiểu Chỉ cần yêu cầu m ặt F (và thế, F ) có m ột góc cực 7T đại nhỏ — Q uan sát hữu ích phải xử lí với nón lồi không đối ngẫu cực tiểu có m ột m ặt có số chiều lớn th ỏ a m ãn góc hạn chế M ột nhận xét tương tự áp dụng cho m ột số kết lại mục Chú ý M ệnh đề 2.8 cung cấp m ột đường th ay th ế M ệnh đề 2.3(b) Dưới trìn h bày m ột đánh giá lực lượng ( A , K ) H ệ q u ả Cho A € Sym (n) Những mệnh đề sau đúng: (a) Nếu K € £(Mn) đối ngẫu cực tiểu, mặt K sinh nhiều giá trị tới hạn (1) (b) Nếu K G £(Mn) đa diện đối ngẫu cực tiểu, d im K card[cr(A, K)] < r , ỈK{d)d=1 Các ràng buộc (b) tố t (16) tấ t nhiên yêu cầu tín h đối xứng A đối ngẫu cực tiểu K Ta có định lý sau Đ ịn h lý ([3], Theorem 4) Cho A e Sym (n) K € E^R71) đối ngẫu cực tiểu Cho x , x ' hai nghiệm địa phuơng khác (1) Nếu mặt tương ứng F , F ' "liên thông " theo nghĩa F c F' 54 F' c F, (33) (a) {x, A x ) = (x1, A x ' ) (b) X x' ỉà vectơ riêng A p UFI Nói riêng, số hạng chung (a) ỉà giá trị riêng bội A p up> c Chứng minh G iả sử F F ' Theo Định lý 2.1, X x' iV-vectơ riêng chuẩn hóa A T M ệnh đề 2.8 ta có b ất đẳng thức (x, A x ) < (x ' , A x') M ặt khác Định lí 2.5 cho viết (x': Ax') = Amin(A, sp a n F ') = xGspan F ’ (x , A x ) (34) 11*11=1 Vì r G r i(F) F đơn vị X c F 1, ta th X € spanF' Vì thế, vectơ chấp nhận to án cực tiểu hóa (34) Điều chứng m inh b ất đẳng thức ngược lại ( x ',A x ') < ( x , A x ) Bây xét phần (b) Ta giả sử F c F ' F u F' = F ' Lấy À' biểu th ị số hạng chung (a) Cực tiểu địa phương x' e ri(F') Ap>x' = \ ' x ' Tương tự chứng m inh M ệnh đề 2.8, ta suy X F '-vectơ riêng Api Áp dụng phần hai Bổ đề 2.1 với cặp (A p t , F '), ta th u A pix = \ ' x Nói ngắn gọn, X x' vectơ riêng Api tương ứng với m ột giá trị riêng Giá trị riêng chung n h ất th iết phải nghiệm bội phương trìn h đặc trư ng vectơ đơn vị X, x' độc lập tuyến tính □ Các kết luận Định lý 2.7 vectơ xây dựng m ặt nhỏ n h ất vectơ tới hạn Giả th iết cực tiểu địa phương quan trọng vectơ xây dựng theo m ặt lớn Giả th iết liên thông (33) m ột giả th iết cần th iết Định lý 2.7 55 Đ ịn h n g h ĩa 2 Cho K £ E^M71) đa diện T họ mặt khác rỗng K Ta nói rằng: (i) T cặp không liên thông hai mặt khác lấy từ T không liên thông (ii) T bắt (captures) K F £ F ( K ) liên thông với F ' £ T M ột điều kiện ẩn định nghĩa 2.2(i) T tạo n hất hai m ặt Khi T hình th n h m ột m ặt nh ất, để th u ận tiện, ta coi T không liên thông Mỗi nón đa diện K có th ể coi m ột đồ th ị hữu hạn Qk có giao điểm m ặt không tầm thường K M ột cạnh nối hai đỉnh m ặt tương ứng liên thông Ví dụ, đồ th ị liên kết đến nón P areto Hình 2.4 Sắc số đồ th ị Q hữu hạn số cực tiểu m àu cần th iết để vẽ giao điểm Q nên hai giao điểm kề có m àu giống (xem trích dẫn [3]) Trong định nghĩa giới thiệu m ột khái niệm đối ngẫu Đ ịn h n g h ĩa sắc số bội đồ thị Q hữu hạn số lớn màu mà sử dụng ta vẽ tất số giao điểm Q cách hai giao điểm kề vẽ với màu giống nhau, trường hợp hai vẽ Sắc số bội m ột nón đa diện K , kí hiệu v ( K ) , đơn giản sắc số bội đồ th ị liên kết G{K) Có th ể th v { K ) = m ax |card[.F ] : T £ 2jr*(-ỉClà cặp không liên th ô n g I (35) với 2S tậ p tậ p s Các số nguyên có th ể biểu diễn số cặp không liên thông nón đa diện K 56 Hình 2.4: Đồ thị liên kết nón Pareto R ị Ta có hai bình luận định nghĩa v ( K ) theo th ứ tự: th ứ nhất, họ T đ ạt cực đại (35) không cần th iết nhát; th ứ hai, T đ ạt cực tiểu (35) th ì T b (captures) K M ệ n h đ è Cho K G B(RW) ỉà đa diện đối ngẫu cực tiểu Khi đố} với A G Sym(rc), ta có: card[ơìữCmìĩl{ A , K ) \ < v { K ) Chứng minh Cho ^iocminí^, K ) biểu th ị tậ p tấ t m ặt tích cực Nếu «Fiocmin{ A cặp không liên thông, th ì card[ơìocmin(i4., K ) ] < ,K ) card [bernia (j4, K ) \ < 2.5(a) Nếu FiocminC^ K ta bỏ từ J ^ io c m in iA j K ) b ấ t đẳng thức theo Hệ v(K ), ) không cặp không liên thông, th ì chúng m ặt m liên thông đến m ột m ặt khác •^iocmin( ^ K)- H oạt động lặp lại kết thúc với m ột họ T c ^iocmmí^j K ) dó cặp không liên thông Theo Đ ịnh lí 2.7(a), T FiocminCAj K ) cho giá trị cực tiểu địa phương Vì vậy, card[ Vi , j th ì K đối ngẫu cực tiểu (infra-dual) M ệnh đề 2.9 cho giới hạn card[ [r\ ỉà phần nguyên r Bảng n 2n - 15 31 10 20 X X 30 1 X X 40 1 X 12 X 11 Vn Chứng minh Với giả th iết độc lập tuyến tính, đồ th ị liên kết với K tương tự đồ th ị liên kết với nón P areto M ị Hệ suy từ M ệnh đề 2.9 thực tế Ưp sắc số bội M ị Chú ý (36) tương ứng với lực lượng T — mặt I —I — chiều l 2j 58 +5 đ ạt cực đại định nghĩa V (M+) □ Hệ 2.6 áp dụng trường hợp riêng với p = n, ta nói K m ột nón đơn hình Đối với số chiều lớn n ta sử dụng công thức xấp xỉ Stirling n\ í=a v /27rn(—)n để nhận e Mặc dù pn tăn g chậm 2n, th a số giảm ự ũ không đủ lớn nên pn tăn g theo tốc độ mũ 2" K ết đặc biệt th ú vị m ặt có số chiều nhỏ ngược lại m ột số chiều gần dim K H ệ q u ả Cho A € Sym (n) K € H(Mn) nón lồi đối ngẫu cực tiểu sinh p vectơ đơn vị độc lập tuyến tính Mn Nếu toán biến phân (1) nhận mặt tiền tích cực có số chiều d £ { , ,p } ; card[ơìocmin(A, K )] < 2” - 2d - 2"-đ + Chứng minh Cho F m ặt tích cực Vì F d-chiều, nên 2d — = số m ặt không tầm thường chứa F , 2P~Ồ— = số m ặt hoàn to àn chứa F m ặt (2d—2)-\-{2p~d —1) liên thông với F Nếu m ột m ặt cụ thể nhóm tích cực, th ì F cho giá trị cực tiểu địa phương Vì vậy, nói đến đánh giá lực lượng cTiocmin(24, K ) i có th ể loại bỏ phần dư giữ lại 2P - - [(2d - 2) + (2p~d - 1)] = 2p - d - 2p~d + m ặt tấ t □ 59 S ự c h ặ t chẽ củ a rà n g b u ộ c nón Các điều kiện đủ với tối ưu địa phương to án tối ưu ràng buộc nón thường gọi m ột giả th iết gọi bổ sung chặt chẽ Câu hỏi giải mục là: Dưới giả th iết nên ta có th ể suy luận m ột -K-vectơ riêng chuẩn hóa A m ột nghiệm địa phương to án tối ưu (1)? Để tr ả lời câu hỏi ta cần phân biệt hai khả khác Đ ầu tiên đơn giản n h ất khả xảy ií-v e c tơ riêng chuẩn hóa, kí hiệu X, X G riK Trong trường hợp này, Theo Định lí 2.4 Chú ý ta có: X nghiệm địa phương (1) -■ ( x :A x ) = Amin(A, spamK) -■ X nghiệm to àn cục (1) K th ứ hai íí-v e c tơ riêng m ột vectơ đơn vị nằm biên tương đối K X ét qua hệ tắc sau A * : F (K ) F ^ F ( K +) ^ A k {F) = [spanT1]^ n K + (37) m ặt K K + B ổ đ ề 2 Nếu K G H (K n) đa diện, span[A x(.F)] = [spanT1]-1 với F € F ( K ) Chứng minh N hận xét A k {F) — ( K + sp a n F )+ Vì K đa diện nên bao đóng K + spanF Dễ dàng kiểm tr a K + sp a n F = T k {x ) Mx G r i(F), (38) T k (x ) = M+ ( if — x) M ặt khác, ta có T k {x ) n —T k { x ) = spanT Mx 60 G A (F ) (39) Chúng ta chứng m inh T k {x ) n —7 k (x ) c sp an F , kết luận ngược lại tầm thường Lấy m ột vectơ h khác không T k (x ) n —T k (x ), h = Oí\ (ui — x) -h = a 2(u2 - x ) với ai, a > Ui, u £ K Điều đưa cụ thể x= — V i + ( — ^ — ì u yQíi -\- OL2J yQíi + OL2J Khi F m ặt K , suy ^ , ^ € F Vì thế, h £ spamF Cuối cùng, việc kết hợp (38) (39), ta th u được: sp a n ỊA ^ (F)] = ( K + spam F)+ - ( K + span.F)+ = (Tk (x ))+ - (Tk {x ))+ = [Tk (x ) n - T k Ìx )]^ = [span^]^ Bổ đề chứng m inh hoàn toàn □ Với X £ K n §„ ií-v ec tơ riêng A có th ể biểu diễn dạng A x — (x, A x ) X £ A k {F) (40) với F m ặt tương ứng với X T giả th iết suy A x — (x, A x ) X thuộc phần tương đối A k (F) Những cần thêm vào (40) để kết luận X m ột nghiệm địa phương (1)? Định lý tr ả lời câu hỏi kích thước hình cầu Bn(x, r) = {u £ : I\u — x\ I < r} quanh X m cực tiểu địa phương tồ n 61 Đ ịn h lý Giả sử A £ Sym (n) không bội ma trận đồng nhất, mà K £ H(M") đa diện ỉà vectơ đơn vị K tương ứng X với mặt F mà không trùng với K Dưới giả thiết sau đấy: (i) A x — ( x , A x ) x £ ri[A ^ (F )], (ii) (x, A x ) = Xmin(A, sp an F ), ta suy X nghiệm địa phương (1) Chính xấc (x, A x ) < (x, A x ) 'ix £ K n n Mn(x, r) đẫy bán kính r cho 27 r = (41) y / a + fd = ( A x — (x, A x ) X, v) (42) ■ue[spanF]-Ln [A K ( í ’)]+ 11*11=1 số thực dương đo “bậc chặt chẽ” a= Ị3 — X, m ax \\(A — (x, A x ) I)h\\, (43) m ax (44) h€spa.iíF ||h||=i \\(A — ( x , A x ) I)h\\, h£[spa.nF]± IIMI=1 chuẩn toán tử hạn chế A — (x, A x ) I không gian tuyến tính spanF [spani^]-1 tương ứng Chứng minh Vì F khác K , ta có A k {F) ỷ {0} Theo Bổ đề 2.2, hệ tín h đa diện K giả th iết chặt chẽ (i) tương đương điều kiện phần A x - (x, A x ) X £ in t[spanF]± [AK (F)] (45) với intỊspan^Ị-L [A ^ (F )] phần A k (F) [spanT1]-1 Để th u ận tiện ta giới thiệu kí hiệu L = spanF, M = [spanT]-1, A = {x, A x ) , 62 AF = A — (x, A x ) L X ét m ột vectơ X € K n § n n Br ( x , r ) khác với X Ta viết X — x = d = dL + dM với dL dM biểu th ị ảnh d qua phép chiếu trực giao tương ứng lên L M Nếu dM = th ì X nằm spanT1 theo giả th iết (ii), ta có A = Amin(A, sp a n F ) < (x, A x ) Vì vậy, không m ất tín h tổng quát giả sử dM ^ Ta có (x, Ax ) = (x, A x ) + (Ax, d) + (d , Ad) = A + (Ax, dL) + (Ax, dỊự[} T (d , A d ) (4b) Nhưng (Ax, dL) = ( Ạ x - X x , dL \ + A (x, dL) = A (x, dL) = X (x, d} \ ỉnM (47) ' T hay (47) vào (46) ta ( x : Ax ) = A + 2A {x, d) + (A x , dM) + {d: Ad) — A|\x + d \|2 + (A x , = A + (i4x, ) + (^) [A — A/)(i) ) + (d, A*d) Ta kiểm tr a riêng số hạng (A x , dM) (d, AFd) Ta chứng m inh tổng chúng không âm Đ ầu tiên chứng m inh dM e M M n [A x(T1)]+ - Để th dM e [A tf(F )]+ , lấy Lú G A k {F) = n K + viết (w, d}ự[ ) = (w, d - dL) = (lú, d) = ( lo, x ) - ( lo, x ) = ( lo, x ) > Vì thế, ( A x , d M) = ( Ax - Ax , d M) > l \ \ d M \ 63 (48) với định nghĩa (42) Ta khẳng định xem A k {F) M n > Ta [AK (F)]+ nón đối ngẫu tương hỗ không gian H illbert (M , (•,•)) Chú ý A x — Xx thuộc phần A k (F) (tương không gian M) Đặc biệt, A x — Xx Ỷ ( Ax — X x , v) > với b ất kì vectơ đơn vị V M n [Atf(.F)]+ Do tín h com pact, cận (42) đ ạt > Cuối cùng, ta kiểm tr a số hạng (d, A*d) = (dL, A*Al ) + {đM,A*dL} + (dM, A*d„) Như m ột hệ giả th iết (ii), m a trậ n A x xác định không âm không gian L , nghĩa ((ỈL,AxdL) > Nói cách khác, , , , |2 ( dM A xdL) + {d,M A xdM) I < 2| {d,M A xdL) I + I (d,M A xdM) I < (2||Axdi || + II-A^í/m IDIMm II < (2a'||di || + /3||(/m ||)||^m || < (v/4a2 + /32||d||)||cíM|| < |M „ || (49) K ết hợp (48) (49) cho ta (A x , d M) + (d , A xd) > hoàn th n h chứng minh □ C h ú ý Định lí 2.8 có th ể p h át biểu cho nón đa diện ta phải xét (45) định nghĩa chặt chẽ Ta quan tâm trường hợp đa diện giả th iết phần (45) có th ay đổi nhỏ thực giới hạn K có m ột vài dạng “uốn cong” Cách tố t n h ất để hiểu điểm xét nón Lorentz K = ị x e R n : x n > [xỊ -ị - f x ị _ q]* Ị 64 (50) nguyên m ẫu nón lồi không đa diện Nón tự đối ngẫu Ngoại trừ {0} th â n nón K , b ất kì m ặt F khác (50) chiều Chú ý A K (F) nửa đường th ẳn g có phần tương đối rỗng siêu phẳng [spanT]-1 Điều kiện chặt đưa Định lý 2.8 m ang tín h kỹ th u ậ t cao khó kiểm chứng thực tế Tuy nhiên, luôn Ví dụ, trường hợp minimize = (x, Ax ) (51) x>0,||a;||=l điều kiện chặt chẽ đưa m ột dạng rấ t đơn giản hệ số chặt chẽ th ể dễ dàng tín h toán Ràng buộc X có > (51) biểu diễn thực tế th n h phần vectơ X không âm Hệ tổng kết biết trường hợp Hệ 2.8 đ ạt kết hợp Định lý 2.1 Định lý 2.8 X ét tậ p số J c { , , n} khác rỗng, kí hiệu A J th ay cho m a trậ n A có dạng hàng cột A xếp theo J H ệ q u ả Cho A € Sym (n) Đ ể X £ M.n nghiệm địa phương toán biến phân (51), cần thiết (tương ứng ỉà đủ) Xị j G J; (52) = j ị J với m ột số tập số J c { l , , n } khác rỗng m ột vectơ đơn vị z G KcardJ thỏa m ẫn toán giá trị riêng Perron A Jz = Ai{AJ )z, Zj >0 Vj € J (53) AịjZj > 65 Mỉ ệ J (54) (tương ứng, E m ->0 ViịJ)- (55) j£j Ngoài ra, giá trị cực tiểu địa phương tương ứng cho (x, A x ) = { z , A Jz) = \ l (AJ) Chứng minh Cho { e i , , en} sở tắc không gian Mn Tập số J có th ể đồng n h ất với m ặt F = cone{ej : j G J } nón P areto n-chiều Như vậy, ta th (52) tương ứng phương trìn h chuyển (28), to án giá trị riêng Perron (53) tiền tích cực, (54) m ột phần điều kiện tới hạn (2) Điều dẫn tới điều kiện cần tối ưu địa phương Để chứng m inh điều kiện đủ, ta nhận xét (55) tương ứng điều kiện chặt chẽ đưa Định lý 2.8 □ C h ú ý Nếu J = { , , n}, th ì (55) kéo theo m ột nghiệm toàn cục Trường hợp đáng quan tâm xảy J Ỷ {1, • • •, n}- Trong trường hợp này, hệ số chặt chẽ (42) có th ể biểu diễn dạng = AịjZj = m in(A ^)i ỉịj ỉịj jeJ Các chuẩn to án tử (43) (44) dễ dàng tín h to án Vì thế, có th ể đánh giá bán kính (41) hình cầu chứa cực tiểu địa phương 66 K ết luân Cơ dựa báo [3] dài 28 tran g có th am khảo thêm báo [4] dài 27 trang, luận văn trìn h bày m ột cách có hệ thống toán tìm cực tiểu địa phương hàm to àn phương tậ p hạn chế giao nón lồi với hình cầu Các chứng m inh Định lí, Hệ M ệnh đề chi tiế t hóa giải thích rõ ràng, đầy đủ rấ t nhiều so với [3] Các ví dụ tín h to án chi tiết tường m inh Ngoài ra, m ột đôi chỗ, bổ sung thêm m ột số lời bình làm sáng tỏ ý nghĩa Định lý Hy vọng luận văn tà i liệu th am khảo bổ ích cho muốn tìm hiểu vấn đề