Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian QUAN HỆ VUÔNG GÓC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các màu đỏ tập mức độ nâng cao Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Chứng minh rằng: SB vuông góc SD Giải: S + Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình thoi nên O trung điểm AC BD ABC ASC SO BO BD A BSD 900 SB SD D O B C Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD a CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK) b Gọi I giao điểm SC với mặt phẳng (AHK) CMR: HK vuông góc AI S Giải: a Ta có: AH SB AH ( SBC ) AH SC (1) AH BC I K AK SD AK ( SDC ) AK SC (2) AK DC H Từ (1) (2) ta suy SC ( AHK ) A D b Ta có: SAB SAD SH SK SH SK HK / / BD ( Định lý Ta lét đảo) SB SD Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt O B C Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian BD AC BD ( SAC ) BD SA HK / / BD HK ( SAC ) HK AI BD ( SAC ) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD a Chứng minh rằng: SO ( ABCD) b I, K trung điểm BA BC Chứng minh IK vuông góc SD c Gọi (P) mặt phẳng song song với SO chứa IK Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P) Giải: S a Ta có: SO AC SO ( ABCD) SO BD b IK BD (do AC BD) IK ( SBD) IK SD IK SO c + Gọi M giao điểm SB với mặt phẳng (P), M D C N giao điểm DB với mặt phẳng (P) K SO / /( P), SO ( SBD) SO / / MN ( SBD) ( P) MN SO BD MN BD MN / / SO O N A I B BD IK BD ( P) BD MN Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD 600 , AA ' a M, N trung điểm A’D’ A’B’ Chứng minh rằng: AC ' ( BDMN ) Giải: + Gọi S BN DM M trung điểm SD, N trung điểm SB A’ trung điểm SA + Gọi O = AC BD + BAD AO a AC AO a SA, CC ' AO Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian + Hai vuông SOA ACC’ ASO CAC ' Mà ASO SOA 900 CAC ' SOA 900 AC ' SO AC ' BD AC ' ( BDMN ) AC ' SO oc 01 + H Bài 5: Tứ diện S.ABC có SA mp ABC Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC D a Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) SAC BHK nT hi b Chứng minh HK SBC SBC BHK a Vì H trực tâm tam giác ABC BH AC , theo giả thiết ie SA mp ABC BH SA uO Giải: Ta iL Nên BH mp SAC SC BH s/ Do K trực tâm SBC BK SC up Từ suy SC mp BHK mp BHK mp SAC (đpcm) k co m Mà SC mp BHK SC HK /g SB mp CHK SB HK ro b Tương tự ta chứng minh được: Do đó: HK mp SBC mp SBC mp BHK bo o Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’ Chứng minh BM vuông góc với B’C Giải: ce A C fa Gọi I tâm hình vuông BCC’B’ nên I trung điểm B’C w w M trung điểm AA’ nên tam giác MAC MA 'B' w =>MC=MB’ suy tam giác MB’C cân M B M I B ' C MI ; B ' C BC ' B ' C MB C’ A’ Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt B’ Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácv vuông C, SA ABC a) Chứng minh rằng: BC (SAC ) b) Gọi E hình chiếu vuông góc A SC Chứng minh rằng: AE (SBC ) c) Gọi mp(P) qua AE vuông góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: SB ( P) d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF SAB HDG BC AC ( gt ) BC ( SAB) a) Ta có SA ABC BC ABC S D b) Ta có: AE SC (3) (gt) H E Theo a) BC (SAB) AE BC (4) B A Từ (3) (4) suy ra: AE (SBC ) c) Ta thấy: ( P) ( ADE ) Theo b) AE (SBC ) BC AE (5) C Trong mp(ADE) kẻ EH AD, H AD Vì ( ADE ) ( SAB) ( ADE ) ( SAB) AD EH ( SAB) SB EH (6) EH AD F Từ (5) (6) suy ra: SB ( ADE ) hay SB ( P) d) Từ SA ( ABC ) AF SA (7) AF ( ABC ) Theo c) SB ( ADE) AF SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF SAB Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông, tam giác SAB tam giác đều, (SAB) ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC (SID) HDG SI AB ( SAB) ( ABCD) SI ( ABCD) Ta có: SI ( SAB) SI CF (1) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian S Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, AID DFC từ ta có: D2 C2 F1 D2 90 I1 D2 900 I1 F1 FHD 90 F A Hay CF ID (2) Từ (1) (2) suy ra: FC (SID) D 1 H I F A D B C H I B C Bài 9: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vuông A B, SA ( ABCD) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông HDG Ta có: SA ( ABCD) SA CD(1) CD ( ABCD) S + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vuông Do đó, ACI 450 (*) Mặt khác, CID tam giác vuông cân I nên: I BCI 45 (*) D A Từ (*) (**) suy ra: ACD 900 hay AC CD (2) Từ (1) (2) suy ra: CD (SAC ) CD SC hay ∆SCD vuông C B C Bài 10: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN BD HDG Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Ta có: IN / / AC BD IN (1) AC BD Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt khác, IM / / BE IM / / PO(*) BE / / PO Hình học không gian S E Mà PO BD(**) P M (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) A Từ (*) (**) ta có: BD IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD ( IMN ) BD MN D I B O C N Bài 11: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, tam giác SAD đều, (SAD) ( ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM BP HDG S Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH Xét hai tam giác vuông ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, M ABN BCP BAN CBP, ANB BPC A mà BAN ANB 900 CBP ANB 900 hay AN BP (1) I H Vì ∆SAD nên: SH AD ( SAD) ( ABCD) SH BP(*) BP ( ABCD) B K D P N C Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay MK / / SH (**) Từ (*) (**) suy ra: BP MH (2) Từ (1), (2) suy ra: BP ( AMN ) BP AM Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: (SBD) ( ABCD) HDG Ta có: AC BD (1) (giả thiết) + Mặt khác, SO AC (2) (SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác) + Từ (1) (2) suy ra: AC (SBD) mà AC ( ABCD) nên (SBD) ( ABCD) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian S D C O A B Bài 13: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD a , SA ( ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: (SAC ) (SMB) HDG + Ta có: SA ( ABCD) SA BM (1) S + Xét tam giác vuông ABM có: AB tan AMB Xét tam giác vuông ACD có: AM CD Ta có: tan CAD AD cot AIM cot(1800 ( AMB CAD)) cot( AMB CAD) AIM 900 A M Hay BM AC (2) I + Từ (1) (2) suy ra: BM (SAC ) mà BM (SAC ) nên (SAC ) (SMB) D B C Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O cạnh a SA ( ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD J hình chiếu B SC Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AD, BC, SC CMR: BC (SAB) CD (SAD) AH (SBC ) AK (SCD) SC ( AHK ) OM (SAB) ON (SAD) BC (OPQ) 9.BC SB 10.CD SD 11 AH SC 12 AK SC 13.(SBC ) (SAB) 14.(SCD) (SAD) 15 ( AHK ) (SBC ) 16.( AHK ) (SCD) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) 17.( AHK ) (SAC ) 18.(OQM ) (SAB) 19.(OQN ) (SAD) Hình học không gian 20.(OPQ) (SBC) Giải BC AB (giả thiết ABCD hình vuông) BC SA (do giả thiết SA (ABCD)) BC (SAB) CD AD (giả thiết ABCD hình vuông), CD SA (do giả thiết SA (ABCD)) CD (SAD) AH SB (giả thiết), AH BC (do theo câu ta có BC (SAB) mà AH (SBC) ) AH (SBC) AK SD (giả thiết) AK CD (do theo câu ta có CD (SAD) mà AK (SAD) ) AK (SCD) AH (SBC) (do theo câu 3) AH SC AK (SCD) (do theo câu 4) AK SC Vậy SC (AHK) OM đường trung bình tam giác ABC nên OM//BC, mà BC (SAB) (do theo câu 1) nên OM (SAB) ON đường trung bình tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD (SAD) (do theo câu 2) nên ON (SAD) OP đường trung bình tam giác BDC nên OP//CD mà BC CD (giả thiết) nên BC OP (*) OQ đường trung bình tam giác SAC nên OQ//SA mà SA (ABCD) nên OQ (ABCD), BC OQ (**) Vậy từ (*) (**) ta có BC (OPQ) Theo câu 1: BC (SAB) BC SB 10 Theo câu 2: CD (SAD) CD SD 11 Theo câu 3: AH (SBC) AH SC 12 Theo câu 4: AK (SCD) AK SC 13 Theo câu 1: BC (SAB) mà BC (SBC) (SBC) (SAB) 14 Theo câu 2: CD (SAD) mà CD (SCD) (SCD) (SAD) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian 15 Theo câu 3: AH (SBC) mà AH (AHK) (AHK) (SBC) 16 Theo câu 4: AK (SCD) mà AK (AHK) (AHK) (SCD) 17 Theo câu 5: SC (AHK) mà SC (SAC) (SAC) (AHK) 18 Theo câu 6: OM (SAB) mà OM (OMQ) (OMQ) (SAB) 19 Theo câu 7: ON (SAD) mà ON (ONQ) (ONQ) (SAD) 20 Theo câu 8: BC (OPQ) mà BC (SBC) (SBC) (OPQ) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai - Trang | -